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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《空間直角坐標系》教案18 新人教A版必修2 1.右手直角坐標系 ①右手直角坐標系的建立規(guī)則：軸、軸、軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、中指； ②已知點的坐標作點的方法與步驟（路徑法）： 沿軸正方向（時）或負方向（時）移動個單位，再沿軸正方向（時）或負方向（時）移動個單位，最后沿軸正方向（時）或負方向（時）移動個單位，即可作出點 ③已知點的位置求坐標的方法： 過作三個平面分別與軸、軸、軸垂直于，點在軸、軸、軸的坐標分別是，則就是點的坐標 2、在軸上的點分別可以表示為， 在坐標平面，，內(nèi)的點分別可以表示為; 3、點關(guān)于軸的對稱點的坐標為 點關(guān)于軸的對稱點的坐標為； 點關(guān)于軸的對稱點的坐標為； 點關(guān)于坐標平面的對稱點為； 點關(guān)于坐標平面的對稱點為； 點關(guān)于坐標平面的對稱點為； 點關(guān)于原點的對稱點。 4. 已知空間兩點，則線段的中點坐標為 5．空間兩點間的距離公式 已知空間兩點， 則兩點的距離為 ， 特殊地,點到原點的距離為; 5．以為球心,為半徑的球面方程為 特殊地,以原點為球心,為半徑的球面方程為 ★重難點突破★ 重點:了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系表示點的位置，會推導(dǎo)和使用空間兩點間的距離公式 難點:借助空間想象和通過與平面直角坐標系的類比，認識空間點的對稱及坐標間的關(guān)系 重難點: 在空間直角坐標系中，點的位置關(guān)系及空間兩點間的距離公式的使用 1．借助空間幾何模型進行想象，理解空間點的位置關(guān)系及坐標關(guān)系 問題1：點到軸的距離為 [解析]借助長方體來思考，以點為長方體對角線的兩個頂點，點到軸的距離為長方體一條面對角線的長度，其值為 2．將平面直角坐標系類比到空間直角坐標系 問題2：對于任意實數(shù)，求的最小值 [解析]在空間直角坐標系中，表示空間點到點的距離與到點的距離之和，它的最小值就是點與點之間的線段長，所以的最小值為。 3．利用空間兩點間的距離公式，可以解決的幾類問題 (1)判斷兩條相交直線是否垂直 (2)判斷空間三點是否共線 (3)得到一些簡單的空間軌跡方程 ★熱點考點題型探析★ 考點1: 空間直角坐標系 題型1: 認識空間直角坐標系 [例1 ]（1）在空間直角坐標系中，表示 （ ） A．軸上的點 B．過軸的平面 C．垂直于軸的平面 D．平行于軸的直線 （2）在空間直角坐標系中，方程表示 A．在坐標平面中，1，3象限的平分線 B．平行于軸的一條直線 C．經(jīng)過軸的一個平面 D．平行于軸的一個平面 【解題思路】認識空間直角坐標系,可以類比平面直角坐標系,如在平面直角坐標系坐標系中, 方程表示所有橫坐標為1的點的集合 [解析]（1）表示所有在軸上的投影是點的點的集合，所以表示經(jīng)過點且垂直于軸的平面 （2）方程表示在任何一個垂直于軸的一個平面內(nèi)，1，3象限的平分線組成的集合 【名師指引】(1)類比平面直角坐標系,可以幫助我們認識空間直角坐標系 (2)要從滿足某些特殊條件的點的坐標特征去思考問題。如： 經(jīng)過點且垂直于軸的平面上的點都可表示為 題型2: 空間中點坐標公式與點的對稱問題 [例2 ] 點關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于平面的對稱點為，則的坐標為 【解題思路】類比平面直角坐標系中的對稱關(guān)系，得到空間直角坐標系中的對稱關(guān)系 [解析]因點和關(guān)于軸對稱, 所以點和的豎坐標相同,且在平面的射影關(guān)于原點對稱,故點的坐標為, 又因點和關(guān)于平面對稱, 所以點坐標為 【名師指引】解決空間點的對稱問題,一要借助空間想象,二要從它們在坐標平面的射影找關(guān)系,如借助空間想象,在例2中可以直接得出點為點關(guān)于原點的對稱點,故坐標為 【新題導(dǎo)練】 1．已知正四棱柱的頂點坐標分別為，，則的坐標為 。 [解析]正四棱柱過點A的三條棱恰好是坐標軸， 的坐標為（2，2，5） 2．平行四邊形的兩個頂點的的坐標為，對角線的交點為，則頂點C的坐標為 , 頂點D的坐標為 [解析]由已知得線段的中點為,線段的中點也是,由中點坐標公式易得 ， 3．已知，記到軸的距離為，到軸的距離為，到軸的距離為，則（ ） A． B． C． D． [解析]借助長方體來思考, 、、分別是三條面對角線的長度。，選C 考點2：空間兩點間的距離公式 題型：利用空間兩點間的距離公式解決有關(guān)問題 X A Y B O Z P [例3 ] 如圖：已知點，對于軸正半軸上任意一點，在軸上是否存在一點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。 【解題思路】轉(zhuǎn)化為距離問題，即證明 [解析]設(shè) ， 對于軸正半軸上任意一點，假設(shè)在軸上存在一點，使得恒成立， 則 即，解得： 所以存在這樣的點，當(dāng)點為時，恒成立 【名師指引】在空間直角坐標系中，利用距離可以證明垂直問題。此外，用距離還可以解決空間三點共線問題和求簡單的點的軌跡。 【新題導(dǎo)練】 4．已知，當(dāng)兩點間距離取得最小值時，的值為 （ ） A．19 B． C． D． [解析] 當(dāng)時，取得最小值 5．已知球面，與點，則球面上的點與點距離的最大值與最小值分別是 。 [解析]球心，球面上的點與點距離的最大值與最小值分別是9和3 6．已知三點，是否存在實數(shù)，使A、B、C共線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由。 [解析] ， ， ， 因為，所以，若三點共線，有或， 若，整理得：，此方程無解； 若，整理得：，此方程也無解。 所以不存在實數(shù)，使A、B、C共線。 ★搶分頻道★ 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1．將空間直角坐標系(右手系)畫在紙上時，我們通常將軸與軸，軸與軸所成的角畫成（ ） A． B． C． D． 解析：選B 2. 點在平面上的投影點的坐標是 （ ） A． B． C． D． 解析：兩點的縱坐標、豎坐標不變，選B 3. 三棱錐中，此三棱錐的體積為（ ） A．1 B．2 C．3 D． 6 [解析] 兩兩垂直， 4．（xx山東濟寧模擬）設(shè)點B是點A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點，則|AB|等于( ) A．10 B． C． D．38 [解析] A 點A(2,-3,5)關(guān)于平面的對稱點為, 5．（xx年湛江模擬）點關(guān)于軸的對稱點為， 關(guān)于平面的對稱點為，則= [解析] ，， 6．正方體不在同一表面上的兩頂點P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），則正方體的體積是 [解析] 不共面，為正方體的一條對角線，，正方體的棱長為4，體積為64 綜合提高訓(xùn)練 7．空間直角坐標系中，到坐標平面，，的距離分別為2，2，3的點有 A.1個 B.2個 C.4個 D.8個 解析：8個。分別為（3，2，2）、（3，2，-2）、（3，-2，2）、（3，-2，-2）、（-3，2，2）、（-3，2，-2）、（-3，-2，2）、（-3，-2，-2） 8．（xx山東昌樂模擬）三角形的三個頂點的坐標為，則的形狀為（ ） A．正三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 [解析] C 9．(xx年佛岡一中模擬)已知空間直角坐標系中有一點，點是平面內(nèi)的直線上的動點，則兩點的最短距離是（ ） A． B． C．3 D． [解析]因為點B在平面內(nèi)的直線上，故可設(shè)點B為， 所以， 所以當(dāng)時，AB取得最小值，此時點B為。 B X A C Y D Z O Q P 10．如圖，以棱長為的正方體的三條棱為坐標軸，建立空間直角坐標系，點在正方體的對角線上，點在正方體的棱上。 （1）當(dāng)點為對角線的中點，點在棱上運動時， 探究的最小值； （2）當(dāng)點在對角線上運動，點為棱的中點時， 探究的最小值； [解析]由已知， （1）當(dāng)點為對角線的中點時，點坐標為， 設(shè)，則， 當(dāng)時，取到最小值為，此時為的中點。 （2）當(dāng)點為棱的中點時，點的坐標為，設(shè)，則， ，，所以點的坐標為， 所以，當(dāng)，即為的中點時，取到最小值。