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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 第十二節(jié) 函數(shù)與方程教材 教 材 面 面 觀 1．一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的值等于零，即________，則α叫做這個(gè)函數(shù)的________． 答案　f(α)＝0　零點(diǎn) 2．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系：由函數(shù)的零點(diǎn)的概念可知，函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與________的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?______________________?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． 答案　x軸　函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 3．如果函數(shù)y＝f(x)在一個(gè)區(qū)間[a，b]上的圖象________，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值________，即________，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，________有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)x0∈(a，b)，使________．如果函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)穿過(guò)x軸，則稱這樣的零點(diǎn)為_(kāi)_______． 答案　不間斷　異號(hào)　f(a)f(b)＜0　至少　f(x0)＝0　變號(hào)零點(diǎn) 4．二分法的定義：對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間________，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到________的方法叫做二分法． 答案　一分為二　零點(diǎn)近似值 考 點(diǎn) 串 串 講 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)由方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系可知，求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根，就是確定函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，也就是求函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．這樣，就將方程f(x)＝0、函數(shù)y＝f(x)及函數(shù)y＝f(x)的圖象三者有機(jī)地結(jié)合了起來(lái)，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化與化歸”和“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想．一般地，對(duì)于那些不能用公式法求根的方程f(x)＝0來(lái)說(shuō)，可以將方程f(x)＝0與函數(shù)y＝f(x)聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)找出零點(diǎn)，從而求出方程的根． (2)為解決方程f(x)＝g(x)的有關(guān)解的個(gè)數(shù)或求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，我們將方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系進(jìn)一步推廣為：方程f(x)＝g(x)有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有交點(diǎn)．由此知，求方程f(x)＝g(x)的實(shí)數(shù)根就是確定函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而方程f(x)＝g(x)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷． (3)一次函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)，不論a＞0還是a＜0，方程ax＋b＝0都有唯一的實(shí)數(shù)根－，相應(yīng)地，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－，所以一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)有且只有一個(gè)零點(diǎn)－. 2．二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程的根 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根也稱二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點(diǎn)，設(shè)一元二次方程的判別式為Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而二次函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與x軸“相交”；當(dāng)Δ＝0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，從而二次函數(shù)有兩個(gè)相同零點(diǎn)(可稱為二重零點(diǎn))，二次函數(shù)圖象與x軸“相切”；當(dāng)Δ＜0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而二次函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，二次函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)． 二次函數(shù)的零點(diǎn)：對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)可根據(jù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式來(lái)確定，具體情形如下表： 3.判定函數(shù)零點(diǎn)的存在 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，因此，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0.這個(gè)c也就是方程f(x)＝0的根． 注意(1)y＝f(x)必須在[a，b]上是連續(xù)的，否則結(jié)論不一定成立．如f(x)＝，c＝f(－1)f(1)≤0，但是f(x)＝在(－1,1)沒(méi)有零點(diǎn)． (2)當(dāng)f(a)f(b)＜0時(shí)，在(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)(也可能存在多個(gè))． (3)當(dāng)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)不一定使f(a)f(b)＜0，特別是當(dāng)f(a)f(b)＞0時(shí)不能肯定在(a，b)無(wú)零點(diǎn)． 4．二分法 (1)二分法步驟 第一步　在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間[a0，b0]?D，使f(a0)與f(b0)異號(hào)，即f(a0)f(b0)＜0.零點(diǎn)位于區(qū)間[a0，b0]中． 第二步　取區(qū)間[a0，b0]的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0)． 計(jì)算f(x0)和f(a0)，并判斷： ①如果f(x0)＝0，則x0就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止； ②如果f(a0)f(x0)＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0； ③如果f(a0)f(x0)＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0. 第三步　取區(qū)間[a1，b1]的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 x1＝a1＋(b1－a1)＝(a1＋b1)． 計(jì)算f(x1)和f(a1)，并判斷： ①如果f(x1)＝0，則x1就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止； ②如果f(a1)f(x1)＜0，則零點(diǎn)位于區(qū)間[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1； ③如果f(a1)f(x1)＞0，則零點(diǎn)位于區(qū)間[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1. …… 繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間[an，bn]，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間[an，bn]上，當(dāng)an和bn按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)y＝f(x)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)y＝f(x)的近似零點(diǎn)滿足給定的精確度． (2)二分法的精確度問(wèn)題 精確度是方程近似解的一個(gè)重要指標(biāo)，準(zhǔn)確度由計(jì)算次數(shù)決定，若初始區(qū)間是[a，b]，那么經(jīng)過(guò)n次取中點(diǎn)后，區(qū)間的長(zhǎng)度是，只要這個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度小于精確度ε，那么這個(gè)區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值都滿足精確度要求，都可以作為方程的近似解，因此計(jì)算次數(shù)和精確度滿足關(guān)系＜ε，即n＞log2. (3)二分法求方程近似解的程序框圖 我們可用二分法來(lái)求方程的近似解．由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以通過(guò)設(shè)計(jì)一定的計(jì)算程序，借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)完成計(jì)算．其程序框圖如圖所示． 5．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定 (1)一元n次方程最多有n個(gè)實(shí)根，一般常用分解因式來(lái)解決． (2)一元二次方程通常用判別式來(lái)判斷根的個(gè)數(shù)． (3)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，我們一般用圖象解決． (4)利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，單調(diào)函數(shù)在單調(diào)區(qū)間至多有一個(gè)零點(diǎn). 典 例 對(duì) 對(duì) 碰 題型一 函數(shù)的零點(diǎn) 例1求函數(shù)y＝x2－2x－3的零點(diǎn)． 解析　借助零點(diǎn)的定義可知即求方程x2－2x－3＝0的實(shí)根． x2－2x－3＝0，即(x＋1)(x－3)＝0. 解得x＝－1或x＝3. ∴零點(diǎn)為－1、3. 點(diǎn)評(píng)　由上述定義及例題可知方程的根、圖象與x軸的交點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)相互之間是緊密聯(lián)系的，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中一種很重要的數(shù)學(xué)思想即函數(shù)與方程的思想. 變式遷移1 若函數(shù)f(x)＝ax＋b有一個(gè)零點(diǎn)是1，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)是________． 答案　0或－1 解析　由題意，ax＋b＝0(a≠0)的解為x＝1， ∴b＝－a， ∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)， 由g(x)＝0得x＝0或x＝－1. 題型二 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù) 例2二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，ac＜0，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．0 D．無(wú)法確定 解析　解法一：因?yàn)閏＝f(0)，所以ac＝af(0)＜0， 即a與f(0)異號(hào)，即或 所以函數(shù)必有兩個(gè)零點(diǎn)． 解法二：可由二次方程的判別式得到Δ＝b2－4ac.又因?yàn)閍c＜0，所以Δ＞0. 此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根． 答案　B 點(diǎn)評(píng)　“實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ＝b2－4ac≥0，你是否注意到必須a≠0；當(dāng)a＝0時(shí)，“方程有解”不能轉(zhuǎn)化為Δ＝b2－4ac≥0.若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可能為零的情形？因此，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母時(shí)，一定要想到是否需要分類討論！ 變式遷移2 函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　由題可知，當(dāng)x＞0時(shí)y＝lnx與y＝－2x＋6的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)函數(shù)y＝－x(x＋1)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．故選D. 題型三 區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)問(wèn)題 例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍． 解析　若a＝0，f(x)＝2x－3，顯然在[－1,1]上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a≠0. 令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝ ①當(dāng)a＝時(shí)，y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在[－1,1]上； ②當(dāng)f(－1)f(1)＝(a－1)(a－5)＜0，即1＜a＜5時(shí)，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一個(gè)零點(diǎn)． ③當(dāng)y＝f(x)在[－1,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，則 或 解得a≥5或a＜ 綜上所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1或a≤. 變式遷移3 若函數(shù)f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．(－1,1) B．[1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是x＝－1；當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ＞0，f(0)f(1)＜0，則a＞1；若Δ＝0，即a＝－，函數(shù)的零點(diǎn)是x＝－2.故選C. 題型四 數(shù)形結(jié)合求零點(diǎn)個(gè)數(shù) 例4方程log2(x＋4)＝2x根的情況是(　　) A．僅有一根 B．有兩正根 C．有一正根和一負(fù)根 D．有兩負(fù)根 解析　數(shù)形結(jié)合，借助圖象判斷． 畫出函數(shù)y1＝log2(x＋4)與y2＝2x圖象知，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，即方程log2(x＋4)＝2x有一正根和一負(fù)根． 答案　C 點(diǎn)評(píng)　判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①求出所有零點(diǎn)；②二次函數(shù)問(wèn)題用判別式；③借助函數(shù)圖象及單調(diào)性判斷. 變式遷移4 方程2x＋x2＋2x－4＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　B 解析　問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y＝2x與y＝－x2－2x＋4圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖所示，顯然為2個(gè)． 題型五 二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值 例5求函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)(精確到0.01)． 分析　本題考查利用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)．因?yàn)橐蟮氖呛瘮?shù)的負(fù)零點(diǎn)，因此應(yīng)首先確定一個(gè)包含負(fù)數(shù)的恰當(dāng)?shù)膮^(qū)間作為計(jì)算的初始區(qū)間，再使用計(jì)算器，用二分法求出零點(diǎn)近似值． 解析　列表如下： 端點(diǎn)(中點(diǎn))坐標(biāo) 端點(diǎn)(中點(diǎn)) 的函數(shù)值 取值區(qū)間 f(－1)＞0，f(－2)＜0 (－2，－1) x0＝＝－1.5 f(x0) ＝4.375＞0 (－2，－1.5) x1＝＝－1.75 f(x1)≈2.203＞0 (－2，－1.75) x2＝＝－1.875 f(x2)≈0.736＞0 (－2，－1.875) x3＝＝－1.9375 f(x3)≈－0.097＜0 (－1.9375，－1.875) x4＝＝－1.90625 f(x4)≈0.328＞0 (－1.9375，－1.90625) x5＝＝－1.921875 f(x5)≈0.117＞0 (－1.9375，－1.921875) x6＝＝－1.9296875 f(x6)≈0.011＞0 (－1.9375，－1.9296875) 由上表可知，區(qū)間(－1.9375，－1.9296875)的長(zhǎng)度為0.0078125＜0.01， 所以這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)x7≈－1.93就是函數(shù)的一個(gè)負(fù)零點(diǎn)近似值． 點(diǎn)評(píng)　用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，首先要選好計(jì)算的初始區(qū)間，這個(gè)區(qū)間既要符合條件，又要使長(zhǎng)度盡量??；其次要依據(jù)條件給定的精確度及時(shí)檢驗(yàn)計(jì)算所得到的區(qū)間是否滿足這一精確度，以決定是停止計(jì)算還是繼續(xù)計(jì)算. 變式遷移5 如果一個(gè)正方體的體積在數(shù)值上等于V，表面積在數(shù)值上等于S，且V＝S＋1，那么這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)(精確到0.01)約為_(kāi)_______． 答案　6.05 解析　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，則V＝x3，S＝6x2. ∵V＝S＋1，∴x3＝6x2＋1. 設(shè)f(x)＝x3－6x2－1，應(yīng)用二分法得方程的根為6.05. 【教師備課資源】 題型六 零點(diǎn)所在區(qū)間 例6利用函數(shù)的圖象，指出函數(shù)f(x)＝2xln(x－2)－3零點(diǎn)所在的大致區(qū)間． 解析　首先通過(guò)對(duì)x取值來(lái)尋找y值的符號(hào)，然后判斷零點(diǎn)所在的大致區(qū)間． 用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出x、f(x)的對(duì)應(yīng)值表(如下表). x 2.5 3 3.5 4 4.5 5 f(x) －6.4657 －3 －0.1611 2.5452 5.2466 7.9861 由上表和圖可知，該函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間為[3.5,4]． 點(diǎn)評(píng)　函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y＝0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)＝0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)看作二元方程y－f(x)＝0.函數(shù)問(wèn)題(如求反函數(shù)、求函數(shù)的值域等)可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解決，如解方程f(x)＝0，就是求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．函數(shù)思想、方程思想體現(xiàn)了一種解決問(wèn)題的理念，即建“?！币庾R(shí)．所謂“?！本褪且粋€(gè)問(wèn)題載體，是聯(lián)系已知、未知的橋梁，建“?！焙蟮牡诙骄褪墙馕觥澳！?，從而真正將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)也因此成為解析大自然奧秘的工具. 變式遷移6 設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx(x＞0)，則y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B．在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn) C．在區(qū)間(，1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn) D．在區(qū)間(，1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn) 答案　D 解析　∵函數(shù)f ′(x)＝－，∴x∈(3，＋∞)時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞增；x∈(0,3)時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞減．而0＜＜1＜e＜3，又f()＝＋1＞0，f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，∴在區(qū)間(，1)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)，故選D. 題型七 單調(diào)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 例7已知函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，證明f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)． 證明　假設(shè)f(x)＝0至少有兩個(gè)不同的實(shí)根x1、x2，且不妨設(shè)x1＜x2， 由題意得f(x1)＝0，f(x2)＝0， ∴f(x1)＝f(x2)?、? ∵f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù)，不妨設(shè)為增函數(shù)，由x1＜x2 則f(x1)＜f(x2)?、? 因此①、②相矛盾，假設(shè)不成立，故f(x)＝0至多有一個(gè)零點(diǎn). 變式遷移7 已知函數(shù)f(x)＝()x－log2x，若實(shí)數(shù)x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且0＜x1＜x0，則f(x1)的值(　　) A．恒為正值 B．等于0 C．恒為負(fù)值 D．不大于0 答案　A 解析　根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以推知函數(shù)f(x)＝()x－log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn)．若有零點(diǎn)的話，零點(diǎn)左側(cè)的函數(shù)值恒正，右側(cè)的函數(shù)值恒負(fù)．對(duì)于0＜x1＜x0，f(x1)的值恒為正值. 題型八 二分法的運(yùn)算 例8用二分法求方程x2＝2的正實(shí)根的近似解(精確度0.001)時(shí)，如果我們選取初始區(qū)間是[1.4,1.5]，則要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是________． 解析　設(shè)至少需要計(jì)算n次，則n滿足＜0.001，即2n＞100，由于27＝128，故要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算7次． 答案　7 變式遷移8 用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為(　　) A．(0,0.5)　f(0.25) B．(0,1)　f(0.25) C．(0.5,1)　f(0.75) D．(0,0.5)　f(0.125) 答案　A 解析　函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1連續(xù)，且f(0)f(0.5)＜0，則在(0,0.5)上有一個(gè)零點(diǎn)，第二次應(yīng)計(jì)算f()＝f(0.25)，故選A. 題型九 方程根的綜合問(wèn)題 例9已知關(guān)于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，試討論方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)． 分析　原方程可化為(x－1)(3－x)＋x＝a，利用直線y＝a與拋物線y＝(x－1)(3－x)＋x的位置關(guān)系討論，也可以利用判別式． 解析　解法一　原方程化為－x2＋5x－3＝a. 令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a. 作函數(shù)f(x)＝－x2＋5x－3的圖象，求拋物線的開(kāi)口方向及頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為＝，如圖所示． 由圖象可以看出： ①當(dāng)a＞時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根． ②當(dāng)a＝時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． ③當(dāng)a＜時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 解法二　原方程化為x2－5x＋3＋a＝0. Δ＝25－4(3＋a)＝－4a＋13. ①當(dāng)Δ＜0，即a＞時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． ②當(dāng)Δ＝0，即a＝時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． ③當(dāng)Δ＞0，即a＜時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 點(diǎn)評(píng)　解法一體現(xiàn)了函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)于解決有更多限制條件的問(wèn)題提供了一種新的途徑. 變式遷移9 已知y＝x(x－1)(x＋1)的圖象如圖所示，因考慮f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，則方程式f(x)＝0(　　) A．當(dāng)x＜－1時(shí)，恰有一實(shí)根 B．當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，恰有一實(shí)根 C．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，恰有一實(shí)根 D．當(dāng)x＞1時(shí)，恰有一實(shí)根 答案　A 解析　∵f(－2)＝－2(－3)(－1)＋0.01＝－5.99＜0，f(－1)＝0.01＞0，即f(－2)f(－1)＜0，∴在(－2，－1)內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，即方程在(－∞，－1)上，恰有一個(gè)實(shí)根，故A正確． 又∵f(0)＝0.01＞0，f(x)＝0在(－1,0)上沒(méi)有實(shí)數(shù)根， ∴B不正確． 又∵f(0.5)＝0.5(－0.5)1.5＋0.01＝－0.365＜0，f(1)＝0.01＞0，即f(0.5)f(1)＜0，所以f(x)＝0在(0.5,1)上必有一個(gè)實(shí)根，且f(0)f(0.5)＜0，∴f(x)＝0在(0,0.5)上也有一個(gè)實(shí)根． ∴f(x)＝0在(0,1)上有兩個(gè)實(shí)根，故C不正確． 由f(1)＞0知，f(x)＝0在(1，＋∞)上沒(méi)有實(shí)根． ∴D不正確. 方 法 路 路 通 1．尋找函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是一個(gè)難點(diǎn)，利用計(jì)算器尋找零點(diǎn)時(shí)首先確定函數(shù)的定義域，其次在其定義域內(nèi)取一些值，畫出草圖觀察，根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)確定零點(diǎn)的區(qū)間，利用信息技術(shù)尋找零點(diǎn)時(shí)，畫出函數(shù)的草圖可找到零點(diǎn)所在的區(qū)間，如果所給函數(shù)是由兩個(gè)初等函數(shù)的差構(gòu)成的，即f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，則在其對(duì)應(yīng)方程g(x)＝h(x)中畫出y＝g(x)及g＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)． 2．若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且m＜x0＜n，那么f(m)f(n)＜0不一定成立，反之若f(m)f(n)＜0，在(m，n)內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)． 3．對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)需注意： (1)函數(shù)的零點(diǎn)是針對(duì)方程是否有實(shí)數(shù)根而言的，若方程f(x)＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)． (2)函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”而是一個(gè)數(shù)量方程的實(shí)數(shù)解． 4．用二分法求方程的近似解時(shí)應(yīng)注意 (1)要看清題目要求的準(zhǔn)確度，它決定著二分法步驟的結(jié)束． (2)初始區(qū)間的選定一般在兩個(gè)整數(shù)間，不同的初始區(qū)間結(jié)果是相同的，但二分的次數(shù)卻相差較大． 5．當(dāng)區(qū)間(an，bn)的長(zhǎng)度|an－bn|＜ε時(shí)，數(shù)值an和bn均可作為所求方程解的近似值，這個(gè)近似值也可是區(qū)間(an，bn)內(nèi)的任一數(shù)值． 6．二分法中運(yùn)用了“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想，它是通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值(即方程近似解)的．“逐步逼近”思想在許多數(shù)學(xué)知識(shí)中都有很好地運(yùn)用，希望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要多加體會(huì)． 7．注意一些說(shuō)法：“函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根”，而不要說(shuō)成“方程的零點(diǎn)，函數(shù)的根”. 正 誤 題 題 辨 例若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 錯(cuò)解　由題意知方程x3－3x＋a＝0有3個(gè)根，∴a的取值范圍為(1，＋∞)，故選D. 點(diǎn)擊　本題的錯(cuò)誤在于不能將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)求解，不能從極值的角度分析函數(shù)的圖象，從而找不到解題的突破口． 正解　函數(shù)f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，即其圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此只需f(x)的極大值與極小值異號(hào)即可． f ′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，則x＝1， 故極值為f(－1)和f(1)，f(－1)＝a＋2，f(1)＝a－2， 所以應(yīng)有(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)，故選A. 答案　A 知 能 層 層 練 針對(duì)考點(diǎn)勤鉆研　金榜題名不畏難 1．(xx日照測(cè)試)在以下區(qū)間中，存在函數(shù)f(x)＝x3＋3x－3的零點(diǎn)的是(　　) A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．[2,3] 答案　C 解析　注意到，f(－1)＝－7＜0.f(0)＝－3＜0，f(1)＝1＞0，f(2)＝11＞0，f(3)＝33＞0，結(jié)合各選項(xiàng)知，選C. 2．(xx天津卷)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(　　) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) 答案　B 解析　由題意可知f(－2)＝－6＜0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)f(0)＜0，因此在區(qū)間(－1,0)上一定有零點(diǎn)．因此選B. 3．(xx福建卷)函數(shù)f(x)＝，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　B 解析　解法一　令f(x)＝0得或， ∴x＝－3或x＝e2，應(yīng)選B. 解法二　畫出函數(shù)f(x)的圖象可得，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)． 4．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一個(gè)近似解時(shí)，現(xiàn)在已經(jīng)將根鎖定在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為_(kāi)_______． 答案　(，2)(或?qū)懗砷]區(qū)間) 解析　區(qū)間(1,2)的中點(diǎn)x0＝，令f(x)＝x3－2x－1，f()＝－4＜0，f(2)＝8－4－1＞0，則根所在區(qū)間為(，2)． 5．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3，求函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)． 解析　∵f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3， ∴a＝5，b＝－6. ∴g(x)＝－6x2－5x－1＝－(2x＋1)(3x＋1)， ∴g(x)的零點(diǎn)是－和－.