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2019-2020年高二上學(xué)期開學(xué)考試 數(shù)學(xué)理試題 含答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．每小題選出答案后，請(qǐng)?zhí)钔吭诖痤}卡上． 1．已知集合，則如圖所示韋恩圖中的陰影部分所表示的集合為（　C　） A．　B．　C．　D． 2．在下列命題中，不是公理的是（　A?。? A．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 C．如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi) D．如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 3．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（　D?。? A．　B．　C．　D． 4．過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（　D?。? A．　　 B．　　 C．　　 D． 5．設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（　B?。? A．若，，則　B．若，，則 C．若，，則　D．若，，則 6．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像（　B?。? A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位　　　B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位　　　D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 7．等比數(shù)列，，，的第四項(xiàng)等于（　A?。? A．　　B．　　C．　　D． 8．在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為、、，若，則的形狀為(　B　) A．銳角三角形　　B．直角三角形　 C．鈍角三角形　　D．不確定 9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖中半圓的直徑為，則該幾何體的體積為（　C?。? A．　　B． C．　　D． 10．已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為（　A?。? A．　　B．　　C．　　D． 11．設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則、、的大小關(guān)系是（　D?。? A．　　　B． C．　　D． 12．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若存在使成立，則的取值范圍是（　B?。? A．　　B．　　C．　　D． 試卷II（90分） 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．答案填在答題紙相 應(yīng)的空內(nèi)． 13．已知函數(shù)，則 　***　 ． 14．設(shè)變量、滿足，若直線經(jīng)過該可行域，則的最大值為　　　?。? 15．已知三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若，，，則球的體積為． 16．已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，若，則的值是 ． 【解析】由題意得，，，…，， ∵，且＞0，∴，易得==…====， ∴+=+=． 三、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)將解答過程書寫在答題紙上， 并寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分10分） 已知直線被兩直線和截得線段的中點(diǎn)為，求直線的方程． 17解：設(shè)所求直線與兩直線分別交于，則 ，　　　……………4分 又因?yàn)辄c(diǎn)分別在直線上，則 得，即解得， 所求直線即為直線，所以為所求．……………10分 18．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)若，，求． 18解：(Ⅰ)． ……………4分 (Ⅱ) ……………6分 因?yàn)?，，所以，………?分 所以， …10分 所以．……………12分 19．（本小題滿分12分） 已知向量，，且與滿足，其中實(shí)數(shù)． （Ⅰ）試用表示； （Ⅱ）求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的值． 解：（I）因?yàn)?，所以? ，……3分 ， ． …………6分 （Ⅱ）由（1），…………9分 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)． …………10分 此時(shí)，，，， 所以的最小值為，此時(shí)與的夾角為　…………12分 20．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，若存在，使，則稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．設(shè)二次函數(shù)． （Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若的圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的不動(dòng)點(diǎn)，且兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的最小值． 解：（Ⅰ）∵函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)， ∴恒有兩個(gè)不等的實(shí)根，對(duì)恒成立， ∴　，得的取值范圍為．……………4分 （Ⅱ）由得， 由題知，，……………6分 設(shè)中點(diǎn)為，則的橫坐標(biāo)為，……………10分 ∴　， ∴　，當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)等號(hào)成立，∴　的最小值為．……………12分 21．（本小題滿分12分） 如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面，、、都垂直于面，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)． (Ⅰ)求證：為等腰直角三角形； (Ⅱ)求二面角的余弦值． 21解:(Ⅰ)連接，交于，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，，所以，因?yàn)?、都垂直于面? ，又面∥面，． 所以四邊形為平行四邊形，則． 因?yàn)?、、都垂直于面，則 所以 所以為等腰直角三角形．　　　　　　……………6分 (Ⅱ)取的中點(diǎn)，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以∥以分別為軸建立坐標(biāo)系，則 所以 設(shè)面的法向量為，則 ，即 且 令，則．………8分 設(shè)面的法向量為， 則即 且 令，則，則　　　……………10分 ， 所以　二面角的余弦值為．　　　……………12分 22．（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)． （Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅲ）設(shè)，，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求不超過的最大的整數(shù)值． 22解：（Ⅰ）因?yàn)?，所? ①當(dāng)時(shí)，，則，……………………1分 ②當(dāng)時(shí)，， 所以，即， 所以，而，……………………3分 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得所以，．……………6分 所以 ①， ②， ②-①得：， ．………………8分 （Ⅲ）由(1)知 ，………10分 所以 故　不超過的最大整數(shù)為．…………………………12分