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2019-2020年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測(cè) 數(shù)學(xué)歸納法 理 一、選擇題 1．如果命題P(n)對(duì) n＝k 成立，則它對(duì) n＝k＋2 也成立，若P(n) 對(duì)n＝2 也成立，則下列結(jié)論正確的是 (　　) A．P(n)對(duì)所有正整數(shù) n 都成立 B．P(n)對(duì)所有正偶數(shù) n 都成立 C．P(n)對(duì)所有正奇數(shù) n 都成立 D．P(n)對(duì)所有自然數(shù) n 都成立 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n＞n2＋1 對(duì)于n≥n0 的正整數(shù) n 都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值 n0 應(yīng)取 (　　) A．2 B．3 C．5 D．6 3．對(duì)于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立，即＜k＋1， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝＝(k＋1)＋1， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 則上述證法 (　　) A．過程全部正確 B．n＝1驗(yàn)得不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程中，第二步假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到 (　　) A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1 C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D． 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝時(shí)，由 n＝k 的假設(shè)到證明 n＝k＋1 時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是 (　　) A．(k＋1)2＋2k2　　　 B．(k＋1)2＋k2 C．(k＋1)2 D.(k＋1)[2(k＋1)2＋1] 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成 (　　) A．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N*)正確，再推n＝2k＋3正確 B．假設(shè)n＝2k－1(k∈N*)正確，再推n＝2k＋1正確 C．假設(shè)n＝k(k∈N*)正確，再推n＝k＋1正確 D．假設(shè)n＝k(k≥1)正確，再推n＝k＋2正確 二、填空題 7．對(duì)大于或等于2的自然數(shù) m的n 次方冪有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根據(jù)上述分解規(guī)律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的數(shù)是21，則m＋n的值為________． 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝， 則 f(k＋1)－f(k)＝________. 9．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝，記cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，試通過計(jì)算c1，c2，c3的值，推測(cè)cn＝________. 三、解答題 10．?dāng)?shù)列{an} 滿足 Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計(jì)算 a1，a2，a3，a4, 并由此猜想通項(xiàng) an 的表達(dá)式； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． 11．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：1＋＋＋…＋＜2(n∈N*)． 12．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng) a1＝2, 公比q＝3, Sn是它的前n項(xiàng)和. 求證：≤. 一、選擇題 1．解析：由題意 n＝k 時(shí)成立，則n＝k＋2時(shí)也成立， 又n＝2時(shí)成立，則 P(n) 對(duì)所有正偶數(shù)都成立． 答案：B 2．解析：分別令 n0＝2,3,5, 依次驗(yàn)證即可． 答案：C 3．解析：此同學(xué)從n＝k 到n＝k＋1的推理中沒有應(yīng)用歸納假設(shè)． 答案：D 4．解析：把 n＝k＋1 代入 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1, 得1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝ 2k－1＋2k. 答案：D 5．解析：本題易被題干誤導(dǎo)而錯(cuò)選A, 分析等式變化規(guī)律可知左邊實(shí)際增加的是(k＋1)2＋k2. 答案：B 6．解析：首先要注意n為奇數(shù)，其次還要使n能取到1. 答案：B 二、填空題 7．解析：依題意得 n2＝＝100, ∴n＝10. 易知 m3＝21m＋2, 整理得(m－5)(m＋4)＝0, 又 m∈N*, 所以 m＝5, 所以m＋n＝15. 答案：15 8．解析：當(dāng) n＝k時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k2, 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋，增加了2k＋1項(xiàng)． 答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 9．解析：c1＝2(1－a1)＝2(1－)＝， c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2(1－)(1－)＝， c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2(1－)(1－)(1－)＝， 故由歸納推理得cn＝. 答案： 三、解答題10．解：(1)a1＝1，a2＝， a3＝，a4＝，由此猜想 an＝(n∈N*)． (2)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1, 結(jié)論成立． 假設(shè) n＝k(k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝， 那么 n＝k＋1(k∈N*)時(shí)， ak＋1＝Sk＋1－Sk ＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak ＝2＋ak－ak＋1. ∴ak＋1＝＝＝， 這表明 n＝k＋1 時(shí)，結(jié)論成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知猜想對(duì)任何n∈N* 都成立． ∴an＝(n∈N*)． 11．證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝2. 左邊＜右邊，所以不等式成立， ②假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，不等式成立， 即1＋＋＋…＋＜2. 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋ ＜2＋＝ ＜ ＝＝2. 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立. 由①②可知，原不等式對(duì)任意n∈N*都成立．