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2019-2020年高二數(shù)學(xué)特征值與特征向量教案 變換的不變量 （1）掌握矩陣特征值與特征向量的定義，能從幾何變換的角度說明特征向量的意義。 （2）會(huì)求二階方陣的特征值與特征向量（只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形）。 引例：根據(jù)下列條件試判斷M是否與共線： ⑴M= ，非零向量= ⑵ M= ，非零向量= ⑶M＝ ，非零向量a＝， 解：⑴ M= ==3，所以M與共線。 ⑵ M= =，而與不共線。 即此時(shí)M與不共線。 ⑶M與共線。 二、特征向量與特征值 設(shè)二階矩陣A ，對(duì)于實(shí)數(shù)l，存在一個(gè)非零向量a，使得Aa＝la，那么l稱為A的一個(gè)特征值，而a稱為A的屬于特征值l的一個(gè)特征向量。 幾何觀點(diǎn)：特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣A的作用后，保持在同一直線上。l＞0方向不變；l＜0方向相反；l＝0，特征向量就被變換成零向量。 代數(shù)方法：特征多項(xiàng)式 例2 求初等變換矩陣的特征值與特征向量，并作出幾何解釋。 例3 求矩陣M= 的特征值和特征向量： 解：矩陣M的特征值滿足方程 =(+1)(-3)-(-)(-2)=2-2-8=0 解得，矩陣M的兩個(gè)特征值1=4，2=-2 ⑴設(shè)屬于特征值1=4的特征向量為，則它滿足方程：(1+1)x+(-2)y=0 即：(4+1)x+(-2)y=0 也就是 5x-2y=0 ,則可取為屬于特征值1=4的一個(gè)特征向量。 ⑵設(shè)屬于特征值1=-2的特征向量為，則它滿足方程：(2+1)x+(-2)y=0 即：(-2+1)x+(-2)y=0 也就是x+2y=0 則可取為屬于特征值2=-2的一個(gè)特征向量。 綜上所述：M= 有兩個(gè)特征值1=4，2=-2， 屬于1=4的一個(gè)特征向量為，屬于2=-2的一個(gè)特征向量為。 例3 已知：矩陣M= ，向量 = 求M3 解：由上題可知1 =,2 =是矩陣M= 分別對(duì)應(yīng)特征值1=4，2=-2的兩個(gè)特征向量，而1與2不共線。又==3+=31+2 ∴M3= M3(31+2)=3 M31+ M32 =3131+232=343+(-2)3 =192-8== 例4 已知M＝，b＝，試計(jì)算M50b 例5 自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等。因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系。但是，如果沒有任何限制，種群也會(huì)泛濫成災(zāi)。現(xiàn)假設(shè)兩個(gè)互相影響的種群X，Y隨時(shí)間段變化的數(shù)量分別為{an}，{bn}，并有關(guān)系式，其中a1＝6，b1＝4，試分析20個(gè)時(shí)段后這兩個(gè)種群的數(shù)量變化趨勢。