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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 第2講 三角恒等變換與解三角形教案 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(xx大綱全國(guó))已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝ A．－　　　 B．－ C.　　　 D. 解析　利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式求解． ∵sinα＋cos α＝， ∴(sin α＋cosα)2＝， ∵2sin αcos α＝－， 即sin 2α＝－. 又∵α為第二象限角且sin α＋cos α＝＞0， ∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋π(k∈Z)，∴2α為第三象限角， ∴cos 2α＝－＝－. 答案　A 2．(xx浙江)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知cos A＝，sin B＝cos C. (1)求tan C的值； (2)若a＝，求△ABC的面積． 解析　(1)因?yàn)?＜A＜π，cos A＝，得sin A＝＝. 又cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝cos C＋sin C，所以tan C＝. (2)由tan C＝，得sin C＝，cos C＝. 于是sin B＝cos C＝， 由a＝及正弦定理＝，得c＝. 設(shè)△ABC的面積為S，則S＝acsin B＝. 考題分析 新課標(biāo)高考對(duì)本部分的考查，一般多以小題考查三角變換在求值、化簡(jiǎn)等方面的應(yīng)用，而解答題常常有以下三種：三角變換與內(nèi)部相關(guān)知識(shí)的綜合性問(wèn)題、三角變換與向量的交匯性問(wèn)題、三角變換在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一：三角變換及求值 【例1】設(shè)＜α＜，sin＝，求的值． [審題導(dǎo)引]　解答本題的關(guān)鍵是求出sin α與cos α，觀察所給的條件式會(huì)發(fā)現(xiàn)求sin α與cos α的方法有兩個(gè)，一是利用角的變換，二是解關(guān)于sin α與cos α的方程組． [規(guī)范解答]　解法一　由＜α＜，得＜α－＜， 又sin＝，∴cos＝. ∴cos α＝cos ＝coscos －sinsin ＝. ∴sin α＝. 故原式＝＝cos α＝. 解法二　由sin＝，得sin α－cos α＝，① 平方得1－2sin αcos α＝， 即2sin αcos α＝＞0. 由于＜α＜，故＜α＜. (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 故sin α＋cos α＝，② 聯(lián)立①②，解得sin α＝，cos α＝. ∴原式＝cos α(1＋2sin α) ＝＝. 【規(guī)律總結(jié)】 sin α、cos α的求值技巧 當(dāng)已知sin，cos時(shí)，利用和、差角的三角函數(shù)公式展開(kāi)后都含有sin α＋cos α或sin α－cos α，這兩個(gè)公式中的其中一個(gè)平方后即可求出2sin αcos α，根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可求出另外一個(gè)，這兩個(gè)聯(lián)立即可求出sin α，cos α的值．或者把sin α＋cos α、sin α－cos α與sin2α＋cos2α＝1聯(lián)立，通過(guò)解方程組的方法也可以求出sin α、cos α的值． [易錯(cuò)提示]　三角函數(shù)求值中要特別注意角的范圍，如根據(jù)sin2α＝求sin α的值時(shí)，sin α＝ 中的符號(hào)是根據(jù)角的范圍確定的，即當(dāng)α的范圍使得sin α≥0時(shí)，取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)．注意在運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系時(shí)也有類似問(wèn)題． 【變式訓(xùn)練】 1．(xx煙臺(tái)一模)若α∈，且cos2α＋sin＝，則tan α＝ A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析　cos2α＋sin＝cos2α＋cos 2α ＝2cos2α－sin2α＝＝＝， 即tan2α＝1. 又α∈，tan α＞0，∴tan α＝1. 2．(xx南京模擬)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，則cos α＝________. 解析　sin＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α ＝sin α＋cos α＝sin＝－， ∴sin＝－. 又∵－＜α＜0，∴－＜α＋＜，∴cos＝， ∴cos α＝cos＝cos＋sin ＝. 答案　 考點(diǎn)二：正、余弦定理的應(yīng)用 【例2】　(xx湖南師大附中模擬)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，且(2a－c)cos B＝bcos C. (1)求角B的大?。? (2)若cos A＝，a＝2，求△ABC的面積． [審題導(dǎo)引]　(1)把條件式中的邊利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角后進(jìn)行三角恒等變換可求B； (2)利用(1)的結(jié)果求b及c，利用公式求面積． [規(guī)范解答]　(1)因?yàn)?2a－c)cos B＝bcos C，由正弦定理，得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C ＝sin(B＋C)＝sin A. ∵0＜A＜π，∴sin A≠0，∴cos B＝. 又∵0＜B＜π，∴B＝. (2)由正弦定理＝，得b＝， 由cos A＝可得A＝， 由B＝，可得sin C＝， ∴S＝absin C＝2＝ 【規(guī)律總結(jié)】 解三角形的一般方法是 (1)已知兩角和一邊，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b. (2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A＋B＋C＝π求另一角． (3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解題時(shí)可能有多種情況． (4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C. 【變式訓(xùn)練】 3．(xx北京東城11校聯(lián)考)在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若sin A＝sin C，B＝30，b＝2，則邊c＝________. 解析　由正弦定理得a＝c，由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B， 即4＝3c2＋c2－2c2，解得c＝2. 答案　2 考點(diǎn)三：解三角形與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 【例3】(xx宿州模擬)已知甲船正在大海上航行．當(dāng)它位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救，甲船立即以10海里/小時(shí)的速度勻速前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，乙船當(dāng)即也決定勻速前往救援，并且與甲船同時(shí)到達(dá)．(供參考使用：取tan 41＝) (1)試問(wèn)乙船航行速度的大小； (2)試問(wèn)乙船航行的方向(試用方位角表示，譬如北偏東……度)． [審題導(dǎo)引]　據(jù)題意作出示意圖，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形，利用正、余弦定理求解． [規(guī)范解答]　設(shè)乙船運(yùn)動(dòng)到B處的距離為t海里． 則t2＝AC2＋AB2－2ABACcos 120 ＝102＋202＋21020＝700， ∴t＝10，又設(shè)∠ACB＝θ， 則＝，＝， 則sin θ＝＝0.65，∴θ＝41， ∴乙船應(yīng)朝北偏東71的方向沿直線前往B處求援．速度為5海里/小時(shí)． 【規(guī)律總結(jié)】 應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題需要下列四步 (1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、方位角等； (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出； (3)將所求解的問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解； (4)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案 【變式訓(xùn)練】 4．如圖所示，小麗家住在成都市錦江河畔的電梯公寓AD內(nèi)，她家河對(duì)岸新建了一座大廈BC，為了測(cè)得大廈的高度，小麗在她家的樓底A處測(cè)得大廈頂部B的仰角為60，爬到樓頂D處測(cè)得大廈頂部B的仰角為30，已知小麗所住的電梯公寓高82米，請(qǐng)你幫助小麗算出大廈高度BC及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離AC. 解析　設(shè)AC＝x米，則BC＝x米， 過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，易得BE＝x， ∴x－x＝82. ∴x＝41米． ∴BC＝41＝123米． 名師押題高考 【押題1】已知＝，則sin α＋cos α＝________. 解析　＝＝ ＝＝， 則sin α＋cos α＝. 答案　 [押題依據(jù)]　誘導(dǎo)公式、倍角公式等都是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)用這些公式進(jìn)行三角恒等變換是高考的必考內(nèi)容．本題考點(diǎn)設(shè)置恰當(dāng)、難度適中，體現(xiàn)了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基礎(chǔ)能力的雙重考查，故押此題． 【押題2】在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列． (1)若b＝，a＝3，求c的值； (2)設(shè)t＝sin Asin C，求t的最大值． 解析　(1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C， 因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以B＝. 因?yàn)閎＝，a＝3，b2＝a2＋c2－2accos B， 所以c2－3c－4＝0. 所以c＝4或c＝－1(舍去)． (2)因?yàn)锳＋C＝π， 所以t＝sin Asin＝sin A ＝sin 2A＋＝＋sin. 因?yàn)?＜A＜，所以－＜2A－＜. 所以當(dāng)2A－＝，即A＝時(shí)，t有最大值. [押題依據(jù)]　本題將三角函數(shù)、余弦定理、數(shù)列巧妙地結(jié)合在一起，綜合考查了三角恒等變換及余弦定理的應(yīng)用，體現(xiàn)了高考在知識(shí)的交匯處命題的理念，故押此題．