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2019-2020年高中數(shù)學 第四章 定積分 4.1 定積分的概念 曲邊梯形的面積教案 北師大版選修2-2 一、教學目標：理解求曲邊圖形面積的過程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過程中滲透的思想方法。 二、教學重難點：　　 重點：掌握過程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近（取極限） 難點：對過程中所包含的基本的微積分 “以直代曲”的思想的理解 三、教學方法：探析歸納，講練結合 四、教學過程 1、創(chuàng)設情景 我們學過如何求正方形、長方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問題。定積分在科學研究和實際生活中都有非常廣泛的應用。本節(jié)我們將學習定積分的基本概念以及定積分的簡單應用，初步體會定積分的思想及其應用價值。 一個概念：如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)．（不加說明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)） 2、新課探析 問題：如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何計算這個曲邊梯形的面積？ 例題：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。 思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個曲邊梯形面積S的問題轉化為求“直邊圖形”面積的問題？ 分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形”的所有邊都是直線段．“以直代曲”的思想的應用． x x x 1 x 1 x y 1 x y y 把區(qū)間分成許多個小區(qū)間，進而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對每個小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值，對這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值．分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S．也即：用劃歸為計算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積． 解： （1）．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…， 記第個區(qū)間為，其長度為 分別過上述個分點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ，，…，顯然， （2）近似代替 記，如圖所示，當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個常數(shù)，不妨認為它近似的等于左端點處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）．這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 ① （3）求和：由①，上圖中陰影部分的面積為 ====，從而得到的近似值 （4）取極限：分別將區(qū)間等分8，16，20，…等份（如圖），可以看到，當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有 從數(shù)值上的變化趨勢： 3．求曲邊梯形面積的四個步驟:第一步：分割．在區(qū)間中任意插入各分點，將它們等分成個小區(qū)間，區(qū)間的長度，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．第四步：取極限。 說明：1．歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近 2．最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實值 練習：課本P76練習題：設S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。 四、課堂小結：求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想） 五、教學后記