2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計 新人教A必修1 一、設(shè)計理念： 1、重視數(shù)學(xué)概念、公式的發(fā)生、發(fā)展過程，在概念的形成過程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的能力 2、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，在教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、相互交流、合作探究的能力 3、重視誘思探究的教學(xué)理論在課堂教學(xué)中的滲透，在課堂教學(xué)中要體現(xiàn)“教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體”，教師啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生自主探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和思維品質(zhì) 二、設(shè)計思路： 1、以函數(shù)的單調(diào)性的概念為主線，貫穿于整個教學(xué)過程中 對函數(shù)單調(diào)性概念的深入而準(zhǔn)確的認(rèn)識往往是學(xué)生認(rèn)知過程的難點。因此在教學(xué)中突出對概念的分析一方面是為了分析函數(shù)單調(diào)性的定義，另一方面讓學(xué)生掌握如何學(xué)會、弄懂一個概念的方法，也為今后對其他數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有所幫助。 使用單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性是教學(xué)中的又是一個難點。使用單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性是對單調(diào)性定義的深層理解，給出“作差、變形、定號”的具體步驟是非常必要的，一方面是有利于學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性的概念；另一方面有利于學(xué)生掌握證明方法、形成證明思路。另外也為今后學(xué)習(xí)不等式證明中的作差法做一定的鋪墊。 2、加強(qiáng)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)始終貫穿于函數(shù)單調(diào)性概念教學(xué)過程中 函數(shù)單調(diào)性的研究方法很具有典型性，體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法。在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會“直觀感受---定性描述---定量刻畫---具體應(yīng)用”的探究方法，這樣一方面為了便于對單調(diào)性概念有更好地理解，同時也為今后學(xué)習(xí)函數(shù)的其他概念和性質(zhì)提供一定的參考方法。 3、在單調(diào)性概念的教學(xué)與研究中要體現(xiàn)出單調(diào)性是函數(shù)的一個局部性質(zhì) 函數(shù)的單調(diào)性是研究“當(dāng)自變量不斷增大時，函數(shù)值隨著增大還是減小”，即函數(shù)圖像的升降性，與函數(shù)奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究“當(dāng)自變量的值互為相反數(shù)時，函數(shù)值是否也互為相反數(shù)”，即函數(shù)圖像的對稱性。 函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，與函數(shù)的奇偶性、最大（或?。┲涤兄举|(zhì)的區(qū)別，后者是函數(shù)的整體性質(zhì)，在教學(xué)中要體現(xiàn)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域上的一個子集（區(qū)間），關(guān)注的是函數(shù)在這個子集上的增減性。通過函數(shù)的圖形以及一些具體的函數(shù)發(fā)現(xiàn)“有些函數(shù)在整個定義域中具有單調(diào)性，而有些函數(shù)在整個定義域中不具有單調(diào)性，可能在某個區(qū)間上具有單調(diào)性” 4、函數(shù)的單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，同時廣泛的應(yīng)用于函數(shù)的其他性質(zhì)和其他數(shù)學(xué)分支中 函數(shù)的單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要的應(yīng)用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)以及其他內(nèi)容的研究中也有重要的作用（外部）。由此可見，不論在函數(shù)內(nèi)部還是函數(shù)外部，函數(shù)的單調(diào)性有廣泛的應(yīng)用價值，因而在數(shù)學(xué)中具有核心地位 三、學(xué)情分析： 1、學(xué)生已有的知識儲備情況 函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念之一，函數(shù)的單調(diào)性的概念又是函數(shù)的核心概念之一。由于受到不同年齡階段認(rèn)知發(fā)展水平、生活經(jīng)驗、學(xué)習(xí)經(jīng)驗的影響，學(xué)生對他們的認(rèn)識和領(lǐng)悟過程不是線性的，而是一個循序漸進(jìn)、螺旋上升的過程，學(xué)生進(jìn)入高一階段在學(xué)習(xí)函數(shù)概念的基礎(chǔ)之上來學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性有三個基礎(chǔ)。一是知識的，他們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的感念，初步認(rèn)識到函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)概念；在高中又進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，認(rèn)識到函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一種特殊的對應(yīng)，學(xué)生還了解了函數(shù)的三種表示方法，此外，還學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等幾個簡單而具體的函數(shù)。二是經(jīng)驗的，他們了解了函數(shù)在實際問題中的一些應(yīng)用，掌握了簡單函數(shù)的的圖像特征及函數(shù)的一些簡單的性質(zhì)，同時，學(xué)生還有利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行兩個數(shù)大小比較的經(jīng)驗。三是思維水平的，主要是形象思維，并逐步向簡單的邏輯思維過度。 2、預(yù)計的學(xué)生在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的難度及對策 對“從函數(shù)圖像的升降性來直觀描述函數(shù)的單調(diào)性的特征”學(xué)生并不感到困難。難度在于：把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征用數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行定量刻畫，其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上任取自變量的兩個大小不同的數(shù)值。在教學(xué)中一方面要結(jié)合一些具體的函數(shù)的圖象讓學(xué)生了解到函數(shù)的單調(diào)性表現(xiàn)在圖像上就是圖象的升降性；然后老師引導(dǎo)學(xué)生提出“函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)）就是隨著自變量的值的增大，函數(shù)值也隨之增大（或減?。倍ㄐ悦枋?；通過討論、交流，就一般函數(shù)進(jìn)行刻畫，提出“增函數(shù)就是在某區(qū)間上，如果對于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)”，的定量描述，進(jìn)而給出增函數(shù)的定義，然后進(jìn)行對比給出減函數(shù)的定義；最后結(jié)合兩個具體的例子來說明定義中的“為什么是自變量的任意兩個不同的值而不是一個或者多個？”，這樣對函數(shù)的單調(diào)性就有了更為深刻的理解和掌握。 另外，僅僅在一節(jié)課中完成對單調(diào)性概念的完全理解是不現(xiàn)實的，在今后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過對函數(shù)單調(diào)性的判斷，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運用單調(diào)性解決具體問題等可以逐步的理解這個概念。 四、教學(xué)目標(biāo)及分解 本節(jié)課的總體教學(xué)目標(biāo)是：讓學(xué)生理解函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)的意義，初步掌握用單調(diào)性的定義證明一些簡單的函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或者減函數(shù)的方法。在教學(xué)中具體分解為以下幾個具體的子目標(biāo)： 1、能夠以具體的例子說明函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)； 2、能夠舉例，并通過圖形說明函數(shù)在定義域的某個子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個定義域上未必具有單調(diào)性，從而說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)； 3、對于一個具體的函數(shù)，能夠用定義證明它在某個區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)，掌握證明單調(diào)性的方法與步驟： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 作差f(x1)－f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性） （《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了提高學(xué)生的知識與技能、重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程與方法，培養(yǎng)學(xué)生的情感態(tài)度、價值觀的三維目標(biāo)。為此，結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)中注重過程與方法，引導(dǎo)學(xué)生不斷提出問題、研究問題、并解決問題，重視互動交流，在教學(xué)過程中滲透情感態(tài)度與價值觀） 五、教學(xué)基本流程： 單調(diào)性的直觀感受------單調(diào)性的定性描述--------單調(diào)性的定量刻畫-----單調(diào)性的具體應(yīng)用 六、教學(xué)過程設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié) 問題情境 師生互動 設(shè)計意圖 創(chuàng)設(shè)情景 引入新課 觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化特征嗎？ y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 學(xué)生可能的答案是：第一個圖中的函數(shù)圖像，自左而右是上升的，同時圖像關(guān)于原點對稱；第二個圖像，自左而右有時是上升的、有時是下降的；第三個圖像自左而右有時是上升的、有時是下降的，同時圖像關(guān)于y軸對稱。 教師要引導(dǎo)，借助于對圖像的觀察，對所觀察到的特征進(jìn)行歸類，及時指出本節(jié)課重點討論圖像的升降性，由圖像的升降性所表現(xiàn)出的函數(shù)的性質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性-----板書課題函數(shù)的單調(diào)性 從形到數(shù)，借助對函數(shù)圖像的觀察而獲得的圖像特征，想象出相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì) 合作學(xué)習(xí) 問題探究 問題1、畫出一次函數(shù)f(x)=x及二次函數(shù)f(x)=x2的圖像，說說隨著x的增大，圖像的升降情況 函數(shù)f(x)=x的圖像自左向右是上升的，函數(shù)f(x)=x2的圖像在y軸左側(cè)自左向右是下降的，在y軸右側(cè)自左向右是上升的。 教師要引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性做直觀描述：函數(shù)在自變量x的某個區(qū)間上的圖像如果自左向右是上升的，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，如果圖像是下降的，則函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù) 以一次函數(shù)和二次函數(shù)為載體借助于圖像的直觀性給出函數(shù)單調(diào)性的直觀性定義，從而使學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性有感性的認(rèn)識 問題2、完成下列表格，觀察表格說說二次函數(shù)f(x)=x2隨著x的增大函數(shù)值y的變化規(guī)律是什么？是逐步增大還是逐步減?。? x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … Y=f(x) … … 當(dāng)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值Y逐步增大；當(dāng)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值Y逐步減小 教師要引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的單調(diào)性做定性描述：函數(shù)在自變量x的某個區(qū)間上隨著自變量的增大，函數(shù)值逐步增大，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值減小，則函數(shù)是減函數(shù) 以二次函數(shù)為載體，在對函數(shù)的單調(diào)性的感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上逐步向理性轉(zhuǎn)化 問題3、對一般函數(shù)f(x)而言，函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上圖像自左而右圖像上升或下降，相應(yīng)地函數(shù)值的變化規(guī)律是什么？ 圖像上升時隨著自變量的增大函數(shù)值逐步增大；圖像下降時隨著自變量的增大函數(shù)值逐步減小 教師要引導(dǎo)學(xué)生由特殊函數(shù)的圖像的升降性與函數(shù)值的變化規(guī)律過渡到一般函數(shù)的圖像的升降性與函數(shù)值的變化規(guī)律 由特殊函數(shù)的性質(zhì)過渡到一般函數(shù)的性質(zhì)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力 問題4、對于隨著自變量的增大，函數(shù)值逐步增大，你認(rèn)為下列哪種描述更為貼切？ （1）對于函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x在定義域的某個區(qū)間上的取兩個特殊的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時， f(x1)<f(x2)，則在這個區(qū)間上隨著自變量x的增大，函數(shù)值f(x)都在逐步增大，則函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù) 學(xué)生相互討論，教師加以引導(dǎo)：對（1）來說教師以二次函數(shù)f(x)=x2為例，在定義域內(nèi)取x1=-1，x2=2顯然x1<x2 f(x1)<f(x2)，但是由圖像可知函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函數(shù) 讓學(xué)生體會自變量的任意兩個不同的值的必要性，為后面單調(diào)性定義的定量刻畫奠定基礎(chǔ) 合作學(xué)習(xí) 問題探究 （2）對于函數(shù)f(x)，當(dāng)自變量x在定義域的某個區(qū)間上的任取兩個值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有 f(x1)<f(x2)，則在這個區(qū)間上隨著自變量x的增大，函數(shù)值f(x)都在逐步增大，則函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù) 由此可知要確保函數(shù)是增函數(shù)，x1，x2在這個區(qū)間必須是任意才可以 歸納總結(jié) 形成結(jié)論 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的自變量的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù) 如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的自變量的任意兩個值x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)> f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分為遞增區(qū)間和遞減區(qū)間 引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)前面的討論說出增函數(shù)的定義，同時讓學(xué)生模仿增函數(shù)的定義敘述出減函數(shù)的定義 教師引導(dǎo)學(xué)生找出定義中的關(guān)鍵詞：定義域內(nèi)的某個區(qū)間----自變量的任意兩個值-----都有。 通過以上對單調(diào)性的直觀感受到定性描述到最終的定量刻畫，循序漸進(jìn)、層層深入，由特殊到一般，由直觀到抽象，符合學(xué)生的認(rèn)知過程 課堂練習(xí) 加深理解 練習(xí)1、如圖是定義在區(qū)間[－5，5]上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ 練習(xí)2、下列說法是否正確，請畫圖或舉例來說明理由 （1）如果對于區(qū)間上的任意x，都有f(x)>f(0),則函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù) （2）對于區(qū)間（a，b）的某三個值x1，x2，x3，當(dāng)x1<x2<x3<時， f(x1)<f(x2)<f(x3),則函數(shù)f(x)在（a，b）上是增函數(shù) 引導(dǎo)學(xué)生通過對圖像的觀察以及對具體函數(shù)的探討進(jìn)一步加深單調(diào)性的理解 練習(xí)2（1）的設(shè)置體現(xiàn)在區(qū)間中任選一個值不能確定函數(shù)是否單調(diào) 練習(xí)2 （2）的設(shè)置體現(xiàn)了：即使在區(qū)間內(nèi)取三個不同的值、甚至更多的值也不能確定函數(shù)是否單調(diào) 由此可知：刻畫函數(shù)的單調(diào)性不在于區(qū)間內(nèi)所選取的自變量的值的多少，關(guān)鍵在于是否具有任意性，只要是任意的兩個不同的值就可以了，以避免學(xué)生在以后的證明中“以特殊的兩個不同值代替任意的兩個不同值”的錯誤的證明。 例題講解 鞏固知識 例、物理學(xué)中的玻意耳定律P=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時，壓強(qiáng)P將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。 分析：按題意，只要證明函數(shù)P=在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)即可 引導(dǎo)學(xué)生歸納函數(shù)在某個區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的證明方法和步驟： ①設(shè) 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③變形（通常是因式分解和配方）； ④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）； ⑤下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）． 通過例題的講解和方法步驟的歸納加深學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性定義的理解和知識的應(yīng)用 課堂練習(xí) 鞏固提高 練習(xí)3、畫出反比例函數(shù)的圖像 （1）指出這個函數(shù)的單調(diào)性 （2）是否可以說“函數(shù)在整個定義域內(nèi)是減函數(shù)？” 教師引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)在區(qū)間、上都是減函數(shù)，在整個定義域上不是減函數(shù)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能寫成的形式 通過具體問題，使學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個定義域內(nèi)函數(shù)未必是單調(diào)函數(shù) 納小結(jié) 知識整合 思考： 1、函數(shù)的單調(diào)性的定義是怎樣的？ 2、函數(shù)的單調(diào)性在圖像上的表現(xiàn)是什么？ 3、函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)值上的變化規(guī)律是什么？ 4、函數(shù)的單調(diào)性是否為函數(shù)的整體性質(zhì)？ 5、證明函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)的證明依據(jù)是什么？具體證明的步驟有哪些？現(xiàn)在對定義中的任意兩個字能正確理解嗎？ 6、判斷某個函數(shù)在定義域的某個區(qū)間上是否為增函數(shù)或是減函數(shù)，你有哪些判定方法？ 教師引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和探究方法做總結(jié) 鞏固本節(jié)課所學(xué)知識以及函數(shù)單調(diào)性的探究方法 課后作業(yè) 鞏固提高 習(xí)題1.3A組1、2、3、4，B組1 說明：1、本設(shè)計是對函數(shù)單調(diào)性的整體設(shè)計，在教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的實際情況進(jìn)行刪選 2、教材中關(guān)于單調(diào)性定義的表述“任意兩個自變量的值”值得商榷，改為“自變量的任意兩個數(shù)值”更為準(zhǔn)確，因為高中階段研究的函數(shù)都是一元函數(shù)，就不可能有兩個自變量。