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1、 《數(shù)學思想方法》復習參考題 一、 填空題 1、古代數(shù)學大體可分為兩種不同的類型：一種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表；一種是長于計算和實際應用，以《九章算術》為典范。 2、在數(shù)學中建立公理體系最早的是幾何學，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得的《幾何原本》 3、《幾何原本》所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數(shù)學陳述模式，而且還被移植到其它學科，并且促進他們的發(fā)展。 4、推動數(shù)學發(fā)展的原因主要有兩個：①實踐的需要，②理論的需要；數(shù)學思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結果。 5、變量數(shù)學產生的數(shù)學基礎是解析幾何，標志是微積分。 6、數(shù)學基礎知識和數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線。

2、 7、隨機現(xiàn)象的特點是在一定條件下，可能發(fā)生某種結果，也可能不發(fā)生某種結果。 8、等腰三角形的抽象過程，就是把一個新的特征：兩邊相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強化。 9、學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個主要階段①潛意識階段，②明朗化階段，③深刻理解階段。 10、數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學中各個分支固有的內在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為數(shù)學的各個分支相互滲透和相互結合的趨勢。 11、強抽象就是指，通過把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。 12、菱形概念的抽象過程就是把一個新的特征：一組鄰邊相等，加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概

3、念得到了強化。 13、演繹法與歸納法被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。 14、所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法；常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。 15、反例反駁的理論依據是形式邏輯的矛盾律。 16、猜想具有兩個顯著特點：①具有一定的科學性，②具有一定的推測性。 17、三段論是演繹推理的主要形式。三段論由大前提、小前提、結論三部分組成。 18、化歸方法是指，把待解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或較易解決的問題中，最終獲得原問題解答的一種方法。 19、在化歸過程中應遵循的原則是簡單化原則、熟悉化原則

4、、和諧化原則。 20、在計算機時代，計算方法已成為與理論方法、實驗方法并列的第三種科學方法。 21、算法具有下列特點：①有限性，②確定性，③有效性。 22、算法大致可以分為多項式算法和指數(shù)型算法兩大類。 23、勻速直線運動的數(shù)學模型是一次函數(shù)。 24、所謂數(shù)學模型方法是利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法。 25、分類必須遵循的原則是①不重復，②無遺漏，③標準同一。 26、所謂數(shù)形結合方法，就是在研究數(shù)學問題時，由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結合考慮問題的一種思想方法。 27、所謂特殊化是指在研究問題時，從對象的一個給定集合出發(fā)，進而考慮某個包含于該集合的較小集合的思想方法。 28、

5、面對一個問題，經過認真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假，并且進一步修正或否定此猜想。 29、化歸方法的三個要素是：化歸對象、化歸目標、化歸途徑。 30、根據學生掌握數(shù)學思想方法的過程有潛意識、明朗化、深刻理解三個階段，可相應地將小學數(shù)學思想方法教學設計成多次孕育、初步理解、簡單應用 三個階段。 31、數(shù)學思想方法是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。 32、一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)。 33、算法的有效性是指如

6、果使用該算法從它的初始數(shù)據出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解。 34、數(shù)學的研究對象大致可以分成兩大類：①數(shù)量關系；②空間形式。 二、判斷題(只要答“是”或“否”) 1、計算機是數(shù)學的創(chuàng)造物，又是數(shù)學的創(chuàng)造者。 是 2、抽象得到的新概念與表述原來的對象的概念之間一定有種屬關系。否 3、一個數(shù)學理論體系內的每一個命題都必須給出證明。 否 4、《九章算術》不包括代數(shù)、幾何內容。否 5、既沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不包括數(shù)學思想方法的數(shù)學知識。是 6、數(shù)學模型方法在生物學、經濟學、軍事學等領域沒應用。否 7、在解決數(shù)學問題時，往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才能取得效果。是

7、 8、如果某一類問題存在算法，并且構造出這個算法，就一定能求出該問題的精確解。否 9、對同一數(shù)學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類。是 10、數(shù)學思想方法教學隸屬數(shù)學教學范疇，只要貫徹通常的數(shù)學教學原則就可實現(xiàn)數(shù)學思想方法教學目標。否 11、由類比法推得的結論必然正確。否 12、有時特殊情況能與一般情況等價。是 13、完全歸納法實質上屬于演繹推理的范疇。是 14、古希臘的柏拉圖曾在他的學校門口張榜聲明：不懂幾何的人不得入內。這是因為他的學校里所學習的課程要用到很多幾何知識。否 15、完全歸納法的一般推理形式是： 　　設S＝具有性質P，因此推斷集合S中的每一個對象都具有

8、性質P。否 三、 簡答題 1、為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？ 在形式上，它是以少數(shù)原始概念和公設、公理為基礎，運用邏輯規(guī)則將當時所知的幾何學中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個井然有序的整體。在這個體系中，除了邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。 另外，《幾何原本》回避任何與社會生產現(xiàn)實生活有關的應用問題，對社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。 所以，《幾何原本》是一個比較完整的、相對封閉的演繹體系。 2、試對《九章算術》思想方

9、法的一個特點“算法化的內容”加以說明。 《九章算術》在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解法。以后遇到同類問題，只要按“術”給出的程序去做就一定能求出問題的答案；書中的“術”其實就是算法。 3、簡述確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象的特點以及確定性數(shù)學的局限性。 確定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，其結果可以唯一確定。因此確定性現(xiàn)象的條件和結果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預知結果如何。 隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結果，也可能不發(fā)生某種結果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系。 在數(shù)學學科中，人們常常把研

10、究確定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些分支來定量地描述某些確定性現(xiàn)象的運動和變化過程，從而確定結果。但是由于隨機現(xiàn)象條件和結果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學來加以定量描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊涵的規(guī)律性。這就是確定數(shù)學的局限所在。 4、簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途。 （1）用來證明一些數(shù)學命題；（2）用來預測某些數(shù)學問題的可能結果; （3）用來驗證某些數(shù)學問題的結果的正確性.。 5、簡述數(shù)學抽象的特征。 數(shù)學抽象有以下幾個特征。 （1）數(shù)學抽象具有無物質性; （2）數(shù)學抽象具有層次性; （3）數(shù)學抽象過程要憑借分析或直覺;（

11、4）數(shù)學抽象不僅有概念抽象還有方法抽象。 6、簡述化歸方法在數(shù)學教學中的應用。 化歸方法在數(shù)學教學中的功能至少可以歸結為以下三個方面：（1）利用化歸方法學習新知識；（2）利用化歸方法指導解題；（3）利用化歸原則理清知識結構。 7、簡述用MM方法解決實際問題的基本步驟，并用框圖加以表示。 MM方法解題的基本步驟為： （1）從現(xiàn)實原型抽象概括出數(shù)學模型。也稱為建模階段。 （2）在數(shù)學模型上進行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學問題的解。這也是數(shù)學求解階段。 （3）從數(shù)學模型過渡到現(xiàn)實原型，即把研究數(shù)學模型所得到的結論，返回到現(xiàn)實原型上去，使實際問題得到解答。 可用框圖表示如下： 　　

12、 8、試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程。 用特殊化解決問題的過程可用框圖表示為： 　　　　　 9、簡述化歸方法的和諧化原則。 和諧化是數(shù)學內在美的主要內容之一。美與真在數(shù)學命題和數(shù)學解題中一般是統(tǒng)一的。因此，我們在解題過程中，可根據數(shù)學問題的條件或結論以及數(shù)、式、形等的結構特征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息，從而確立解題的總體思路，達到以美啟真的作用。 10、什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合算法有限性特點的例子。 算法的有限性是指，一個算法必須在有限步之內終止。以十進制小數(shù)的除法這個算法為例，如取數(shù)2和3作為初始數(shù)據，則有，無論怎樣延續(xù)這個過程都不

13、能結束，同時也不會出現(xiàn)中斷。因此，除法對于2和3這組數(shù)不符合算法有限性特點。 11、簡述培養(yǎng)數(shù)學猜想能力的途徑。 猜想能力培養(yǎng)可以貫穿于數(shù)學教學的方方面面。新知識的學習、數(shù)學規(guī)律的尋求、解題思路的探索等都可以作為實施猜想能力培養(yǎng)的載體。 12、簡述特殊化方法在數(shù)學教學中的應用。 特殊化方法在數(shù)學教學中有重要的作用： 　　（1）在選擇題時，我們經常選擇特殊值來考察； 　?。?）利用特殊化探求問題的結論； 　?。?）利用特殊化檢驗一般結果； 　?。?）利用特殊化探索解題思路。 13、什么是類比猜想？并舉一個例子說明。 人們運用類比法，根據一類事物所具有的某種屬性，得出與

14、其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數(shù)非常相似，只不過是用字母代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分數(shù)在定義、基本性質、約分、通分、四則運算等方面都是對應相似的。 14、什么是歸納猜想？并舉一個例子說明。 人們運用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似等于3.14，于是提出了圓周率是3.14的猜想。后來數(shù)學家從理論上證明了圓周率的數(shù)值為 ，果然和3.14很接近。 15、簡述將“化隱為顯”列為數(shù)學思想方法教學的一條

15、原則的理由。 由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后,知識教學雖然蘊含著思想方法,但如果不是有意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象，在數(shù)學學習時，學生常常只注意到處于表層的數(shù)學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學過程達到思想方法教學的目的。 四、解答題 1、運用方程模型解應用題時，其中最重要的是“設想問題已經解出”、“用兩種不同方式表示同一個量”、“方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”這三個要點。這是為什么？請闡述你的理解。 解答：“設想問題已經解出”，即在列式時將未知量與已知量同等對

16、待。這是列方程中的一個重要思想，也是它優(yōu)于算術之處。在算術列式中，未知量只能列在等號左邊，且系數(shù)必須為1，已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與未知量的地位截然不同，因此列式比較困難。而在方程列式中，已知量與未知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn)，于是列式就容易多了。 “用兩種不同方式表示同一量”，這是列方程的關鍵。所謂方程，其實就是用兩種不同的方法表示同一個量，并用等號聯(lián)結起來。 “方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”，是為了得到確定的解。這里有個自由度的思想。當方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時，就會出現(xiàn)不定方程(組)。這時方程(組)的解一般會有無窮多個。 2、(1)什么是類比推理？(2)寫出類比推理的表

17、示形式。(3)怎樣才能增加由類比得出的結論的可靠性？ 解答：(1)類比推理是指，由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。 　(2)類比推理的表示形式為： A具有性質 B具有性質 因此，B也可能具有性質。 　　 (3)盡量滿足下列條件可增加類比結論的可靠性： ① A與B共同(或相似)的屬性盡可能多些； ② 這些共同(或相似)的屬性應是類比對象A與B的主要屬性； ③ 這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的不同方面，并且盡可能是多方面的； ④ 可遷移的屬性d應是和屬于同一類型。 3、圓周角定理證明思路如下： 　　　　　　　 將圓

18、周角的兩邊所處的位置分成三種情況：①角的一邊落在直徑上；②角的兩邊在某一直徑的兩側；③角的兩邊在某一直徑的同側。如上圖所示。先對情況①進行證明，然后將情況②、③轉化為情況①分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結論。 試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學思想方法。 解答：該證明中用到下面幾種數(shù)學思想方法： 　?、賹A周角分成三種情況，用到分類方法； 　　　?、谙茸C明角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法； 　?、蹖⑵渌麅煞N情況轉化為角恰有角恰有一邊在直徑上的情況，用到 　　　化歸方法； ④通過對所有三種情況的證明，然后得出圓周角定理的結論，用 到完全歸納法；

19、 ⑤ 證明過程中需要進行演繹推理，因此用到演繹方法。 4、以“認識長方形的對邊相等”為內容，設計一個教學片斷。 (要求：①教學過程要比較具體、合理，且有一定的層次；②要有與數(shù)學知識教學相聯(lián)系的本課程中所學習的數(shù)學思想方法教學內容；③不少于300字) 解答：將教學過程設計成四個層次： 　　①讓學生說一說：我們周圍有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。 　?、谝髮W生仔細觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關系？學生經過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。 　　③教師進一步提出問題：同學們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩條邊的長短相等呢？這時，學生會想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導學生通過量量、折折的具體操作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個長方形有幾組對邊的問題。 　?、莒柟涕L方形對邊相等的認識。 　　利用多媒體展示下面的長方形： 　　　　　 　　師：如何填寫括號內的數(shù)字？為什么？ 　　　　要求學生會用“因為…所以…”句式回答。如“因為長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是4厘米，所以它的對邊也是4厘米?！? 第 5 頁 共４頁