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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第七章 立體幾何初步 【知識(shí)圖解】 空間幾何體 構(gòu)成幾何體 的基本元素 柱、錐、臺(tái)、球的特征 直觀認(rèn)識(shí)線面平行與垂直 表面積與體積 中心投影與平行投影 直觀圖與三視圖的畫法 點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系 平面的基本性質(zhì) 確定平面的位置關(guān)系 空間中的平行關(guān)系 直線與直線的平行關(guān)系 直線與平面平行的判斷及性質(zhì) 平面與平面平行的判斷及性質(zhì) 空間中的垂直關(guān)系 直線與平面垂直的判斷及性質(zhì) 平面與平面垂直的判斷及性質(zhì) 直線與直線的垂直關(guān)系 【方法點(diǎn)撥】 立體幾何研究的是現(xiàn)實(shí)空間，認(rèn)識(shí)空間圖形，可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力?？臻g的元素是點(diǎn)、線、面、體，對(duì)于線線、線面、面面的位置關(guān)系著重研究它們之間的平行與垂直關(guān)系，幾何體著重研究棱柱、棱錐和球。在復(fù)習(xí)時(shí)我們要以下幾點(diǎn)： 1．注意提高空間想象能力。在復(fù)習(xí)過程中要注意：將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形，并明確已知元素之間的位置關(guān)系及度量關(guān)系；借助圖形來反映并思考未知的空間形狀與位置關(guān)系；能從復(fù)雜圖形中邏輯的分析出基本圖形和位置關(guān)系，并借助直觀感覺展開聯(lián)想與猜想，進(jìn)行推理與計(jì)算。 2．歸納總結(jié)，分門別類。從知識(shí)上可以分為：平面的基本性質(zhì)、線線、線面、面面的平行與垂直、空間中角與距離的計(jì)算。 3．抓主線，攻重點(diǎn)。針對(duì)一些重點(diǎn)內(nèi)容加以訓(xùn)練，平行和垂直是位置關(guān)系的核心，而線面垂直又是核心的核心，角與距離的計(jì)算已經(jīng)降低要求。 4．復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉。立體幾何中蘊(yùn)含著豐富的思想方法，如：將空間問題轉(zhuǎn)化成平面圖形來解決、線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化、空間位置關(guān)系的判斷及角與距離的求解轉(zhuǎn)化成空間向量的運(yùn)算。 第1課 空間幾何體 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．觀察認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)； 2．能畫出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖； 3．通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式； 4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．一個(gè)凸多面體有8個(gè)頂點(diǎn)，①如果它是棱錐，那么它有 14 條棱， 8 個(gè)面；②如果它是棱柱，那么它有 12 條棱 6 個(gè)面。 2.（1）如圖，在正四面體A－BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則△EFG在該正四面體各個(gè)面上的射影所有可能的序號(hào)是 ③④ 。 ① ② ③ ④ （2）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是圖的 ②③ （要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）. 【范例導(dǎo)析】 例1．下列命題中，假命題是 （1）（3） 。（選出所有可能的答案） （1）有兩個(gè)面互相平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱 （2）四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形 （3）有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái) （4）若一個(gè)幾何體的三視圖都是矩形，則這個(gè)幾何體是長(zhǎng)方體 分析：準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵。 （1）中將兩個(gè)斜棱柱對(duì)接在一起就是反例。（3）中是不是棱臺(tái)還要看側(cè)棱的延長(zhǎng)線是否交于一點(diǎn)。 例2．是正△ABC的斜二測(cè)畫法的水平放置圖形的直觀圖，若的面積為，那么△ABC的面積為_______________。 解析：。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測(cè)畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 例3．（1）畫出下列幾何體的三視圖 （2） （2）某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀 分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。 解析：（1）這兩個(gè)幾何體的三視圖分別如下： （2）該幾何體為一個(gè)正四棱錐。 點(diǎn)評(píng)：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫主視圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時(shí)候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長(zhǎng)要相等。左視圖和 俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。 【反饋演練】 1．一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是。 2．如圖，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=。 解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR2r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr3=πR2r。故。答案為。 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問題的能力。 3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是。 4．空間四邊形中，，，分別是邊上的點(diǎn)，且為平行四邊形，則四邊形的周長(zhǎng)的取值范圍是__。 5．三棱錐中，，其余棱長(zhǎng)均為1。 P A B C M （1）求證：； （2）求三棱錐的體積的最大值。 解：（1）取中點(diǎn)，∵與均為正三角形， ∴， ∴平面。 ∴ (2)當(dāng)平面時(shí)，三棱錐的高為， 此時(shí) 6．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截，若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離）為p的拋物線. （1）求圓錐的母線與底面所成的角； （2）求圓錐的全面積． 解: （1）設(shè)圓錐的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l， 由題意得：, 即, 所以母線和底面所成的角為 (2)設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON， 其中O為截面與AC的交點(diǎn)，則OO1//AB且 在截面MON內(nèi)，以O(shè)O1所在有向直線為y軸，O為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系， 則O為拋物線的頂點(diǎn)，所以拋物線方程為x2=－2py， 點(diǎn)N的坐標(biāo)為（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R）， 得：R=2p，l=2R=4p. ∴圓錐的全面積為. 說明：將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動(dòng)向. 第2課 平面的性質(zhì)與直線的位置關(guān)系 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．掌握平面的基本性質(zhì)，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關(guān)系，能夠根據(jù)圖形想象它們之間的位置關(guān)系。 2．掌握兩條直線之間的平行與垂直的有關(guān)問題，并能進(jìn)行解決和證明相關(guān)問題。 3．理解反證法證明的思路，會(huì)用反證法進(jìn)行相關(guān)問題的證明。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1 下面是一些命題的敘述語,其中命題和敘述方法都正確的是 （3） 。 （1）∵，∴． （2）∵，∴． （3）∵，∴． （4）∵，∴． 2．下列推斷中，錯(cuò)誤的是 （4） 。 （1） （2），A,B,C不共線重合 （3） （4） 3．判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“” （1）空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面 （ ） （2）兩個(gè)平面若有不同的三個(gè)公共點(diǎn)，則兩個(gè)平面重合（ ） （3）兩條直線可以確定一個(gè)平面（ ） （4）若四點(diǎn)不共面，那么每三個(gè)點(diǎn)一定不共線（ ） （5）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面（ ） （6）三條平行直線可以確定三個(gè)平面（ ） （7）一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面（ ） （8）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面（ ） ⑴⑵⑶⑷√⑸√⑹⑺⑻ 4．如右圖，點(diǎn)E是正方體的棱的中點(diǎn)，則過點(diǎn)E與直線和都相交的直線的條數(shù)是： 1 條 5．完成下列證明，已知直線a、b、c不共面，它們相交于點(diǎn)P，Aa，Da，Bb，Ec 求證：BD和AE是異面直線 證明：假設(shè)__ 共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面_ _內(nèi) QAa，Da，∴__γ. QPa，∴P__. QPb，Bb，Pc，Ec ∴_ _g， __g，這與____矛盾 ∴BD、AE__________ 答案：假設(shè)BD、AE共面于g，則點(diǎn)A、E、B、D都在平面 g 內(nèi)。 ∵Aa，Da，∴ a g. ∵Pa，P g . ∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b g，c g，這與a、b、c不共面矛盾 ∴BD、AE是異面直線翰林 【范例導(dǎo)析】 例1．已知，從平面外一點(diǎn)引向量 ， （1）求證：四點(diǎn)共面；（2）平面平面． 分析 ：證明四點(diǎn)共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理證明， 也可以轉(zhuǎn)化為直線共面的條件即幾何證法。 解：法一：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴， ∵， ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 法二：（1） ∴ ∴ 同理 又 ∴ ∴共面； （2）由（1）知：，從而可證 同理可證，所以，平面平面． 點(diǎn)評(píng)：熟練掌握定理是證明的關(guān)鍵，要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用。 例2．已知空間四邊形ABCD. (1)求證：對(duì)角線AC與BD是異面直線; (2)若AC⊥BD,E,F,G,H分別這四條邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出異面直線AC與BD的公垂線段.翰林匯 分析：證明兩條直線異面通常采用反證法。 證明：(1)（反證法）假設(shè)AC與BD不是異面直線，則AC與BD共面， 所以A、B、C、D四點(diǎn)共面 這與空間四邊形ABCD的定義矛盾 所以對(duì)角線AC與BD是異面直線 (2)解：∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF//AC,且EF=AC. 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四邊形. 又∵F,G分別為BC,CD的中點(diǎn),∴FG//BD,∴∠EFG是異面直線AC與BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,連EF,則EF即為所求. 點(diǎn)評(píng)：在空間四邊形中我們通常會(huì)遇到上述類似的問題，取中點(diǎn)往往是很有效的方法，特別是遇到等腰三角形的時(shí)候。 例3．如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體的棱和棱上的點(diǎn)，且，求證：四邊形是平行四邊形 簡(jiǎn)證：由可以證得≌ 所以 又可以由正方體的性質(zhì)證明 所以四邊形是平行四邊形 例4：如圖，已知平面，且是垂足． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）若，試判斷平面與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：（Ⅰ）因?yàn)椋裕? 同理． 又，故平面． （Ⅱ）平面平面。證明如下：設(shè)與平面的交點(diǎn)為， 連結(jié)、．因?yàn)槠矫?，所以? 所以是二面角的平面角． 又，所以，即． 在平面四邊形中，， 所以．故平面平面． 【反饋演練】 1．判斷題（對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“”） （1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條 （ ） （2）兩線段AB、CD不在同一平面內(nèi)，如果AC=BD，AD=BC，則AB⊥CD（ ） （3）在正方體中，相鄰兩側(cè)面的一對(duì)異面的對(duì)角線所成的角為60 （ ） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對(duì)邊垂直 （ ） 答案：（1） （2） （3）√ （4） 2．定點(diǎn)P不在△ABC所在平面內(nèi)，過P作平面α，使△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到α的距離相等，這樣的平面共有 4 個(gè)。 3．給出以下四個(gè)命題：（1）若空間四點(diǎn)不共面，則其中無三點(diǎn)共線；（2）若直線上有一點(diǎn)在平面外，則該直線在平面外；（3）若直線a,b,c中，a與b共面且b與c共面，則a與c共面；（4）兩兩相交的三條直線共面。其中所有正確命題的序號(hào)是 (1)(2) 。 α β D B C A 4．如圖，已知（A,B不重合） 過A在平面α內(nèi)作直線AC，過B在平面β內(nèi)作直線BD。 求證：AC和BD是異面直線。 證明：（反證法）若AC和BD不是異面直線， 設(shè)確定平面γ，則由題意可知：平面α和γ都過AC和AC外一點(diǎn)B，所以兩平面重合。 同理可證平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。 這與已知條件平面α和β相交矛盾。 所以AC和BD是異面直線。 第3課 空間中的平行關(guān)系 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．掌握直線和平面平行、兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理。 2．明確定義與定理的不同，定義是可逆的，既是判定也是性質(zhì)，而判定定理與性質(zhì)定理多是不可逆的。 3．要能靈活的對(duì)“線線平行”、“線面平行”和“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．若為異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是 異面或相交 。 2．給出下列四個(gè)命題: ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行. ②垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行. ③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行. ④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線. 其中假命題的個(gè)數(shù)是 4 個(gè)。 3．對(duì)于任意的直線l與平面a,在平面a內(nèi)必有直線m,使m與l 垂直 。 4. 已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個(gè)不重合的平面，下面六個(gè)命題： ①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β； ④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α． 其中正確的命題是 ①④ 。 【范例導(dǎo)析】 例1．如圖，在四面體ABCD中，截面EFGH是平行四邊形． 求證：AB∥平面EFG． 證明：∵面EFGH是截面． ∴點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在BC，BD，DA，AC上． ∴EH 面ABC，GF 面ABD， 由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD． 又∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB ∴EH∥AB． ∴AB∥面EFG． 例2． 如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，并且CM=DN. 求證:MN∥平面AA1B1B. 分析：“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”是可以互相轉(zhuǎn)化的。本題可以采用任何一種轉(zhuǎn)化方式。 簡(jiǎn)證：法1：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。 即在平面ABB1A1內(nèi)找一條直線與MN平行，如圖所示作平行線即可。 A B C D N F E M A11 B11 D11 C11 法2：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“線線平行”。連CN并延長(zhǎng)交直線BA于點(diǎn)P， 連B1P，就是所找直線，然后再設(shè)法證明MN∥B1P. 法3：把證“線面平行”轉(zhuǎn)化為證“面面平行”。 過M作MQ//BB1交BC于B1，連NQ,則平面MNQ與平面ABB1A1平行， 從而證得MN∥平面ABB1A1. 點(diǎn)評(píng)：證明線面或面面平行的時(shí)候一定要注意相互的轉(zhuǎn)化，非常靈活。 【反饋演練】 1．對(duì)于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（3）。 （1）若則　　　 ?。?）若則 （3）若則　　 　　 （4）若、與所成的角相等，則 2. 設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是 （2） 。 （1）經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b （2）經(jīng)過直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b （3）存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面 （4）存在分別經(jīng)過直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面 3．關(guān)于直線a、b、l及平面M、N，下列命題中正確的是（4） 。 （1）若a∥M，b∥M，則a∥b （2）若a∥M，b⊥a，則b⊥M （3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，則l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，則M⊥N 4．“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要條件 。 5.在正方體AC1中，過A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD . 6．在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，經(jīng)過其對(duì)角線BD1的平面分別與棱AA1,CC1相交于E,F兩點(diǎn)，則四邊形EBFD!的形狀為 平行四邊形 。 7. 已知Ｐ為平行四邊形ＡＢＣＤ所在平面外一點(diǎn)，Ｍ為ＰＢ的中點(diǎn)， 求證：ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 證明 連ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，連ＭＯ， 則ＭＯ為△ＰＢＤ的中位線， ∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ． 8．如圖，已知是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若，， 求異面直線與所成的角的大小 略證：（1）取PD的中點(diǎn)H，連接AH， 為平行四邊形 (2): 連接AC并取其中點(diǎn)為O，連接OM、ON，則OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是異面直線與所成的角，由，得，OM=2，ON= 所以，即異面直線與成的角 9．兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE。 證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足， 則MP∥AB，NQ∥AB。 ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45 ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ，故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE。 證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC， ∴ 連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 ∴ NH//AF//BE 由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE ∴MN∥平面BCE。 第4課 空間中的垂直關(guān)系 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能用它們證明和解決有關(guān)問題。 2．線面垂直是線線垂直與面面垂直的樞紐，要理清楚它們之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)互相轉(zhuǎn)化，善于利用轉(zhuǎn)化思想。 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．“直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線”是“”的 必要 條件。 2．如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是 平行或相交 。 3．在正方體中，與正方體的一條對(duì)角線垂直的面對(duì)角線的條數(shù)是 6 。 4．兩個(gè)平面互相垂直，一條直線和其中一個(gè)平面平行，則這條直線和另一個(gè)平面的位置關(guān)系是平行、相交或在另一個(gè)平面內(nèi) 。 5．在正方體中，寫出過頂點(diǎn)A的一個(gè)平面__AB1D1_____，使該平面與正方體的12條棱所在的直線所成的角均相等(注：填上你認(rèn)為正確的一個(gè)平面即可，不必考慮所有可能的情況)。 【范例導(dǎo)析】 例1．如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F. （1）證明PA//平面EDB； （2）證明PB⊥平面EFD. 解析：本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力. 證明：（1）連結(jié)AC,AC交BD于O,連結(jié)EO. ∵底面ABCD是正方形,∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn) 在中,EO是中位線,∴PA // EO 而平面EDB且平面EDB, 所以,PA // 平面EDB （2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴ ∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC的中線, ∴. ① 同樣由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC. ∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC. 而平面PDC,∴. ② 由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴ 又且,所以PB⊥平面EFD. 例2．如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點(diǎn)， 求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA。 分析：（1）證明DE ＝DA ，可以通過圖形分割，證明△DEF ≌△DBA。（2）證明面面垂直的關(guān)鍵在于尋找平面內(nèi)一直線垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ，易得四邊形MNBD 是矩形。從而證明DM ⊥平面ECA。 證明：（1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。 ∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ， 則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。 又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 （2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中點(diǎn)，∴ MN EC。 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 ∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點(diǎn)，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ， ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA。 點(diǎn)評(píng)：面面垂直的問題常常轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直的問題解決。 例3．如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90，AA1 ＝，D 是A1B1 中點(diǎn)． （1） 求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)， 會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。 分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要證明C1D 垂直交線A1B1 ，由直線與平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要過D 作AB1 的垂線，它與BB1 的交點(diǎn)即為所求的F 點(diǎn)位置。 證明：（1）如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90。又 D 是A1B1 的中點(diǎn)， ∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。 （2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長(zhǎng)DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。 ∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， ∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。 點(diǎn)評(píng)：本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開放性探索問題，注意采用逆向思維的方法分析問題。 【反饋演練】 1．下列命題中錯(cuò)誤的是 （3） 。 （1）若一直線垂直于一平面，則此直線必垂直于這一平面內(nèi)所有直線 （2）若一平面經(jīng)過另一平面的垂線，則兩個(gè)平面互相垂直 （3）若一條直線垂直于平面內(nèi)的一條直線，則此直線垂直于這一平面 （4）若平面內(nèi)的一條直線和這一平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直 2．設(shè)是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內(nèi)，下列條件中能保證“若 ，且”為真命題的是 ①③④ （填所有正確條件的代號(hào)） ①x為直線，y，z為平面 ②x，y，z為平面 ③x，y為直線，z為平面 ④x，y為平面，z為直線 ⑤x，y，z為直線 3．在三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形最多可以有___4__個(gè)。 4．若的中點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面 的距離為_2或14________。 5．命題A：底面為正三角形，且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐。 命題A的等價(jià)命題B可以是：底面為正三角形，且 的三棱錐是正三棱錐。 答案：側(cè)棱相等（或側(cè)棱與底面所成角相等……） 6．α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷： ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。 答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β 7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點(diǎn)E（不含端點(diǎn)）使EC=AC，截面CDE與SB交于點(diǎn)F。 （1）求證：四邊形EFCD為直角梯形； （2）設(shè)SB的中點(diǎn)為M，當(dāng)?shù)闹凳嵌嗌贂r(shí)，能使△DMC為直角三角形？請(qǐng)給出證明. 解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF， ∴CD∥EF ∵ 又面 ∴ 平面SAD，∴又 為直角梯形 (2)當(dāng)時(shí)，為直角三角形 . , 平面平面. 在中，為SB中點(diǎn)，. 平面平面 為直角三角形。