2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第29課時 直角三角形的應用.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第29課時 直角三角形的應用 【基礎知識梳理】 一、解直角三角形 1、在直角三角形中,由已知元素求_____________的過程叫解直角三角形。直角三角形中,除直角外有5個元素,即3條邊和2個銳角,已知元素中,至少有一個是__________的條件,才叫解直角三角形。 2、解直角三角形的基本類型 ①已知斜邊和一個銳角 ②已知一直角邊和一個銳角 ③已知斜邊和一直角邊 ④已知兩直角邊 二、解直角三角形的應用 1.仰角與俯角:在進行測量時 ①仰角:(如圖)從下往上看,視線與________的夾角。 ②俯角:(如圖)從上往下看,視線與________的夾角。 2、坡腳與坡度 ①斜坡與水平面的夾角叫做__________ ②坡度(坡比)==坡角的 . 3、方位角:一正南正北為基準,描述物體運動方向的角叫做___________,如北偏東30,特別的東北方向為_____________西南方向為___________________。 4、.應用直角三角形的邊角關系來解決實際問題時,要注意: (1)在解直角三角形時,是用三角函數(shù)知識,通過數(shù)值計算,去求出圖形中的某些邊的長度或角的大小,這是數(shù)形結合的一種形式,所以在分析問題時,一般先根據(jù)已知條件作出它的平面或截面示意圖,按照圖中________之間的關系進行計算,這樣可以幫助我們思考,防止出錯. (2)有些圖形雖然不是直角三角形,但可添加適當?shù)妮o助線把它們分割成一些________三角形和矩形,從而轉(zhuǎn)化為_________三角形的問題來解決. (3)在優(yōu)選公式時,盡量利用已知數(shù)據(jù),避免“一錯再錯”和“累積誤差”,并要按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確到進行近似計算. (4)應用的基本思路:能從實際問題中抽象出數(shù)學模型或通過添加輔助線構建直角三角形;利用三角函數(shù)、勾股定理、方程等知識解決問題. 【基礎診斷】 1、(xx?德州)如圖是攔水壩的橫斷面,斜坡AB的水平寬度為12米,斜面坡度為1:2,則斜坡AB的長為( ?。? A. 4米 B. 6米 C. 12米 D. 24米 2、(xx?蘇州)如圖,港口A在觀測站O的正東方向,OA=4km,某船從港口A出發(fā),沿北偏東15方向航行一段距離后到達B處,此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60的方向,則該船航行的距離(即AB的長)為( ?。? A. 4km B. 2km C. 2km D. (+1)km 3、(xx?隨州)如圖,要測量B點到河岸AD的距離,在A點測得∠BAD=30,在C點測得∠BCD=60,又測得AC=100米,則B點到河岸AD的距離為( ?。? A. 100米 B. 50米 C. 米 D. 50米 4、(xx?襄陽)如圖,在建筑平臺CD的頂部C處,測得大樹AB的頂部A的仰角為45,測得大樹AB的底部B的俯角為30,已知平臺CD的高度為5m,則大樹的高度為多少?(結果保留根號) 【精典例題】 例1 (xx年山東煙臺)小明坐于堤邊垂釣,如圖,河堤AC的坡角為30,AC長米,釣竿AO的傾斜角是60,其長為3米,若AO與釣魚線OB的夾角為60,求浮漂B與河堤下端C之間的距離. 分析: 延長OA交BC于點D.先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD=180﹣∠ODB﹣∠ACD=90,解Rt△ACD,得出AD=AC?tan∠ACD=米,CD=2AD=3米, 再證明△BOD是等邊三角形,得到BD=OD=OA+AD=4.5米,然后根據(jù)BC=BD﹣CD即可求出浮漂B與河堤下端C之間的距離. 本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題,作出輔助線得到Rt△ACD是解題的關鍵. 例2:(xx年四川南充)馬航MH370失聯(lián)后,我國政府積極參與搜救.某日,我兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到有關可疑漂浮物的訊息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏東53.50方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正東方向140海里處.(參考數(shù)據(jù):sin36.5≈0.6,cos36.5≈0.8,tan36.5≈0.75). (1)求可疑漂浮物P到A、B兩船所在直線的距離; (2)若救助船A、救助船B分別以40海里/時,30海里/時的速度同時出發(fā),勻速直線前往搜救,試通過計算判斷哪艘船先到達P處. 分析: (1)過點P作PE⊥AB于點E,在Rt△APE中解出PE即可; (2)在Rt△BPF中,求出BP,分別計算出兩艘船需要的時間,即可作出判斷. 本題考查了解直角三角形的應用,解答本題的關鍵是理解仰角的定義,能利用三角函數(shù)值計算有關線段,難度一般. 例3 (xx昆明)如圖,在數(shù)學實踐課中,小明為了測量學校旗桿CD的高度,在地面A處放置高度為1.5米的測角儀AB,測得旗桿頂端D的仰角為32,AC為22米,求旗桿CD的高度.(結果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):sin32= 0.53,cos32= 0.85,tan32= 0.62) 考點: 解直角三角形的應用-仰角俯角問題。 分析: 根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化為直角三角形中的有關量,然后選擇合適的邊角關系求得長度即可. 本題考查了解直角三角形的應用,解題的關鍵是利用仰俯角的定義將題目中的相關量轉(zhuǎn)化為直角三角形BDE中的有關元素. 【自測訓練】 A—基礎訓練 一、選擇題(每小題有四個選項,只有一個選項是正確的.) 1. (xx?湖南衡陽)如圖,一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD,壩頂寬10米,壩高12米,斜坡AB的坡度i=1:1.5,則壩底AD的長度為( ?。? A.26米 B.28米 C.30米 D.46米 2、(xx?四川綿陽,第8題3分)如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東30方向,距離燈塔80海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東45方向上的B處,這時,海輪所在的B處與燈塔P的距離為( ?。? A. 40海里 B. 40海里 C. 80海里 D. 40海里 3、身高相等的四名同學甲、乙、丙、丁參加風箏比賽,四人放出風箏的線長、線與地面的夾角如下表(假設風箏線是拉直的),則四名同學所放的風箏中最高的是( ) 同學 甲 乙 丙 丁 放出風箏線長 140 m 100 m 95 m 90 m 線與地面夾角 30 45 45 60 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 二、填空題 4、(xx?十堰)如圖,輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70方向上,輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50方向勻速航行,1小時后到達碼頭B處,此時,觀測燈塔C位于北偏西25方向上,則燈塔C與碼頭B的距離是 海里.(結果精確到個位,參考數(shù)據(jù):≈1.4,≈1.7,≈2.4) 5、(xx年浙江嘉興)如圖,在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為α度,AC=7米,則樹高BC為 米(用含α的代數(shù)式表示). 6、(xx?濰坊)如圖,某水平地面上建筑物的高度為AB,在點D和點F處分別豎立高是2米的標桿CD和EF,兩標桿相隔50米,并且建筑物AB、標桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi),從標桿CD后退2米到點G處,在G處測得建筑物頂端A和標桿頂端C在同一條直線上;從標桿FE后退4米到點H處,在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一條直線上,則建筑物的高是 米. 三、解答題 7、(xx?呼和浩特)如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東65方向,距離燈塔80海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的南偏東45方向上的B處,這時,海輪所在的B處距離燈塔P有多遠?(結果用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可) 8、(xx?蘭州)如圖,在電線桿上的C處引拉線CE、CF固定電線桿,拉線CE和地面成60角,在離電線桿6米的B處安置測角儀,在A處測得電線桿上C處的仰角為30,已知測角儀高AB為1.5米,求拉線CE的長(結果保留根號). B 提升訓練 一、選擇題(每小題有四個選項,只有一個選項是正確的.) 1、如圖1,在平地上種植樹木時,要求株距(相鄰兩樹間的水平距離)為4 m.如果在坡度為0.75的山坡上種樹,也要求株距為4 m,那么相鄰兩樹間的坡面距離為( ) A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m 2、如圖2,某時刻海上點P處有一客輪,測得燈塔A位于客輪P的北偏東30方向,且相距20海里.客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60方向航行小時到達B處,那么tan∠ABP=( ) A. B.2 C. D. 3、為了測量被池塘隔開的A,B兩點之間的距離,根據(jù)實際情況,作出如下 圖形3,其中,,AF交BE于D,C在BD上.有四位同學分別測量出以下四組數(shù)據(jù):①BC,∠ACB; ②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根據(jù)所測數(shù)據(jù),求出A,B間距離的有( ) A、1組 B、2組 C、3組 D、4組 A B C D E F 圖1 圖2 圖3 二、填空題 A B C 30 18 圖4 圖5 圖6 4、如圖4,某公園入口處原有三級臺階,每級臺階高為18cm,深為30cm,為方便殘疾人士,擬將臺階改為斜坡,設臺階的起點為A,斜坡的起始點為C,現(xiàn)設計斜坡BC的坡度,則AC的長度是 cm. 5、如圖5,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36,∠ABC的平分線BD交AC于 點D,則AD的長是 ,cosA的值是 .(結果保留根號) 6、小明想測一棵樹的高度,他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上,如圖6,此時測得地面上的影長為8米,坡面上的影長為4米,已知斜坡的坡角為,同一時刻,一根長為1米、垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米,則樹的高度為______________。 三、解答題 7、(xx?內(nèi)江)“馬航事件”的發(fā)生引起了我國政府的高度重視,迅速派出了艦船和飛機到相關海域進行搜尋.如圖,在一次空中搜尋中,水平飛行的飛機觀測得在點A俯角為30方向的F點處有疑似飛機殘骸的物體(該物體視為靜止).為了便于觀察,飛機繼續(xù)向前飛行了800米到達B點,此時測得點F在點B俯角為45的方向上,請你計算當飛機飛臨F點的正上方點C時(點A、B、C在同一直線上),豎直高度CF約為多少米?(結果保留整數(shù),參考數(shù)值:≈1.7) 8、(xx?鹽城)鹽城電視塔是我市標志性建筑之一.如圖,在一次數(shù)學課外實踐活動中,老師要求測電視塔的高度AB.小明在D處用高1.5m的測角儀CD,測得電視塔頂端A的仰角為30,然后向電視塔前進224m到達E處,又測得電視塔頂端A的仰角為60.求電視塔的高度AB.(取1.73,結果精確到0.1m) 9.(xx?棗莊)如圖,一扇窗戶垂直打開,即OM⊥OP,AC是長度不變的滑動支架,其中一端固定在窗戶的點A處,另一端在OP上滑動,將窗戶OM按圖示方向想內(nèi)旋轉(zhuǎn)35到達ON位置,此時,點A、C的對應位置分別是點B、D.測量出∠ODB為25,點D到點O的距離為30cm. (1)求B點到OP的距離; (2)求滑動支架的長. (結果精確到1cm.參考數(shù)據(jù):sin25≈0.42,cos25≈0.91,tan25≈0.47,sin55≈0.82,cos55≈0.57,tan55≈1.43) 課后反饋 1、(本小題滿分9分)某大草原上有一條筆直的公路,在緊靠公路相距40千米的A、B兩地,分別有甲、乙兩個醫(yī)療站,如圖,在A地北偏東45、B地北偏西60方向上有一牧民區(qū)C.一天,甲醫(yī)療隊接到牧民區(qū)的求救電話,立刻設計了兩種救助方案,方案I:從A地開車沿公路到離牧民區(qū)C最近的D處,再開車穿越草地沿DC方向到牧民區(qū)C.方案II:從A地開車穿越草地沿AC方向到牧民區(qū)C. 已知汽車在公路上行駛的速度是在草地上行駛速度的3倍. (1)求牧民區(qū)到公路的最短距離CD. A D B 北 C 東 45 60 (2)你認為甲醫(yī)療隊設計的兩種救助方案,哪一種方案比較合理?并說明理由. (結果精確到0.1.參考數(shù)據(jù):取1.73,取1.41) 2、九年級三班小亮同學學習了“測量物體高度”一節(jié)課后,他 為了測得右圖所放風箏的高度,進行了如下操作: (1)在放風箏的點A處安置測傾器,測得風箏C的仰角∠CBD=60; (2)根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長度為70米; (3)量出測傾器的高度AB=1.5米.根據(jù)測量數(shù)據(jù), 計算出風箏的高度CE約為 米.(精確到0.1米,1.73)- 配套講稿:
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