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2019-2020年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第1講 空間幾何體教案 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1．(xx遼寧)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析　將三視圖還原為直觀圖后求解． 根據(jù)三視圖可知幾何體是一個長方體挖去一個圓柱，所以S＝2(4＋3＋12)＋2π－2π＝38. 答案　38 2．(xx遼寧)已知正三棱錐PABC，點P、A、B、C都在半徑為的球面上，若PA、PB、PC兩兩相互垂直，則球心到截面ABC的距離為________． 解析　先求出△ABC的中心，再求出高，建立方程求解． 如圖，設(shè)PA＝a， 則AB＝a，PM＝a. 設(shè)球的半徑為R， 所以2＋2＝R2， 將R＝代入上式， 解得a＝2，所以d＝－＝. 答案　 考題分析 高考考查本部分內(nèi)容時一般把三視圖與空間幾何體的表面積與體積相結(jié)合，題型以小題為主，解答此類題目需仔細觀察圖形，從中獲知線面的位置關(guān)系與數(shù)量大小，然后依據(jù)公式計算． 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點突破 考點一： 空間幾何體與三視圖 【例1】已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為 [審題導(dǎo)引]　條件中的俯視圖與側(cè)視圖給出了邊長，故可根據(jù)三視圖的數(shù)量關(guān)系進行選擇． [規(guī)范解答]　空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，故正視圖的高一定是2，正視圖和俯視圖“長對正”，故正視圖的底面邊長為2，根據(jù)側(cè)視圖中的直角說明這個空間幾何體最前面的面垂直于底面，這個面遮住了后面的一個側(cè)棱，綜合以上可知，這個空間幾何體的正視圖可能是C. [答案]　C 【規(guī)律總結(jié)】 解決三視圖問題的技巧 空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長對正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”．也就是說正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來，即“眼見為實、不見為虛”．在三視圖的判斷與識別中要特別注意其中的“虛線”． 【變式訓(xùn)練】 1．(xx豐臺二模)一個正四棱錐的所有棱長均為2，其俯視圖如圖所示，則該正四棱錐的正視圖的面積為 A.　　　　B.　　　　C．2　　　　D．4 解析　正四棱錐的直觀圖如圖所示，BH＝，SB＝2， ∴SH＝，其正視圖為底面邊長為2，高為的等腰三角形， ∴正四棱錐的正視圖的面積為S＝2＝. 答案　A 考點二：空間幾何體的表面積與體積 【例2】　(1)一個幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為 A．4 m3 B.m3 C．3m3 D. m3 (2)(xx豐臺一模)若正四棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是 A．4 B．4＋4 C．8 D．4＋4 [審題導(dǎo)引]　(1)把三視圖還原為幾何體，畫出其直觀圖，然后分別計算各個部分的體積，最后整合得到結(jié)果； (2)作出幾何體的直觀圖，根據(jù)正視圖中的幾何體的數(shù)量可得直觀圖的數(shù)量，可求其表面積． [規(guī)范解答]　(1)這個空間幾何體的直觀圖如圖所示，把右半部分割補到上方的后面以后，實際上就是三個正方體，故其體積是3 m3.故選C. (2)正四棱錐的直觀圖如圖所示， 由正視圖與俯視圖可知SH＝3， AH＝，AB＝2， ∴△SAB的高SE＝＝， ∴所求的表面積為 S＝42＋22 ＝4＋4. [答案]　(1)C　(2)B 【規(guī)律總結(jié)】 組合體的表面積和體積的計算方法 實際問題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺、球，而是由柱、錐、臺、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺、球或其一個部分，分別計算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部分的表面積或體積”的和或差． [易錯提示]　空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計算時要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對于簡單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計算時不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和． 【變式訓(xùn)練】 2．(xx濟南模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析　由三視圖可知該幾何體為三棱錐，其高為3， 底面積為S＝31＝， ∴體積V＝3＝. 答案　 3．某品牌香水瓶的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積為________cm2 解析　這個空間幾何體上面是一個四棱柱、中間部分是一個圓柱、下面是一個四棱柱．上面四棱柱的面積為233＋121－＝30－；中間部分的面積為2π1＝π，下面部分的面積為244＋162－＝64－.故其面積是94＋. 答案　94＋ 考點三：球與球的組合體 【例3】正四棱錐S－ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點S、A、B、C、D都在同一個球面上，則該球的體積為________． [審題導(dǎo)引]　如圖所示，根據(jù)對稱性，只要在四棱錐的高線SE上找到一個點O使得OA＝OS，則四棱錐的五個頂點就在同一個球面上． [規(guī)范解答]　如圖所示，在Rt△SEA中，SA＝，AE＝1，故SE＝1.設(shè)球的半徑為r，則OA＝OS＝r，OE＝1－r.在Rt△OAE中，r2＝(1－r)2＋1，解得r＝1，即點O即為球心，故這個球的體積是. [答案]　 【規(guī)律總結(jié)】 巧解球與多面體的組合問題 求解球與多面體的組合問題時，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對稱性判斷球心的位置，然后通過作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個幾何元素的關(guān)系，達到求解解題需要的幾何量的目的． 【變式訓(xùn)練】 4．(xx普陀區(qū)模擬)若一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球面上，則此球的體積為________． 解析　設(shè)正六棱柱的上，下底面的中心分別為O1，O2， 則O1O2的中點即為球心O， 如圖所示，AO2＝，O2O＝， ∴R＝AO＝＝， ∴V＝πR3＝π3＝π. 答案　π 名師押題高考 【押題1】某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖及部分數(shù)據(jù)如圖所示，則該三棱錐的體積為________． 解析　由于側(cè)視圖和俯視圖“寬相等”，故側(cè)視圖的底邊長是2，由此得側(cè)視圖的高為2，此即為三棱錐的高；俯視圖的面積為6，由題設(shè)條件，此即為三棱錐的底面積．所以所求的三棱錐的體積是62＝4. 答案　4 [押題依據(jù)]　幾何體的三視圖是高考的熱點問題，通常與幾何體的體積和表面積結(jié)合考查．本題給出幾何體的三視圖及其數(shù)量大小，要求考生據(jù)此計算幾何體的體積，此類型可以說是高考的必考點，故押此題． 【押題2】正四面體的四個頂點都在同一個球面上，且正四面體的高為4，則這個球的表面積是________． 解析　我們不妨設(shè)該正四面體的棱長為a，其外接球的半徑是R，內(nèi)切球的半徑是r，則該正四面體的高h＝R＋r，如圖所示，則在Rt△OO1A中，OO1＝r，OA＝R，O1A＝a， 從而有解得R＝a，r＝a. 根據(jù)R＝a，h＝a＝4?R＝3?S＝4πR2＝36π. 答案　36π [押題依據(jù)]　本題主要考查空間幾何體與球的組合體知識，這類題是高考考查球及其組合體的?？碱}型，有兩類重要組合模型，即球的內(nèi)接與球的外切．