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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量學(xué)案 文 新人教版 一、向量的有關(guān)概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． 2．幾種特殊的向量 特殊向量 定義 備注 零向量 長度為零的向量 零向量記作0，其方向是任意的 單位向量 長度等于1個單位的向量 單位向量記作a0，與a同方向的單位向量a0＝ 平行向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共線向量) 0與任意向量共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量 相反向量 長度相等且方向相反的兩個向量 若a，b為相反向量，則a＝－b 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 【方法技巧】　向量加減法運算的關(guān)鍵點： 向量加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾連，指向終點”，可推廣為多個向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則的關(guān)鍵是“共起點，指向被減向量”． 三、平面向量共線定理 　向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa. 【拓展延伸】　巧用系數(shù)判共線 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A、B、C三點共線，則λ＋μ＝1；反之也成立． [基礎(chǔ)能力提升] 1．下列說法正確的是(　　) A．零向量是沒有方向的向量 B．單位向量都相等 C．向量的模一定是正數(shù) D．相反向量是平行向量 【解析】　零向量的方向是任意的，不是沒有方向，A錯；單位向量模相等，方向不一定相同，B錯；零向量的模為0，C錯；D正確． 【答案】　D 2．在平行四邊形ABCD中，設(shè)＝a，＝b，＝c，＝d，則下列等式中不正確的是(　　) A．a(chǎn)＋b＝c　　　　　B．a(chǎn)－b＝d C．b－a＝d D．c－a＝b 【解析】　如圖所示，結(jié)合向量加法與減法的三角形法則知，B錯誤． 【答案】　B 3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD是(　　) A．長方形 B．平行四邊形 C．菱形 D．梯形 【解析】　＋＋＝＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，∴四邊形ABCD是梯形． 【答案】　D 4．已知向量a、b不共線，且ka＋b與a＋kb共線，則實數(shù)k＝________. 【解析】　由題意知ka＋b＝λ(a＋kb)，∴ka＋b＝λa＋λkb， ∴∴k＝1 【答案】　1 1．兩個結(jié)論 (1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則＝(＋)． (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點A、B、C，＝(＋＋)?G是△ABC的重心．特別地，＋＋＝0?P為△ABC的重心． 2．三個注意點 (1)作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點； (2)向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個； (3)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線； 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [基礎(chǔ)知識深耕] 一、平面向量基本定理 　如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 【方法技巧】　選擇基底的規(guī)則： (1)零向量不能作為基底向量； (2)基底的選擇不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量都可以作為這個平面的一組基底． 二、平面向量的坐標(biāo)表示 1．平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．對于平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj.這樣，a可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．顯然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 三、平面向量的坐標(biāo)運算 1．平面向量運算的坐標(biāo)表示 運算 坐標(biāo)表示 和(差) 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2) 數(shù)乘 已知a＝(x1，y1)，則λa＝(λx1，λy1)，其中λ是實數(shù) 任一向量的坐標(biāo) 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1). 2.平面向量共線的坐標(biāo)表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 【拓展延伸】　三點共線與定比分點 1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點共線，則(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x2－x1)(y3－y1)＝(x3－x1)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．同樣地，當(dāng)這些條件中有一個成立時，A，B，C三點共線． 2．若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，當(dāng)＝λ時，點P的坐標(biāo)是. [基礎(chǔ)能力提升] 1．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列說法正確的是(　　) A．若實數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ1e2＝0，則λ1＝λ2＝0 B．對空間任意向量a都可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．λ1e1＋λ2e不一定在平面α內(nèi)，λ1，λ2∈R D．對于平面α內(nèi)任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對 【解析】　由平面向量基本定理知，只有A選項正確． 【答案】　A 2．給出下列幾種說法： ①相等向量的坐標(biāo)相同． ②平面上一個向量對應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)． ③一個坐標(biāo)對應(yīng)唯一的向量． 其中正確的說法的個數(shù)是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】　根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示知，①③正確，但由于所用基底不同，同一向量坐標(biāo)不同，故②錯誤． 【答案】　C 3．若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　) A．(1,1) B．(－1，－1) C．(3,7) D．(－3，－7) 【解析】?。剑?1,3)－(2,4)＝(－1，－1)． 【答案】　B 4．已知a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，則x＝(　　) A．9 B．6 C．5 D．3 【解析】　∵a∥b，∴43－2x＝0，∴x＝6. 【答案】　B 1.兩種形式 向量共線的充要條件的兩種形式： (1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R) (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 2．三個易錯點 (1)若a、b為非零向量，當(dāng)a∥b時，a，b的夾角為0或180，求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯； (2)要區(qū)分點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息． (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 [基礎(chǔ)知識深耕] 一、向量的夾角 　(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角． (2)圖示： (3)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0≤θ≤180. (4)共線與垂直：若θ＝0，則a與b同向； 若θ＝180，則a與b反向；若θ＝90，則a與b垂直． 二、平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作ab 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何意義 數(shù)量ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 【拓展延伸】　幾種特殊情況下的數(shù)量積： 設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為θ，則 當(dāng)θ＝0時，cos θ＝1，ab＝|a||b|； 當(dāng)θ為銳角時，cos θ＞0，ab＞0； 當(dāng)θ為直角時，cos θ＝0，ab＝0； 當(dāng)θ為鈍角時，cos θ＜0，ab＜0； 當(dāng)θ＝180時，cos θ＝－1，ab＝－|a||b|. 三、平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：ab＝ba； 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)； 3．分配律：a(b＋c)＝ab＋ac. 四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a、b的夾角． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 ab＝|a||b|cos θ ab＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的關(guān)系 |ab|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ [基礎(chǔ)能力提升] 1．下列說法正確的是(　　) A．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 B．若兩個非零向量的夾角θ滿足cos θ＜0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角 C．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則向量a，b的夾角θ滿足cos θ＝ D．若A(1,0)，B(0，－1)，則||＝ 【解析】　A、C中a、b必須為非零向量，B中θ還有可能是平角，D正確． 【答案】　D 2．若a與b的夾角為120，且|a|＝|b|＝4，則ab＝(　　) A．8　　　　B．－8　　　　C．4　　　　D．－4 【解析】　ab＝|a||b|cos〈a，b〉＝44cos 120＝－8 【答案】　B 3．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且ab＝2，則a與b的夾角為(　　) A. B． C. D. 【解析】　設(shè)a、b夾角為θ，則cos θ＝＝＝.∴θ＝. 【答案】　C 4．已知向量a，b夾角為60，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(　　) A. B．2 C．4 D．12 【解析】　|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cos 60＝12，∴|a＋2b|＝2. 【答案】　B 1．一個條件 兩個非零向量垂直的充要條件： a⊥b?ab＝0 2．兩個結(jié)論 (1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有ab＞0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)； (2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有ab＜0，反之不成立(因為夾角為π時不成立)． 3．三個防范 (1)數(shù)量積運算不滿足消去律，若向量a，b，c滿足ab＝ac(a≠0)，則不一定有b＝c. (2)數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律，即(ab)c≠a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等． (3)領(lǐng)會向量夾角的概念，比如正三角形ABC中，與的夾角應(yīng)為120，而不是60.