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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 解三角形 3 解三角形的實際應用舉例 第1課時 距離和高度問題同步練習 北師大版必修5 一、選擇題 1．海上有A、B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B、C間的距離是(　　) A．10海里　 B．10海里 C．5海里　 D．5海里 [答案]　D [解析]　如圖，由正弦定理得 ＝， ∴BC＝5. 2．學校體育館的人字形屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30，則其跨度AB的長為(　　) A．12m　　　　　　 B．8m C．3m　 D．4m [答案]　D [解析]　在△ABC中，已知可得 BC＝AC＝4，∠C＝180－302＝120 所以由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120 ＝42＋42－244＝48 ∴AB＝4(m)． 3．如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A、B兩點分別測得樹尖的仰角為30，45，且A，B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為(　　) A．(30＋30)m　 B．(30＋15)m C．(15＋30)m　 D．(15＋15)m [答案]　A [解析]　(1)由正弦定理可得＝， PB＝＝. h＝PBsin45＝sin45＝(30＋30)(m)． 4．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同時乙船從B島出發(fā)，以12km/h的速度向北偏東60方向駛?cè)?，則行駛15分鐘時，兩船的距離是(　　) A.km　 B.km C.km　 D.km [答案]　B [解析]　由題意知AM＝8＝2，BN＝12＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MBBNcos120＝1＋9－213(－)＝13，所以MN＝km. 5．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a(km)，燈塔A在觀察站C的北偏東20，燈塔B在觀察站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B的距離為(　　) A．a(chǎn)(km)　 B.a(km) C.a(km)　 D．2a(km) [答案]　B [解析]　在△ABC中，∠ACB＝180－(20＋40)＝120. ∵AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos120＝a2＋a2－2a2(－)＝3a2， ∴AB＝a(km)． 6．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30、60，則塔高為(　　) A.米　　　　　　 B.米 C.米　 D.米 [答案]　A [解析]　解法一：如圖，設(shè)AB為山高，CD為塔高，則AB＝200，∠ADM＝30，∠ACB＝60，∴BC＝200tan30＝，AM＝DMtan30＝BCtan30＝. ∴CD＝AB－AM＝. 解法二：如圖AB為山高，CD為塔高． 在△ABC中，AC＝＝， 在△ACD中，∠CAD＝30，∠ADC＝120. 由正弦定理＝. ∴CD＝＝(米)． 二、填空題 7．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30方向上，15 min后到點B處望見燈塔在船的北偏東75方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是______ km.(精確到0.1 km) [答案]　4.2 [解析]　作出示意圖如圖．由題意知， AB＝24＝6， ∠ASB＝45，由正弦定理得，＝， 可得BS＝＝3≈4.2(km)． 8．(xx泰安市高三期中考試)如圖所示，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算A、B兩點的距離為________． [答案]　50m [解析]　因為∠ACB＝45，∠CAB＝105，所以∠ABC＝30， 根據(jù)正弦定理可知：＝， 即＝， 解得AB＝50m. 三、解答題 9．海面上相距10海里的A、B兩船，B船在A船的北偏東45方向上，兩船同時接到指令同時駛向C島，C島在B船的南偏東75方向上，行駛了80分鐘后兩船同時到達C島，經(jīng)測算，A船行駛了10海里，求B船的速度． [解析]　如圖所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝10，∠ABC＝120由余弦定理，得 AC2＝BA2＋BC2－2BABCcos120 即700＝100＋BC2＋10BC，∴BC＝20， 設(shè)B船速度為v，則有v＝＝15(海里/小時)． 即B船的速度為15海里/小時． 10．在上海世博會期間，小明在中國館門口A處看到正前方上空一紅燈籠，測得此時的仰角為45，前進200米到達B處，測得此時的仰角為60，小明身高1.8米，試計算紅燈籠的高度(精確到1m)． [解析]　由題意畫出示意圖(AA′表示小明的身高)． ∵AB＝200，∠CA′B′＝45，∠CB′D′＝60， ∴在△A′B′C中，＝ ∴B′C＝＝＝200(＋1)． 在Rt△CD′B′中， CD′＝B′Csin60＝100(3＋)， ∴CD＝1.8＋100(3＋)≈475(米)． 答：紅燈籠高約475米. 一、選擇題 1．一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30的方向航行30分鐘后，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為(　　) A．20(＋)海里/時　 B．20(－)海里/時 C．20(＋)海里/時　 D．20(－)海里/時 [答案]　B [解析]　設(shè)貨輪航行30分鐘后到達N處，由題意可知∠NMS＝45，∠MNS＝105， 則∠MSN＝180－105－45＝30.而MS＝20， 在△MNS中，由正弦定理得＝， ∴MN＝＝ ＝＝＝10(－)． ∴貨輪的速度為10(－)＝20(－)(海里/時)． 2．如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000米到達S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75，則山高BC為(　　) A．500m　 B．200m C．1000m　 D．1000m [答案]　D [解析]　∵∠SAB＝45－30＝15， ∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45－(90－75)＝30， 在△ABS中，AB＝＝＝1 000， ∴BC＝ABsin45＝1 000＝1 000(m)． 3．一船向正北航行，看見正西方向有相距10n mlie的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時(　　) A．5n mlie　 B．5n mlie C．10n mlie　 D．10n mlie [答案]　C [解析]　如圖，依題意有∠BAC＝60，∠BAD＝75， ∴∠CAD＝∠CDA＝15，從而CD＝CA＝10， 在Rt△ABC中，求得AB＝5， ∴這艘船的速度是＝10(n mlie/h)． 4．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測量中的高度是(　　) A．100米　 B．400米 C．200米　 D．500米 [答案]　D [解析]　由題意畫出示意圖，設(shè)高AB＝h，在Rt△ABC中， 由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD得3h2＝h2＋5002＋h500，解之得h＝500(米) 二、填空題 5．某地電信局信號轉(zhuǎn)播塔建在一山坡上，如圖所示，施工人員欲在山坡上A、B兩點處測量與地面垂直的塔CD的高，由A、B兩地測得塔頂C的仰角分別為60和45，又知AB的長為40米，斜坡與水平面成30角，則該轉(zhuǎn)播塔的高度是________米． [答案]　 [解析]　如圖所示，由題意，得∠ABC＝45－30＝15， ∠DAC＝60－30＝30. ∴∠BAC＝150，∠ACB＝15， ∴AC＝AB＝40米，∠ADC＝120，∠ACD＝30， 在△ACD中，由正弦定理，得 CD＝AC＝40＝. 6．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時，測量公路南側(cè)遠處一山頂D在東南15的方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在東偏南30的方向上，仰角為15，則此山的高度CD等于________km. [答案]　5(2－) [解析]　在△ABC中，∠A＝15，∠C＝30－15＝15， 所以BC＝AB＝5. 又CD＝BCtan∠DBC＝5tan15＝5tan(45－30)＝5(2－)． 三、解答題 7．在大海上，“藍天號”漁輪在A處進行海上作業(yè)，“白云號”貨輪在“藍天號”正南方向距“藍天號”20海里的B處．現(xiàn)在“白云號”以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而“藍天號”同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西60方向行駛，經(jīng)過多少小時后，“藍天號”和“白云號”兩船相距最近． [解析]　如下圖，設(shè)經(jīng)過t小時，“藍天號”漁輪行駛到C處，“白云號”貨輪行駛到D處，此時“藍天號”和“白云號”兩船的距離為CD.則根據(jù)題意，知在△ABC中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60.由余弦定理，知 CD2＝AC2＋AD2－2ACADcos60 ＝(8t)2＋(20－10t)2－28t(20－10t)cos60 ＝244t2－560t＋400＝244(t－)2＋400－244()2， ∴當t＝時，CD2取得最小值，即“藍天號”和“白云號”兩船相距最近． 8．某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處，觀察到點C處有一輛汽車沿公路向M站行駛．公路的走向是M站的北偏東40.開始時，汽車到A的距離為31千米，汽車前進20千米后，到A的距離縮短了10千米．問汽車還需行駛多遠，才能到達M汽車站？ [解析]　由題畫出示意圖如圖所示，設(shè)汽車前進20千米后到達B處，在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21.由余弦定理得 cosC＝＝， 則sinC＝， 所以sin∠MAC＝sin(120－C) ＝sin120cosC－cos120sinC＝. 在△MAC中，由正弦定理得MC＝＝＝35，從而MB＝MC－BC＝15. 即汽車還需行駛15千米才能到達M汽車站．