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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換 矩陣與變換教案 理 新人教版選修4-2 【xx年高考會(huì)這樣考】 1．本部分高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)是矩陣變換與二階矩陣的乘法運(yùn)算，考題中多考查求平面圖形在矩陣的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的新圖形，進(jìn)而研究新圖形的性質(zhì)． 2．本部分高考命題的另一個(gè)熱點(diǎn)是逆矩陣，主要考查行列式的計(jì)算、逆矩陣的性質(zhì)與求法以及借助矩陣解決二元一次方程組的求解問(wèn)題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．認(rèn)真理解矩陣相等的概念，知道矩陣與矩陣的乘法的意義，并能熟練進(jìn)行矩陣的乘法運(yùn)算． 2．掌握幾種常見的變換，了解其特點(diǎn)及矩陣表示，注意結(jié)合圖形去理解和把握矩陣的幾種變換． 3．熟練進(jìn)行行列式的求值運(yùn)算，會(huì)求矩陣的逆矩陣，并能利用逆矩陣解二元一次方程組． 基礎(chǔ)梳理 1．乘法規(guī)則 (1)行矩陣[a11　a12]與列矩陣的乘法規(guī)則： [a11　a12]＝[a11b11＋a12b21]． (2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則： ＝. (3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下： ＝ (4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C. 一般地兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算． 2．常見的平面變換 恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換六個(gè)變換． 3．逆變換與逆矩陣 (1)對(duì)于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣； (2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1. 4．特征值與特征向量 設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個(gè)特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量． 雙基自測(cè) 1．(xx南通調(diào)研測(cè)試)曲線C1：x2＋2y2＝1在矩陣M＝的作用下變換為曲線C2，求C2的方程． 解　設(shè)P(x，y)為曲線C2上任意一點(diǎn)，P′(x′，y′)為曲線x2＋2y2＝1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)， 則＝，即? 因?yàn)镻′是曲線C1上的點(diǎn)， 所以C2的方程為(x－2y)2＋2y2＝1. 2．已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是，求矩陣A. 解　設(shè)A＝，由 ＝，得 由＝3＝，得所以 所以A＝. 3．(xx蘇州調(diào)研測(cè)試)已知圓C：x2＋y2＝1在矩陣形A＝(a＞0，b＞0)對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓＋＝1，求a，b的值． 解　設(shè)P(x，y)為圓C上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)榱硪粋€(gè)點(diǎn)P′(x′，y′)， 則＝ ，即 又因?yàn)辄c(diǎn)P′(x′，y′)在橢圓＋＝1上，所以＋＝1.由已知條件可知，x2＋y2＝1，所以a2＝9，b2＝4. 因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＝3，b＝2. 4．(xx南京市模擬)已知a＝為矩陣A＝屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a，λ的值及A2. 解　由條件可知 ＝λ， 所以解得a＝λ＝2. 因此A＝. 所以A2＝ ＝. 考向一　矩陣與變換 【例1】?求曲線2x2－2xy＋1＝0在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程，其中M＝，N＝. [審題視點(diǎn)] 先求積MN，再求變換公式． 解　MN＝＝. 設(shè)P(x′，y′)是曲線2x2－2xy＋1＝0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x，y)， 則＝＝， 于是x′＝x，y′＝x＋， 代入2x′2－2x′y′＋1＝0，得xy＝1. 所以曲線2x2－2xy＋1＝0在MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為xy＝1. 【訓(xùn)練1】 四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′分別是矩形和平行四邊形，其中點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(－1,2)，B(3,2)，C(3，－2)，D(－1，－2)，A′(－1,0)，B′(3,8)，C′(3,4)，D′(－1，－4)，求將四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′的變換矩陣M. 解　該變換為切變變換，設(shè)矩陣M為， 則＝.所以－k＋2＝0，解得k＝2. 所以M為. 考向二　矩陣的乘法與逆矩陣 【例2】?已知矩陣A＝，B＝，求(AB)－1. [審題視點(diǎn)] 求矩陣A＝的逆矩陣，一般是設(shè) A－1＝，由 ＝求得． 解　AB＝ ＝. 設(shè)(AB)－1＝，則由(AB)(AB)－1＝， 得 ＝，即＝， 所以解得故(AB)－1＝. 【訓(xùn)練2】 已知矩陣A＝，B＝，求矩陣AB的逆矩陣． 解　設(shè)矩陣A的逆矩陣為A－1＝， 則 ＝＝， 解之得，a＝1，b＝－2，c＝0，d＝1， 所以A－1＝. 同理得，B－1＝.又(AB)－1＝B－1A－1， 所以(AB)－1＝＝. 考向三　矩陣的特征值與特征向量 【例3】?已知矩陣M＝，其中a∈R，若點(diǎn)P(1，－2)在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′(－4,0)，求： (1)實(shí)數(shù)a的值； (2)矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量． [審題視點(diǎn)] f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6. 解　(1)由＝， 所以2－2a＝－4.所以a＝3. (2)由(1)知M＝，則矩陣M的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，得矩陣M的特征值為－1與4. 當(dāng)λ＝－1時(shí)，?x＋y＝0. 所以矩陣M的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為. 當(dāng)λ＝4時(shí)，?2x－3y＝0. 所以矩陣M的屬于特征值4的一個(gè)特征向量為. 【訓(xùn)練3】 已知二階矩陣A＝，矩陣A屬于特征值λ1＝－1的一個(gè)特征向量為a1＝，屬于特征值λ2＝4的一個(gè)特征向量為a2＝，求矩陣A. 解　由特征值、特征向量定義可知，Aa1＝λ1a1， 即＝－1，得 同理可得解得a＝2，b＝3，c＝2，d＝1. 因此矩陣A＝. 矩陣的有關(guān)問(wèn)題及其求解方法 矩陣與變換是理科附加題的選考題，題型主要有矩陣與變換、矩陣的乘積與逆矩陣，求矩陣的特征值與特征向量．熟悉變換問(wèn)題的解題，掌握矩陣乘法法則和求矩陣特征值與特征向量的方法，會(huì)用待定系數(shù)法求逆矩陣． 【示例】? (本題滿分10分)(xx福建)設(shè)矩陣M＝(其中a＞0，b＞0)． (1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1； (2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值． 用待定系數(shù)法求逆矩陣． [解答示范] (1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M－1＝， 則MM－1＝.又M＝， 所以＝， 所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1， 即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝， 故所求的逆矩陣M－1＝.(5分) (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′，y′)，則 ＝，即又點(diǎn)P′(x′，y′)在曲線C′上，所以＋y′2＝1， 則＋b2y2＝1為曲線C的方程． 又已知曲線C的方程為x2＋y2＝1，故 又a＞0，b＞0，所以(10分) 【試一試】 (xx江蘇)已知矩陣A＝，向量β＝，求向量α，使得A2α＝β. [嘗試解答] 設(shè)α＝，由A2α＝β，得＝，即解得故α＝.