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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 第2講　古典概型教案 理 新人教版 【xx年高考會這樣考】 1．考查古典概型概率公式的應用，尤其是古典概型與互斥、對立事件的綜合問題更是高考的熱點． 2．在解答題中古典概型常與統(tǒng)計相結(jié)合進行綜合考查，考查學生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主． 【復習指導】 1．掌握解決古典概型的基本方法，列舉基本事件、隨機事件，從中找出基本事件的總個數(shù)，隨機事件所含有的基本事件的個數(shù)． 2．復習時要加強與統(tǒng)計相關(guān)的綜合題的訓練，注重理解、分析、邏輯推理能力的提升． 基礎梳理 1．基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型． (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個． (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝. 一條規(guī)律 從集合的角度去看待概率，在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個集合I，基本事件的個數(shù)n就是集合I的元素個數(shù)，事件A是集合I的一個包含m個元素的子集．故P(A)＝＝. 兩種方法 (1)列舉法：適合于較簡單的試驗． (2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求．另外在確定基本事件時，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同；有時也可以看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　一枚硬幣連擲2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出現(xiàn)正面的事件包括(正，反)，(反，正)，故其概率為＝. 答案　D 2．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　甲共有3種站法，故站在中間的概率為. 答案　C 3．擲一顆骰子，觀察擲出的點數(shù)，則擲得奇數(shù)點的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　擲一顆骰子共有6種情況，其中奇數(shù)點的情況有3種，故所求概率為：＝. 答案　C 4．從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b＞a的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　基本事件的個數(shù)有53＝15(種)，其中滿足b＞a的有3種，所以b＞a的概率為＝. 答案　D 5．(xx泰州聯(lián)考)三張卡片上分別寫上字母E、E、B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________． 解析　三張卡片排成一排共有BEE，EBE，EEB三種情況，故恰好排成BEE的概率為. 答案　 考向一　基本事件數(shù)的探求 【例1】?做拋擲兩顆骰子的試驗：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，寫出： (1)試驗的基本事件； (2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”； (3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”； (4)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于10”． [審題視點] 用列舉法一一列舉． 解　(1)這個試驗的基本事件為： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6) (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6) (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6) (2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于8”包含以下10個基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． (3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含以下6個基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． (4)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于10”包含以下3個基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)． 基本事件數(shù)的探求主要有兩種方法：列舉法和樹狀圖法． 【訓練1】 用紅、黃、藍三種不同顏色給圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，寫出： (1)試驗的基本事件； (2)事件“3個矩形顏色都相同”； (3)事件“3個矩形顏色都不同”． 解　(1)所有可能的基本事件共27個． (2)由圖可知，事件“3個矩形都涂同一顏色”包含以下3個基本事件：紅紅紅，黃黃黃，藍藍藍． (3)由圖可知，事件“3個矩形顏色都不同”包含以下6個基本事件：紅黃藍，紅藍黃，黃紅藍，黃藍紅，藍紅黃，藍黃紅． 考向二　古典概型 【例2】?現(xiàn)有8名xx年倫敦奧運會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組． (1)求A1被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率． [審題視點] 確定基本事件總數(shù)，可用排列組合或用列舉法，確定某事件所包含的基本事件數(shù)，用公式求解． 解　(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共有CCC＝18個．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“A1恰被選中”這一事件， 事件M由CC＝6， 因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3個結(jié)果，事件有3個基本事件組成，所以P()＝＝，由對立事件的概率公式得 P(N)＝1－P()＝1－＝. 古典概型是基本事件個數(shù)有限，每個基本事件發(fā)生的概率相等的一種概率模型，其概率等于隨機事件所包含的基本事件的個數(shù)與基本事件的總個數(shù)的比值． 　【訓練2】 (xx全國新課標)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為(　　)． A. B. C. D. 解析　甲、乙兩人都有3種選擇，共有33＝9(種)情況，甲、乙兩人參加同一興趣小組共有3種情況．∴甲、乙兩人參加同一興趣小組的概率P＝＝. 答案　A 考向三　古典概型的綜合應用 【例3】?(xx廣東)在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1,2，…，6)的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢? 編號n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學的成績x6，及這6位同學成績的標準差s； (2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率． [審題視點] 本題考查平均數(shù)、標準差、古典概型概率的計算．(1)由這6位同學的平均成績?yōu)?5分，建立關(guān)于x6的方程，可求得x6，然后求方差，再求標準差；(2)用列舉法可得所求古典概型的概率． 解　(1)∵這6位同學的平均成績?yōu)?5分， ∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 這6位同學成績的方差 s2＝[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴標準差s＝7. (2)從前5位同學中，隨機地選出2位同學的成績有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10種， 恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種，所求的概率為＝0.4， 即恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率為0.4. 有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點，概率與統(tǒng)計結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決． 【訓練3】 一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 解　(1)設該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛， 由題意得＝，所以n＝2 000， 則z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車， 由題意得＝，則a＝2. 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3 輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個． 事件E包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個． 故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6個，所以P(D)＝＝，即所求概率為. 閱卷報告17——缺少必要的文字說明而失分 【問題診斷】 在閱卷中發(fā)現(xiàn)不少考生在解答概率問題的解答題時，只寫出所求結(jié)果，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件，致使丟了不該丟的分. 【防范措施】 正確寫出基本事件空間，可以利用列表、畫樹狀圖等方法，以防遺漏. 【示例】?(xx山東)甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； (2)若從報名的6名教師中任取2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率． 錯因　未寫出基本事件的空間，缺少必要的文字說明． 實錄　(1)P＝＝. (2)P＝＝. 正解　(1)甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示． 從甲校和乙校報名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為：(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共9種， 從中選出2名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，選出的2名教師性別相同的概率為P＝. (2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種． 從中選出2名教師來自同一學校的結(jié)果有： (A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6種， 選出的2名教師來自同一學校的概率為P＝＝. 【試一試】 從含有兩件正品和一件次品的3件產(chǎn)品中每次任取一件． (1)每次取出后不放回，連續(xù)取兩次； (2)每次取出后放回，連續(xù)取兩次． 試分別求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率． [嘗試解答]　(1)用a1，a2和b1表示兩件正品和一件次品，則不放回地抽取兩次，其一切可能的結(jié)果為：(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)． 其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第一次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第二次取出的產(chǎn)品，用A表示“取出的兩件產(chǎn)品中，恰好有一件次品”這一事件，則A所含的結(jié)果為(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，即基本事件的總數(shù)n＝6，事件A包含的事件總數(shù)m＝4.故P(A)＝＝. (2)若為有放回的抽取，其基本事件包含的結(jié)果共有(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，用B表示“恰有一件產(chǎn)品為次品”這一事件，則B包含的結(jié)果為(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，即基本事件的總數(shù)n＝9，事件B包含的事件總數(shù)m＝4.故P(B)＝.