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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)教案 理 北師大版 考綱要求 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化． 3．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義． 知識梳理 1．任意角 (1)角的分類 任意角可按旋轉(zhuǎn)方向分為____、____、____. (2)象限角 第一象限角的集合 ________ 第二象限角的集合 ________ 第三象限角的集合 ________ 第四象限角的集合 ________ 2．弧度制 (1)弧度制 在以單位長為半徑的圓中，__________的弧所對的圓心角為1弧度的角．以__________作為單位來度量角的單位制，叫作弧度制． (2)角度與弧度之間的換算 360＝__________rad,180＝__________rad,1＝ rad，1 rad＝__________. (3)弧長、扇形面積公式 設(shè)扇形的弧長為l，圓心角為α(弧度)，半徑為r，則l＝__________；S扇形＝__________＝__________. 3．任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y) ______叫作α的正弦，即y＝sin α ______叫作α的余弦，即x＝cos α ______叫作α的正切，即＝tan α(x≠0) 各象限符號 Ⅰ ____ ____ ____ Ⅱ ____ ____ ____ Ⅲ ____ ____ ____ Ⅳ ____ ____ ____ 口訣 一全正，二正弦，三正切，四余弦 終邊相同 的角的三 角函數(shù)值 (k∈Z) (公式一) sin(α＋k2π)＝____ cos(α＋k2π)＝____ tan(α＋k2π)＝____ 三角函 數(shù)線 有向線段MP叫作角α的正弦線 有向線段OM叫作角α的余弦線 有向線段AT叫作角α的正切線 基礎(chǔ)自測 1．終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合為(　　)． A．{α|α＝k360，k∈Z} B．{α|α＝k180，k∈Z} C．{α|α＝k90，k∈Z} D．{α|α＝k180＋90，k∈Z} 2．設(shè)角α終邊上一點(diǎn)P(－4a,3a)(a＜0)，則sin α的值為(　　)． A． B．－ C． D．－ 3．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，則這個(gè)圓心角所對的弧長是(　　)． A．2 B．sin 2 C． D．2sin 1 4．已知sin θ＜0，tan θ＞0，那么θ是(　　)． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．若點(diǎn)P在角π的終邊上，且|OP|＝2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________． 思維拓展 1．第一象限內(nèi)的角是否都為銳角？ 提示：不是．銳角是大于0且小于90的角．第一象限內(nèi)的角還有大于90和小于0的角． 2．終邊相同的角相等嗎？ 提示：相等的角終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍． 3．如何用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大?。? 提示：三角函數(shù)線的長度表示三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)． 一、象限角及終邊相同的角 【例1－1】若α是第三象限的角，則π－α是(　　)． A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角 C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角 【例1－2】已知角α是第一象限角，確定2α，的終邊所在的位置． 方法提煉1．對與角α終邊相同的角的一般形式α＋k360的理解． (1)k∈Z； (2)α是任意角； (3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無窮多個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍． 2．已知α的終邊位置，確定kα，(k∈N＋)的終邊的方法：先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或的范圍，然后就k的可能取值討論kα或的終邊所在位置． 請做[針對訓(xùn)練]1 二、弧長與扇形的面積 【例2】(1)一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少(π取3.14)? (2)一扇形的周長為20，當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ 方法提煉在弧度制下，弧長公式為l＝αr，扇形面積公式為S＝lr＝αr2，α為圓心角，α∈(0,2π)，r為半徑，l為弧長． 提醒：應(yīng)用上述公式時(shí)，要先把角統(tǒng)一為用弧度制表示．弧長公式l＝，扇形面積公式為S＝(其中n為α的角度數(shù)，r為半徑)． 請做[針對訓(xùn)練]2 三、三角函數(shù)的定義 【例3－1】已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈，求α的三角函數(shù)值． 【例3－2】已知角α的頂點(diǎn)與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－1,2)．求sin的值． 方法提煉定義法求三角函數(shù)值的兩種情況： (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解． (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值． 請做[針對訓(xùn)練]3 考情分析 從近兩年的高考試題來看，三角函數(shù)的定義，由定義求得三角函數(shù)，再利用一些知識進(jìn)行化簡求值是高考的熱點(diǎn)，既有小題，也有大題． 預(yù)測xx年高考仍會考查三角函數(shù)定義及符號判定，重點(diǎn)考查運(yùn)算能力與恒等變形能力． 針對訓(xùn)練 1．若α＝k180＋45(k∈Z)，則α在(　　)． A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 2．已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是(　　)． A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 3．角α的終邊上有一點(diǎn)P(3t,4t)(t∈R且t≠0)，則sin α的值是__________． 4．已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測 知識梳理 1．(1)正角　負(fù)角　零角 (2) 2．(1)單位長度　弧度　(2)2π　π　 (3)|α|r　lr　|α|r2 3．y　x　　正　正　正　正　負(fù)　負(fù)　負(fù)　負(fù)　正　負(fù)　正　負(fù)　sin α　cos α　tan α 基礎(chǔ)自測 1．C　解析：當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí)，可表示為k180，k∈Z.當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí)，可表示為k180＋90，k∈Z. ∴當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，可表示為k90，k∈Z. 2．B　解析：設(shè)P與原點(diǎn)的距離為r， ∵P(－4a,3a)，a＜0， ∴r＝＝|5a|＝－5a. ∴sin α＝＝－. 3．C　解析：由已知可得該圓的半徑為.∴2弧度的圓心角所對的弧長為2＝. 4．C　解析：∵sin θ＜0， ∴θ在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上， 又tan θ＞0，∴θ在第一或第三象限， ∴θ在第三象限． 5．(－1，)　解析：根據(jù)三角函數(shù)的定義，x＝|OP|cosπ＝2＝－1，y＝|OP|sinπ＝2＝. ∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，)． 考點(diǎn)探究突破 【例1－1】B　解析：由已知，得2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z) ∴－kπ＋＜π－＜－kπ＋(k∈Z)．∴π－是第一或第三象限的角． 【例1－2】解：∵α是第一象限的角， ∴k2π＜α＜k2π＋(k∈Z)． (1)k4π＜2α＜k4π＋π(k∈Z)． 即2k2π＜2α＜2k2π＋π(k∈Z)． ∴2α的終邊在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上． (2)kπ＜＜kπ＋(k∈Z)，當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＜＜2nπ＋(n∈Z)． ∴的終邊在第一象限．當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，(2n＋1)π＜＜(2n＋1)π＋(n∈Z)，即2nπ＋π＜＜2nπ＋(n∈Z)， ∴的終邊在第三象限． 綜上，的終邊在第一象限或第三象限． 【例2】解：(1)設(shè)扇形的圓心角是θ rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L是rθ，所以扇形的周長是2r＋rθ.依題意，得2r＋rθ＝πr. ∴θ＝π－2＝(π－2) ≈1.1457.32≈65.35， ∴扇形的面積為S＝r2θ＝(π－2)r2. (2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝20. 即l＝20－2r(0＜r＜10)．① 扇形的面積S＝lr，將①代入，得S＝(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25， 所以當(dāng)且僅當(dāng)r＝5時(shí)，S有最大值25. 此時(shí)l＝20－25＝10，α＝＝2. 所以當(dāng)α＝2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值． 【例3－1】 解：設(shè)P與原點(diǎn)的距離為r， ∵θ∈，∴－1＜cos θ＜0， ∴r＝＝－5cos θ， 故sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 【例3－2】解：∵P(－1,2)是角α終邊上一點(diǎn)， 由此求得r＝|OP|＝＝. ∴sin α＝＝，cos α＝＝－. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2＝－， cos 2α＝cos2α－sin2α＝2－2＝－. ∴sin＝sin 2αcos＋ cos 2αsin＝－＋＝. 演練鞏固提升 針對訓(xùn)練 1．A　解析：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，α在第三象限；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，α在第一象限． 2．C　解析：設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則由題意得 解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2. 3．　解析：∵P(3t,4t)，∴原點(diǎn)O到P點(diǎn)的距離|OP|＝5|t|， ∴sin α＝＝. 4．解：∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上， ∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r， 則x＝4t，y＝－3t. r＝＝＝5|t|， 當(dāng)t＞0時(shí)，r＝5t，sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝. tan α＝＝＝－； 當(dāng)t＜0時(shí)，r＝－5t，sin α＝＝＝. cos α＝＝＝－. tan α＝＝＝－.