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Kalman濾波器和Wiener濾波器的仿真與實現(xiàn),Wiener濾波,所謂濾波就是從混合在一起的諸多信號中提取所要的信號。 根據(jù)濾波器的輸出是否為輸入的線性函數(shù)，可將它分為線性濾波器和非線性濾波器兩種。濾波器研究的一個基本課題就是：如何設(shè)計和制造最佳的或最優(yōu)的濾波器。所謂最佳濾波器是指能夠根據(jù)某一最佳準(zhǔn)則進(jìn)行濾波的濾波器。,設(shè)維納濾波器的輸入為含噪聲的隨機信號。期望輸出與實際輸出之間的差值為誤差，對該誤差求均方，即為均方誤差。因此均方誤差越小，噪聲濾除效果就越好。如果能夠滿足維納－霍夫方程，就可使維納濾波器達(dá)到最佳。根據(jù)維納－霍夫方程，最佳維納濾波器的沖激響應(yīng)，完全由輸入自相關(guān)函數(shù)以及輸入與期望輸出的互相關(guān)函數(shù) 所決定。,在一定的約束條件下，其輸出與一給定函數(shù)（通常稱為期望輸出）的差的平方達(dá)到最小，通過數(shù)學(xué)運算最終可變?yōu)橐粋€托布利茲方程的求解問題。維納濾波器又被稱為最小二乘濾波器或最小平方濾波器，目前是基本的濾波方法之一。,,從理論上說，維納濾波的最大缺點是必須用到無限過去的數(shù)據(jù)，不適用于實時處理。為了克服這一缺點， 60 年代 Kalman 把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導(dǎo)出了一套遞推估計算法，后人稱之為卡爾曼濾波理論。,卡爾曼濾波,卡爾曼濾波從被提取信號有關(guān)的量測量中通過算法估計出所需信號。其中被估計信號是由白噪聲激勵引起的隨機響應(yīng)，激勵源與響應(yīng)之間的傳遞結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)方程）已知，量測量與被估計量之間的函數(shù)關(guān)系（量測方程）也已知。 卡爾曼濾波是以最小均方誤差為估計的最佳準(zhǔn)則，來尋求一套遞推估計的算法，其基本思想是：采用信號與噪聲的狀態(tài)空間模型，利用前一時刻地估計值和現(xiàn)時刻的觀測值來更新對狀態(tài)變量的估計，求出現(xiàn)時刻的估計值。它適合于實時處理和計算機運算。,,卡爾曼濾波特點： （1） 卡爾曼濾波處理的對象是隨機信號； （2） 被處理信號無有用和干擾之分，濾波的目的是要估計出所有被處理信號； （3） 系統(tǒng)的白噪聲激勵和量測噪聲并不是需要濾除的對象，它們的統(tǒng)計特性正是估計過程中需要利用的信息。 （4） 所以確切的說，卡爾曼濾波應(yīng)稱作最優(yōu)估計理論，此處稱謂的濾波與常規(guī)濾波具有完全不同的概念和含義。,,簡單來說，卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive data processing algorithm（最優(yōu)化自回歸數(shù)據(jù)處理算法）”。對于解決很大部分的問題，他是最優(yōu)，效率最高甚至是最有用的。,,卡爾曼的五個核心方程： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……………………… (1) P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ………………………… (2) X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k)-H X(k|k-1)) ……… (3) Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (4) P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ………………………… (5),計算濾波估計的流程圖,,我們看以看出，濾波過程是以不斷地“預(yù)測—修正”的遞推方式進(jìn)行計算，先進(jìn)行預(yù)測值計算，再根據(jù)觀測值得到的新信息和kalman 增益（加權(quán)項），對預(yù)測值進(jìn)行修正。由濾波值可以得到預(yù)測，又由預(yù)測可以得到濾波，其濾波和預(yù)測相互作用，并不要求存儲任何觀測數(shù)據(jù)，可以進(jìn)行實時處理。,仿真實例,設(shè)有一個隨機信號 服從AR(4)過程，它是一個寬帶過程，參數(shù)如下： 通過觀測方程 來測量信號， 是方差為1的高斯白噪聲，利用Kalman濾波器通過測量信號估計 的波形。,,建立模型,將隨機信號X(n)看成是由典型白噪聲序列源W(n)激勵一個線性系統(tǒng)產(chǎn)生，用一個差分方程來描述：,,,,,觀測方程是Y(n)=X(n)+V(n),V(n)是方差為１的高斯白噪聲，產(chǎn)生進(jìn)入Wiener濾波器的信號。 將濾波器的階數(shù)設(shè)為101，根據(jù)維納－霍夫方程： 其中rx1是觀測信號的自相關(guān)函數(shù)， 是觀測信號和期望信號的互相關(guān)函數(shù)。定義維納濾波的模型，最后帶入filter。,,穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器方程如下： 測量值修正計算： 我們可以通過kalman函數(shù)設(shè)計上述穩(wěn)態(tài)濾波器。 首先定義帶噪聲的系統(tǒng)模型：,Kalman濾波器模型圖,謝謝！,