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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項訓(xùn)練 不等式(含解析)
1、(xx湖南卷)設(shè)a>b>1,c<0,給出下列三個結(jié)論:
①>;②ac
loga(b-c).
其中所有的正確結(jié)論的序號是 ( ).
A.① B.①③ C.①②③ C.②③ B.①② D.①②③
解析:由不等式性質(zhì)及a>b>1知<,又c<0,所以>,①正確;構(gòu)造函數(shù)y=xc,∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是減函數(shù),又a>b>1,∴ac<bc,知②正確;∵a>b>1,a-c>0,∴a-c>b-c>1,∵a>b>1,∴l(xiāng)ogb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),知③正確.
答案:C
2、若<<0,則下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2中,正確的不等式是 ( ).
A.①④ B.②③
C.①③ D.②④
解析 法一 由<<0,可知b<a<0.①中,因為a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正確;②中,因為b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②錯誤;③中,因為b<a<0,又<<0,所以a->b-,故③正確;④中,因為b<a<0,根據(jù)y=x2在(-∞,0)上為減函數(shù),可得b2>a2>0,而y=ln x在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),所以ln b2>ln a2,故④錯誤.由以上分析,知①③正確.
3、設(shè)f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則f(-2)的取值范圍是________.
[正解] 法一 設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n為待定系數(shù)),則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),
即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b.
于是得解得
∴f(-2)=3f(-1)+f(1).
又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.
4、如果-1<a+b<3,3<a-b<5,那么2a-3b的取值范圍是( ).
A.(2,8) B.(5,14)
C.(6,13) D.(7,13)
解析 設(shè)a+b=x,a-b=y(tǒng),
∴-1<x<3,3<y<5,a=,b=,
∴2a-3b=x+y-(x-y)=-x+y.
又∵-<-x<,<y<,
∴6<-x+y<13,
∴2a-3b的取值范圍是(6,13).
答案 C
5.已知a>b,則下列不等式成立的是( ).
A.a(chǎn)2-b2≥0 B.a(chǎn)c>bc
C.|a|>|b| D.2a>2b
解析 A中,若a=-1,b=-2,則a2-b2≥0不成立;當(dāng)c=0時,B不成立;當(dāng)0>a>b時,C不成立;由a>b知2a>2b成立,故選D.
答案 D
6.已知0<a<1,x=loga+loga ,y=loga5,z=loga -loga ,則( ).
A.x>y>z B.z>y>x
C.z>x>y D.y>x>z
解析 由題意得x=loga,y=loga,z=loga,而0<a<1,∴函數(shù)y=loga x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴y>x>z.
答案 D
7.下面四個條件中,使a>b成立的充分不必要條件是( ).
A.a(chǎn)>b+1 B.a(chǎn)>b-1 C.a(chǎn)2>b2 D.a(chǎn)3>b3
解析 由a>b+1,得a>b+1>b,即a>b,而由a>b不能得出a>b+1,因此,使a>b成立的充分不必要條件是a>b+1.
答案 A
8.“|x|<2”是“x2-x-6<0”的( ).
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 不等式|x|<2的解集是(-2,2),而不等式x2-x-6<0的解集是(-2,3),于是當(dāng)x∈(-2,2)時,可得x∈(-2,3),反之則不成立,故選A.
答案 A
9.若a,b是任意實數(shù),且a>b,則下列不等式成立的是( ).
A.a(chǎn)2>b2 B.<1 C.lg(a-b)>0 D.a<b
解析 ∵0<<1,∴y=x是減函數(shù),又a>b,
∴a<b.
答案 D
一元二次不等式及其解法
1、已知函數(shù)f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),則不等式f(-2x)<0的解集是
( ).
A.∪
B.
C.∪
D.
解析 由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3),∴a<0.且解得a=-1或,
∴a=-1,b=-3.∴f(x)=-x2+2x+3,
∴f(-2x)=-4x2-4x+3,
由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,
解得x>或x<-,故選A.
答案 A
2、(xx江蘇卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時,f(x)=x2-4x,則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________.
解析 ∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),
∴f(0)=0,
又當(dāng)x<0時,-x>0,
∴f(-x)=x2+4x.
又f(x)為奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)=-x2-4x(x<0),
∴f(x)=
(1)當(dāng)x>0時,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;
(2)當(dāng)x=0時,f(x)>x無解;
(3)當(dāng)x<0時,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.
綜上得不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為(-5,0)∪(5,+∞).
答案 (-5,0)∪(5,+∞)
2、關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a等于 ( ).
A. B. C. D.
解析:法一 ∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的兩根.
由根與系數(shù)的關(guān)系知
∴x2-x1===15,又∵a>0,∴a=,故選A.
法二 由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,
∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(-2a,4a),
又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a.∵x2-x1=15,
∴4a-(-2a)=15,解得a=,故選A.
3、已知集合P={x|x2-x-2≤0},Q={x|log2(x-1)≤1},則(?RP)∩Q=( ).
A.[2,3] B.(-∞,-1]∪[3,+∞)
C.(2,3] D.(+∞,-1]∪(3,+∞)
解析 依題意,得P={x|-1≤x≤2},Q={x|1<x≤3},則(?RP)∩Q=(2,3].
答案 C
4.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,則實數(shù)a的取值范圍是( ).
A.[-4,4] B.(-4,4)
C.(-∞,-4]∪[4,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
解析 不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,只需Δ=a2-16>0,∴a<-4或a>4,故選D.
答案 D
5.已知f(x)=則不等式f(x)2,因此x<0.
綜上,x<4.故f(x)-2x的解集為(1,3).
(1)若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根,求f(x)的解析式;
(2)若f(x)的最大值為正數(shù),求a的取值范圍.
解 (1)∵f(x)+2x>0的解集為(1,3),
f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②
因為方程②有兩個相等的根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a9a=0,
即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.
由于a<0,舍去a=1,將a=-代入①,
得f(x)=-x2-x-.
(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a2-及a<0,可得f(x)的最大值為-.
由解得a<-2-或-2+0的解集為,則不等式-cx2+2x-a>0的解集為________.
解析 由ax2+2x+c>0的解集為知a<0,且-,為方程ax2+2x+c=0的兩個根,由根與系數(shù)的關(guān)系得-+=-,=,解得a=-12,c=2,∴-cx2+2x-a>0,即2x2-2x-12<0,其解集為(-2,3).
答案 (-2,3)
14.已知f(x)=則不等式f(x)<9的解集是________.
解析 當(dāng)x≥0時,由3x<9得0≤x<2.
當(dāng)x<0時,由x<9得-2<x<0.
故f(x)<9的解集為(-2,2).
答案 (-2,2)
考點:含參數(shù)的一元二次不等式解法
1、解關(guān)于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解 原不等式可化為ax2+(a-2)x-2≥0.
①當(dāng)a=0時,原不等式化為x+1≤0,解得x≤-1.
②當(dāng)a>0時,原不等式化為(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.
③當(dāng)a<0時,原不等式化為(x+1)≤0.
當(dāng)>-1,即a<-2時,解得-1≤x≤;
當(dāng)=-1,即a=-2時,解得x=-1滿足題意;
當(dāng)<-1,即a>-2,解得≤x≤-1.
綜上所述,當(dāng)a=0時,不等式的解集為{x|x≤-1};當(dāng)a>0時,不等式的解集為;當(dāng)-2<a<0時,不等式的解集為;當(dāng)a=-2時,不等式的解集為{x|x=-1};當(dāng)a<-2時,不等式的解集為.
2.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.
解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0,
即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,
得:x1=-,x2=.
①a>0時,-<,解集為;
②a=0時,x2>0,解集為{x|x∈R且x≠0};
③a<0時,->,解集為.
綜上所述,當(dāng)a>0時,不等式的解集為
;
當(dāng)a=0時,不等式的解集為{x|x∈R且x≠0};
當(dāng)a<0時,不等式的解集為.
考點:一元二次不等式恒成立問題
1、已知函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若對于x∈R,f(x)<0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若對于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
解 (1)由題意可得m=0或?m=0或-4<m<0?-4<m≤0.
故m的取值范圍是(-4,0].
(2)法一 要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,即m2+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3].
當(dāng)m>0時,g(x)在[1,3]上是增函數(shù),
所以g(x)max=g(3)?7m-6<0,
所以m<,則0<m<;
當(dāng)m=0時,-6<0恒成立;
當(dāng)m<0時,g(x)在[1,3]上是減函數(shù),
所以g(x)max=g(1)?m-6<0,
所以m<6,所以m<0.
綜上所述:m的取值范圍是.
法二 ∵f(x)<-m+5?m(x2-x+1)<6,
∵x2-x+1>0,∴m<對于x∈[1,3]恒成立,
只需求的最小值,
記g(x)=,x∈[1,3],
記h(x)=x2-x+1=2+,h(x)在x∈[1,3]上為增函數(shù).
則g(x)在[1,3]上為減函數(shù),
∴[g(x)]min=g(3)=,∴m<.
所以m的取值范圍是.
2、若關(guān)于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析 (1)當(dāng)a=0時,原不等式可化為2x+2>0,其解集不為R,故a=0不滿足題意,舍去;
當(dāng)a≠0時,要使原不等式的解集為R,
只需解得a>.
綜上,所求實數(shù)a的取值范圍是.
3、若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0對一切x∈(0,2]恒成立,則a的取值范圍是 ( ).
A.
B.
C.∪
D.
解析:∵x∈(0,2],
∴a2-a≥=.
要使a2-a≥在x∈(0,2]時恒成立,
則a2-a≥max,
由基本不等式得x+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,等號成立,即max=.
故a2-a≥,解得a≤或a≥.
答案:C
4.已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),當(dāng)x∈[-1,+∞)時,f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.
解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=a.
①當(dāng)a∈(-∞,-1)時,f(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(-1)=2a+3.要使f(x)≥a恒成立,
只需f(x)min≥a,即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②當(dāng)a∈[-1,+∞)時,f(x)min=f(a)=2-a2,
由2-a2≥a,解得-1≤a≤1.
綜上所述,所求a的取值范圍是[-3,1].
5.在R上定義運算:=ad-bc.若不等式≥1對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)a的最大值為( ).
A.- B.- C. D.
解析 原不等式等價于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)對任意x恒成立,x2-x-1=2-≥-,所以-≥a2-a-2,-≤a≤.故選D.
答案 D
考點:數(shù)形結(jié)合
1.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析 畫出f(x)=的圖象,如圖.
由函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,結(jié)合圖象得:0<m<1,即m∈(0,1).
答案 (0,1)
考點:分式不等式
1.已知關(guān)于x的不等式<0的解集是(-∞,-1)∪,則a=________.
解析 由于不等式<0的解集是(-∞,-1)∪,故-應(yīng)是ax-1=0的根,∴a=-2.
答案?。?
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