2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第十二章概率與統(tǒng)計12.1 離散型隨機(jī)變量的分布列教案 （理） 新人教A版 網(wǎng)絡(luò)體系總覽 考點(diǎn)目標(biāo)定位 1.離散型隨機(jī)變量的分布列.離散型隨機(jī)變量的期望和方差. 2.抽樣方法、總體分布的估計、正態(tài)分布、線性回歸. 復(fù)習(xí)方略指南 在復(fù)習(xí)中,要注意理解變量的多樣性,深化函數(shù)的思想方法在實(shí)際問題中的應(yīng)用,充分注意一些概念的實(shí)際意義,理解概率中處理問題的基本思想方法,掌握所學(xué)概率知識的實(shí)際應(yīng)用. 1.把握基本題型 應(yīng)用本章知識要解決的題型主要分兩大類:一類是應(yīng)用隨機(jī)變量的概念,特別是離散型隨機(jī)變量分布列以及期望與方差的基礎(chǔ)知識,討論隨機(jī)變量的取值范圍,取相應(yīng)值的概率及期望、方差的求解計算;另一類主要是如何抽取樣本及如何用樣本去估計總體.作為本章知識的一個綜合應(yīng)用,教材以實(shí)習(xí)作業(yè)作為一節(jié)給出,應(yīng)給予足夠的重視. 2.強(qiáng)化雙基訓(xùn)練 主要是培養(yǎng)扎實(shí)的基礎(chǔ)知識,迅捷準(zhǔn)確的運(yùn)算能力,嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛嗤评砟芰? 3.強(qiáng)化方法選擇 特別在教學(xué)中要掌握思維過程,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的方法,達(dá)到舉一反三的目的,還要進(jìn)行題后反思,使學(xué)生在大腦記憶中構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu),形成條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系. 4.培養(yǎng)應(yīng)用意識 要挖掘知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,從形式結(jié)構(gòu)、數(shù)字特征、圖形圖表的位置特點(diǎn)等方面進(jìn)行聯(lián)想和試驗,找到知識的“結(jié)點(diǎn)”.再有就是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題進(jìn)行訓(xùn)練,以培養(yǎng)利用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力. 12.1 離散型隨機(jī)變量的分布列 鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.隨機(jī)變量的概念 如果隨機(jī)試驗的結(jié)果可以用一個變量表示,那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量,它常用希臘字母ξ、η等表示. (1)離散型隨機(jī)變量.如果對于隨機(jī)變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,那么這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. (2)若ξ是隨機(jī)變量,η=aξ+b,其中a、b是常數(shù),則η也是隨機(jī)變量. 2.離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)概率分布(分布列).設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1,x2,…,xi,…,ξ取每一個值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ=xi)=pi,則稱表 ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 為隨機(jī)變量ξ的概率分布,簡稱ξ的分布列. (2)二項分布.如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(ξ=k)=Cknpkqn-k. 其中k=0,1,…,n,q=1-p,于是得到隨機(jī)變量ξ的概率分布如下: ξ 0 1 … k … n P C0np0qn C1np1qn-1 … Cknpkqn-k … Cnnpnq0 我們稱這樣的隨機(jī)變量ξ服從二項分布,記作ξ—B(n,p),其中n、p為參數(shù),并記Cknpkqn-k=b(k;n,p). 二、點(diǎn)擊雙基 1.拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為ξ，那么ξ=4表示的隨機(jī)試驗結(jié)果是（ ） A.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn) B.兩顆都是2點(diǎn) C.兩顆都是4點(diǎn) D.一顆是3點(diǎn)，一顆是1點(diǎn)或兩顆都是2點(diǎn) 解析:對A、B中表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果，隨機(jī)變量均取值4，而D是 ξ=4代表的所有試驗結(jié)果.掌握隨機(jī)變量的取值與它刻畫的隨機(jī)試驗的結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系是理解隨機(jī)變量概念的關(guān)鍵. 答案:D 2.設(shè)ξ是一個離散型隨機(jī)變量,其分布列為: ξ -1 0 1 P 0.5 1-2q q2 則q等于( ) A.1 B.1 C.1+ D.1- 解析：∵0.5+1-2q+q2=1,∴q=1. 當(dāng)q=1+時,1-2q<0,與分布列的性質(zhì)矛盾, ∴q=1-. 答案：D 3.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ=k)=,k=1,2,…,則P(2<ξ≤4)等于( ) A. B. C. D. 解析:P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=. 答案:A 4.某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%,從中任意地連續(xù)取出5件,其中次品數(shù)ξ的分布列為 __________________________. 解析:本題中商品數(shù)量較大,故從中任意抽取5件(不放回)可以看作是獨(dú)立重復(fù)試驗n=5,因而次品數(shù)ξ服從二項分布, 即ξ—B(5,0.1). ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 3 4 5 P 0.95 0.50.94 0.10.93 0.010.92 4.50.14 0.15 5.某射手有5發(fā)子彈,射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.9,如果命中就停止射擊,否則一直到子彈用盡,則耗用子彈數(shù)ξ的分布列為___________________________. 解析：ξ可以取1,2,3,4,5, P(ξ=1)=0.9,P(ξ=2)=0.10.9=0.09,P(ξ=3)=0.120.9=0.009,P(ξ=4)=0.130.9=0.000 9,P(ξ=5)=0.14=0.000 1. ∴分布列為 ξ 1 2 3 4 5 P 0.9 0.09 0.009 0.000 9 0.000 1 誘思實(shí)例點(diǎn)撥 【例1】 一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號碼，寫出隨機(jī)變量ξ的分布列. 剖析:因為在編號為1,2,3,4,5的球中,同時取3只,所以小號碼可能是1或2或3,即ξ可以取1,2,3. 解:隨機(jī)變量ξ的可能取值為1，2，3. 當(dāng)ξ=1時，即取出的三只球中最小號碼為1，則其他兩只球只能在編號為2，3，4，5的四只球中任取兩只，故有P（ξ=1）===; 當(dāng)ξ=2時，即取出的三只球中最小號碼為2，則其他兩只球只能在編號為3，4，5的三只球中任取兩只，故有P（ξ=2）==; 當(dāng)ξ=3時，即取出的三只球中最小號碼為3，則其他兩只球只能在編號為4，5的兩只球中任取兩只，故有P（ξ=3）==. 因此，ξ的分布列如下表所示： ξ 1 2 3 P 講評:求隨機(jī)變量的分布列,重要的基礎(chǔ)是概率的計算,如古典概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等.本題中基本事件總數(shù),即n=C35,取每一個球的概率都屬古典概率(等可能性事件的概率). 【例2】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊,甲每次擊中目標(biāo)的概率為,乙每次擊中目標(biāo)的概率為. (1)記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ,求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望Eξ; (2)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率; (3)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率. 剖析:(1)甲射擊有擊中目標(biāo)與擊不中目標(biāo)兩個結(jié)果,且3次射擊是3次獨(dú)立重復(fù)試驗.∴ξ—B(3,).(2)“乙至多擊中目標(biāo)2次”的對立事件是“乙擊中目標(biāo)3次”.(3)“甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次”即“甲擊中2次乙沒擊中目標(biāo)或甲擊中目標(biāo)3次乙擊中1次”. 解:(1)P(ξ=0)=C03()3=; P(ξ=1)=C13()3=; P(ξ=2)=C23()3=; P(ξ=3)=C33()3=. ξ的概率分布如下表: ξ 0 1 2 3 P ∵ξ—B(3,), ∴Eξ=3=1.5. (2)乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1-C33()3=. (3)設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1,甲恰好擊中目標(biāo)3次且乙恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2,則A=B1+B2,B1、B2為互斥事件,∴P(A)=P(B1)+P(B2)=+=. ∴甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為. 講評:求離散型隨機(jī)變量的概率分布的步驟為:(1)找出隨機(jī)變量ξ的所有可能的值xi(i=1,2,…);(2)求出各值的概率P(ξ=xi)=pi;(3)列成表格. 【例3】箱中裝有大小相同的黃、白兩種顏色的乒乓球,黃、白乒乓球的數(shù)量比為s∶t.現(xiàn)從箱中每次任意取出一個球,若取出的是黃球則結(jié)束,若取出的是白球,則將其放回箱中,并繼續(xù)從箱中任意取出一個球,但取球的次數(shù)最多不超過n次.以ξ表示取球結(jié)束時已取到白球的次數(shù). (1)求ξ的分布列; (2)求ξ的數(shù)學(xué)期望. 解:(1)ξ的可能取值為0,1,2,…,n. ξ的分布列為 ξ 0 1 2 … n-1 n P … (2)ξ的數(shù)學(xué)期望為 Eξ=0+1+2+…+(n-1)+n. ① Eξ=++…+++. ② ①-②,得Eξ=+--. 講評:本題是幾何分布問題,其中用到數(shù)列的錯位相減法求和,注意運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性.