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2019-2020年高考數(shù)學異構異模復習第十八章不等式選講課時撬分練18不等式選講理
1.[xx棗強中學期中]不等式|x|＋x≤2的解集為________．
答案 (－∞，1]
解析 當x≥0時，原不等式即2x≤2，得x≤1，所以0≤x≤1；當x<0時，原不等式即0≤2，總成立．綜上知原不等式的解集為(－∞，1]．
2．[xx冀州中學期末]函數(shù)y＝|2x－1|－2|x＋1|的最大值為________．
答案 3
解析 因為y＝|2x－1|－2|x＋1|＝|2x－1|－|2x＋2|≤|2x－1－(2x＋2)|＝3(當x≤－1時取等號)，所以函數(shù)的最大值為3.
3．[xx衡水中學預測]不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集為________．
答案
解析 解法一：原不等式可化為|2x＋1|>2|x－1|，兩邊平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，解得x>，所以原不等式的解集為.
解法二：原不等式等價于或
或
.解得x>，
所以原不等式的解集為.
4．[xx棗強中學熱身]不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集為________．
答案 {x|x≥1}
解析 原不等式等價于
或或，解得1≤x<2或x≥2, 故原不等式的解集為{x|x≥1}．
5．[xx衡水中學猜題]若a>b>1，則a＋與b＋的大小關系是________．
答案 a＋>b＋
解析 a＋－＝a－b＋＝.
由a>b>1得ab>1，a－b>0，
所以>0.
即a＋>b＋.
6．[xx衡水中學一輪檢測]若<<0，則下列四個結論：①|a|>|b|；②a＋b
2；④<2a－b，其中正確的是________．
答案?、冖邰?
解析 ∵<<0，∴b|a|，①錯；∵a＋b<0，ab>0，∴a＋b2＝2，③對；由b<0，④變形為a2＋b2>2ab恒成立，④對．
7．[xx冀州中學模擬]已知關于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．
答案
解析 2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥
2＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥.
8．[xx衡水二中周測]以下三個命題：①若|a－b|<1，則|a|<|b|＋1；②若a，b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|<2，|y|>3，則||<，其中正確命題的序號是________．
答案 ①②③
解析?、質a|－|b|≤|a－b|<1，所以|a|<|b|＋1；
②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，
所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；
③|x|<2，|y|>3，所以<，
所以＝|x|<.故三個命題都正確．
9．[xx棗強中學仿真]若關于x的不等式|x－1|＋|x＋m|>3的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－∞，－4)∪(2，＋∞)
解析 若|x－1|＋|x＋m|>3的解集為R，
即不等式恒成立，則|x－1|＋|x＋m|≥|(x＋m)－(x－1)|＝|m＋1|>3，
解得m>2或m<－4.
10．[xx衡水二中月考]對于任意實數(shù)a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a||x－1|恒成立，則實數(shù)x的取值范圍是________．
答案 －1≤x≤3
解析 不等式恒成立，只需不等式的左邊的最小值≥|a||x－1|，由絕對值三角不等式得|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|＝2|a|，故只需求解2|a|≥|a||x－1|即可，解得－1≤x≤3.
11．[xx武邑中學熱身]已知關于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．
(1)當a＝1時，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．
解 (1)當a＝1時，原不等式為|x－2|＋|x－1|≥2.
∴原不等式的解集為或或，即x≥或x≤，∴不等式的解集為.
(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集為R等價于|a－2|≥2，
∴a≥4或a≤0，又a>0，∴實數(shù)a的取值范圍為a≥4.
12．[xx冀州中學猜題]在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a、b、c，若a、b、c三邊邊長的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：∠B<90.
證明 假設∠B<90不成立，
即∠B≥90，
從而∠B是△ABC的最大角，
∴b是△ABC的最大邊，
即b>a，b>c.
∴>，>，
相加得＋>＋＝.
這與已知＋＝矛盾，
故∠B≥90不成立，
從而∠B<90.
能力組
13.[xx武邑中學仿真]若P＝＋＋(x>0，y>0，z>0)，則P與3的大小關系為________．
答案 P<3
解析 ∵1＋x>0,1＋y>0,1＋z>0，
∴＋＋<＋＋＝3.
即P<3.
14．[xx衡水中學模擬]設函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－1|，則f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，則x的取值范圍是________．
答案 3 [0,5]
解析 函數(shù)f(x)＝
x<1時，5－2x>3，x>4時，2x－5>3，
得f(x)min＝3.
解不等式組
或或
求并集得x的取值范圍是[0,5]．
15. [xx冀州中學期中]已知函數(shù)f(x)＝|x－1|.
(1)解不等式：1≤f(x)＋f(x－1)≤2；
(2)若a>0，求證：f(ax)－af(x)≤f(a)．
解 (1)由題f(x)＋f(x－1)＝|x－1|＋|x－2|≥|x－1＋2－x|＝1.
因此只需解不等式|x－1|＋|x－2|≤2.
當x≤1時，原不等式等價于－2x＋3≤2，即≤x≤1；
當12時，原不等式等價于2x－3≤2，即20時，f(ax)－af(x)＝|ax－1|－|ax－a|
＝|ax－1|－|a－ax|≤|ax－1＋a－ax|
＝|a－1|＝f(a)．
16.[xx衡水中學仿真]已知x＋y>0，且xy≠0.
(1)求證：x3＋y3≥x2y＋y2x；
(2)如果＋≥恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．
解 (1)證明：∵x3＋y3－(x2y＋y2x)＝x2(x－y)－y2(x－y)＝(x＋y)(x－y)2，且x＋y>0，(x－y)2≥0，
∴x3＋y3－(x2y＋y2x)≥0，
∴x3＋y3≥x2y＋y2x.
(2)①若xy<0，則＋≥等價于≥＝，
又∵＝<＝－3，即<－3，∴m>－6；
②若xy>0，則＋≥等價于≤＝，
又∵≥＝1，即≥1，
∴m≤2.
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(－6,2]．
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