2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章概率章末分層突破學(xué)案蘇教版必修.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章概率章末分層突破學(xué)案蘇教版必修
①幾何概型
②對(duì)立事件
③P(A)+P(B)
④1-P(B)
隨機(jī)事件及其概率
必然事件與不可能事件反映的都是在一定條件下的確定性現(xiàn)象,而隨機(jī)事件反映的則是隨機(jī)現(xiàn)象,事件都是在“一定條件下”發(fā)生的,當(dāng)條件改變時(shí),事件的類型也可以發(fā)生變化.
隨機(jī)事件的概率是指大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率接近的常數(shù),記作P(A).它反映的是這個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小,即一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生既有隨機(jī)性(對(duì)單次試驗(yàn)來說)又有規(guī)律性(對(duì)大量重復(fù)試驗(yàn)來說),其中規(guī)律性是體現(xiàn)在的值具有穩(wěn)定性,即當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加時(shí),的值總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)且擺動(dòng)的幅度越來越小.
必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,故0≤P(A)≤1.
對(duì)一批電子元件進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表:
抽出件數(shù)a
50
100
200
300
400
500
次品件數(shù)b
3
4
5
5
8
9
次品頻率
(1)計(jì)算表中次品的頻率;
(2)從這批電子元件中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少?
(3)為保證買到次品的顧客能夠及時(shí)更換,要銷售2 000個(gè)電子元件,至少需進(jìn)貨多少個(gè)電子元件?
【精彩點(diǎn)撥】 根據(jù)頻率、概率的定義及概率的意義求解.
【規(guī)范解答】 (1)表中的頻率從左到右依次為=0.06,=0.04,=0.025,≈0.017,=0.02,=0.018.
(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0.02附近擺動(dòng),所以從這批電子元件中任抽一個(gè)是次品的概率約是0.02.
(3)設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)電子元件,為保證其中有2 000個(gè)正品電子元件,則x(1-0.02)≥2 000,因?yàn)閤是正整數(shù),所以x≥2 041,即至少需進(jìn)貨2 041個(gè)電子元件.
[再練一題]
1.某射手在相同條件下進(jìn)行射擊,結(jié)果如下:
射擊次數(shù)n
10
20
50
100
200
500
擊中靶心次數(shù)m
8
19
44
92
178
455
擊中靶心的頻率
0.8
0.95
0.88
0.92
0.89
0.91
(1)問該射手射擊一次,擊中靶心的概率約是多少?
(2)假設(shè)該射手射擊了300次,估計(jì)擊中靶心的次數(shù)是多少?
(3)假如該射手射擊了10次,前9次已擊中8次,那么第10次一定擊中靶心嗎?
【解】 (1)概率約為0.9;
(2)估計(jì)擊中靶心的次數(shù)為3000.9=270(次);
(3)不一定.
古典概型與幾何概型
古典概型是一種最基本的概率模型,也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ).解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征,即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)=時(shí),要正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,求出n,m.
幾何概型同古典概型一樣,是概率中最具有代表性的試驗(yàn)概型之一,我們要理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征,即無限性與等可能性.在應(yīng)用公式P(A)=時(shí),要正確理解測度的類型.
古典概型與幾何概型在高考中占有非常重要的位置,是高考的常見題型.
在甲、乙兩個(gè)盒子中分別裝有標(biāo)號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)球,現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球,每個(gè)小球被取出的可能性相等.
(1)求取的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率;
(2)求取的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率.
【精彩點(diǎn)撥】 →→
【規(guī)范解答】 從甲、乙兩個(gè)盒子中各取出1個(gè)球,所有編號(hào)的可能情況有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).共16種.
(1)設(shè)“取的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)”為事件A,則事件A包含的基本事件有(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),共6個(gè).
∴P(A)==.
即取的兩球上標(biāo)號(hào)為相鄰整數(shù)的概率為.
(2)設(shè)“取的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除”為事件B,則事件B包含的基本事件有(1,2),(2,1),(3,3),(2,4),(4,2),共5個(gè).
∴P(B)=.
即取的兩個(gè)球上標(biāo)號(hào)之和能被3整除的概率為.
[再練一題]
2.在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù),則這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于的概率為多少?
【解】 設(shè)在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取的兩個(gè)實(shí)數(shù)分別為x,y,則0<x<1,0<y<1,則區(qū)域M={(x,y)|0<x<1,0<y<1}為如圖所示的正方形區(qū)域,記事件A={(x,y)|x+y>,0<x<1,0<y<1},則其所表示區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分,所以P(A)===.
互斥事件與對(duì)立事件
互斥事件和對(duì)立事件都是研究怎樣從一些較簡單的事件的概率來推算較復(fù)雜事件的概率的.應(yīng)用互斥事件的概率的加法公式解題時(shí)一定注意要先確定各個(gè)事件是否彼此互斥,然后求出各事件分別發(fā)生的概率,再根據(jù)公式求和.對(duì)于較復(fù)雜事件的概率,可以轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率,含有“至多”、“至少”的問題求概率時(shí),??紤]其對(duì)立事件的概率.
互斥事件和對(duì)立事件是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考的熱點(diǎn).
現(xiàn)有8名數(shù)理化成績優(yōu)秀者,其中A1,A2,A3數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,B1,B2,B3物理成績優(yōu)秀,C1,C2化學(xué)成績優(yōu)秀.從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名,組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競賽.
(1)求C1被選中的概率;
(2)求A1和B1不全被選中的概率.
【精彩點(diǎn)撥】 (1)運(yùn)用古典概型求解.
(2)利用對(duì)立事件的概率求解.
【規(guī)范解答】 (1)從8人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績優(yōu)秀者各1名,其一切可能的結(jié)果有:
(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2),共18種.
由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等.因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.
用M表示“C1恰被選中”這一事件,則M包含的基本事件有(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A2,B3,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1),(A3,B3,C1),共9個(gè).事件M由9個(gè)基本事件組成,因而P(M)==.
∴C1被選中的概率為.
(2)用N表示“A1,B1不全被選中”這一事件,則其對(duì)立事件表示“A1,B1全被選中”這一事件,則包含的基本事件有(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)共2個(gè),所以P()==.
由對(duì)立事件的概率公式得
P(N)=1-P()=1-=.
∴A1和B1不全被選中的概率為.
[再練一題]
3.某射手在一次射擊中射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)、7環(huán)以下的概率分別為0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:
(1)射中10環(huán)或9環(huán)的概率;
(2)至少射中7環(huán)的概率;
(3)射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率.
【解】 設(shè)“射中10環(huán)”“射中9環(huán)”“射中8環(huán)”“射中7環(huán)”“射中7環(huán)以下”的事件分別為A、B、C、D、E,
(1)P(A+B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52,
即射中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52.
(2)法一 P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87,
即至少射中7環(huán)的概率為0.87.
法二 射中環(huán)數(shù)小于7為至少射中7環(huán)的對(duì)立事件,
所以所求事件的概率為1-P(E)=1-0.13=0.87.
(3)P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29,
即射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率為0.29.
數(shù)形結(jié)合思想在概率中的應(yīng)用
數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來.包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面.在本節(jié)中把幾何概型問題利用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成圖形問題(或符合條件的點(diǎn)集問題)去解決.
甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面,并約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人一刻鐘,過時(shí)即可離去,求兩人能會(huì)面的概率.
【精彩點(diǎn)撥】 利用幾何概型求概率即可.
【規(guī)范解答】 以x軸和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點(diǎn)的時(shí)間,則兩人能夠會(huì)面的充要條件是|x-y|≤15.如圖平面直角坐標(biāo)系下,(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形,而事件A“兩人能夠會(huì)面”的可能結(jié)果由圖中的陰影部分表示,由幾何概型的概率公式得P(A)===.
[再練一題]
4.三個(gè)人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地傳給另兩人(不自傳),若從A發(fā)球算起,經(jīng)4次傳球又回到A手中的概率是多少?
【解】 記三人為A,B,C,則4次傳球的所有可能可用樹狀圖方式列出,
每一個(gè)分支為一種傳球方案,則基本事件的總數(shù)為16,而又回到A手中的事件個(gè)數(shù)為6個(gè),根據(jù)古典概型概率公式得P==.
1.袋中有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球.從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為______.
【解析】 由古典概型概率公式,得所求事件的概率為P==.
【答案】
2.從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是________.
【解析】 取兩個(gè)數(shù)的所有情況有:(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種情況.
乘積為6的情況有:(1,6),(2,3),共2種情況.
所求事件的概率為=.
【答案】
3.現(xiàn)有某類病毒記作XmYn,其中正整數(shù)m,n(m≤7,n≤9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為________.
【解析】 因?yàn)檎麛?shù)m,n滿足m≤7,n≤9,所以(m,n)所有可能的取值一共有79=63(種),其中m,n都取到奇數(shù)的情況有45=20(種),因此所求概率為P=.
【答案】
4.將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是________.
【解析】 畫出示意圖,由圖易知先后拋擲2次,共有36種不同的等可能的結(jié)果,點(diǎn)數(shù)之和小于10的結(jié)果有30種,不小于10的結(jié)果有6種.
法一:所求概率P==.
法二:所求概率P=1-=.
【答案】
5.在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為________.
【解析】 圓(x-5)2+y2=9的圓心為C(5,0),半徑r=3,由直線與圓相交可得圓心到直線的距離d<r即<3,
解得-<k<.
由幾何概型的概率公式得所求的概率P==.
【答案】