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2019-2020年九年級總復習（河北）習題 第4章 第3節(jié) 等腰三角形與直角三角形 基礎過關 一、精心選一選 1．(xx廣東)一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為( A ) A．17 B．15 C．13 D．13或17 2．(xx濱州)下列四組線段中，可以構成直角三角形的是( B ) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 3．(xx龍巖)如圖，在平面直角坐標系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，動點C在直線y＝x上，若以A，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，則點C的個數(shù)是( B ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．(xx威海)如圖，在△ABC中，∠ABC＝50，∠ACB＝60，點E在BC的延長線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點D，連接AD，下列結論中不正確的是( B ) A．∠BAC＝70 B．∠DOC＝90 C．∠BDC＝35 D．∠DAC＝55 5．(xx南充)如圖，在△ABC中，AB＝AC，且D為BC上一點，CD＝AD，AB＝BD，則∠B的度數(shù)為( B ) A．30 B．36 C．40 D．45 6．(xx天門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，BC＝6 cm，AB的垂直平分線交BC于點M，交AB于點E，AC的垂直平分線交BC于點N，交AC于點F，則MN的長為( C ) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 7．(xx淄博)如圖，△ABC的周長為26，點D，E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則PQ的長為( C ) A. B. C．3 D．4 二、細心填一填 8．(xx黔西南州)如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝__15__度． ,第8題圖)　　　,第9題圖) 9．(xx天津)如圖，在Rt△ABC中，D，E為斜邊AB上的兩個點，且BD＝BC，AE＝AC，則∠DCE的大小為__45__度． 10．(xx莆田)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2，則最大的正方形E的面積是__10__． 11．如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90且DC＝2AB，分別以DA，AB，BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3之間的關系是__S1＋S3＝S2__． ,第11題圖)　　　,第12題圖) 12．(xx涼山州)如圖，圓柱形容器高18 cm，底面周長為24 cm，在杯內(nèi)壁離杯底4 cm的點B處有一滴蜂蜜，此時已知螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2 cm與蜂蜜相對的A處，則螞蟻從外壁A處到達內(nèi)壁B處的最短距離為__20__cm. 13．(xx錦州)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點E，垂足為D，連接BE，已知AE＝5，tan∠AED＝，則BE＋CE＝__6或16__． 14．(xx沈陽)已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是__1或7__． 三、用心做一做 15．在△ABC中，AB＝AC，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE＝AF，BF與CE相交于點P，求證：PB＝PC.并請直接寫出圖中其他相等的線段． 解：∵AE＝AF，AC＝AB，∠A＝∠A，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC.其他相等線段：BE＝CF，PE＝PF，BF＝CE 16．(xx溫州)如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F. (1)求∠F的度數(shù)； (2)若CD＝2，求DF的長． 解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90，∴∠F＝90－∠EDC＝30　(2)∵∠ACB＝60，∠EDC＝60，∴△EDC是等邊三角形，∴ED＝DC＝2，∵∠DEF＝90，∠F＝30，∴DF＝2DE＝4 17．(xx杭州)把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段長為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍． (1)不同分法得到的三條線段能組成多少個不全等的三角形？用尺規(guī)作出這些三角形；(用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡) (2)求出(1)中所作三角形外接圓的周長． 解：(1)3，4，5；4，4，4　(2)R1＝2.5，外接圓周長為5π；R2＝，外接圓周長為π 18．如圖，在△ABC中，∠ABC＝45，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，點F是BC的中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE＝∠CBE. (1)線段BH與AC相等嗎？若相等，給予證明，若不相等，請說明理由； (2)求證：BG2－GE2＝EA2. 解：(1)相等．證△DBH≌△DCA，得BH＝AC　(2)連接CG，證△ABE≌△CBE，得EC＝EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2＝EC2，可證GF垂直平分BC，∴BG＝CG，∴BG2－GE2＝EA2 挑戰(zhàn)技能 19．(xx瀘州)如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90，O是斜邊AB的中點，點D，E分別在直角邊AC，BC上，且∠DOE＝90，DE交OC于點P，則下列結論：①圖形中全等的三角形只有兩對；②△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍；③CD＋CE＝OA；④AD2＋BE2＝2OPOC.其中正確的結論有( C ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 20．(xx珠海)如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90，OA＝1，以OA1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以OA2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，……則OA6的長度為__8__． 21．(xx金華)如圖，等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F(xiàn)，連接AF，BE相交于點P.若AE＝CF. (1)求證：AF＝BE，并求∠APB的度數(shù)； (2)若AE＝2，試求APAF的值． 解：(1)由SAS可證△ABE≌△CAF，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF，∴∠ABE＋∠BAF＝∠CAF＋∠BAF＝∠BAC＝60，∴∠APB＝180－60＝120　(2)由(1)得∠AFC＝∠AEP，又∵∠PAE＝∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴＝，∴APAF＝AEAC＝26＝12 22．(xx重慶)如圖，△ABC中，∠BAC＝90，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E.在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC. (1)求證：BE＝CF； (2)在AB上取一點M，使BM＝2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME.求證：①ME⊥BC；②DE＝DN. 解：(1)∵∠BAC＝90，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45，∵FC⊥BC，∴∠BCF＝90，∴∠ACF＝90－45＝45，∴∠B＝∠ACF，∵∠BAC＝90，F(xiàn)A⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90，∠CAF＋∠CAE＝90，∴∠BAE＝∠CAF，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF　(2)①過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE＝BH，∠BEH＝45，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE＝HE，∴DE＝BH＝HE，∵BM＝2DE，∴HE＝HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH＝45，∴∠BEM＝45＋45＝90，∴ME⊥BC?、谟深}意得∠CAE＝45＋45＝67.5，∴∠CEA＝180－45－67.5＝67.5，∴∠CAE＝∠CEA＝67.5，∴AC＝CE，由HL可證Rt△ACM≌Rt△ECM，∴∠ACM＝∠ECM＝45＝22.5，又∵∠DAE＝45＝22.5，∴∠DAE＝∠ECM，∵∠BAC＝90，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD＝CD＝BC，由ASA可證△ADE≌△CDN，∴DE＝DN 23．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，D是等邊△ABC邊BA上一動點(點D與點B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊△DCF，連接AF，你能發(fā)現(xiàn)AF與BD之間的數(shù)量關系嗎？并證明你發(fā)現(xiàn)的結論； (2)類比猜想：如圖②，當動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線時，其他作法與(1)相同，猜想AF與BD在(1)中的結論是否仍然成立？ (3)深入探究：Ⅰ.如圖③，當動點D在等邊△ABC邊BA上運動時(點D與B不重合)，連接DC，以DC為邊在BC上方、下方分別作等邊△DCF和等邊△DCF′，連接AF，BF′，探究AF，BF′與AB有何數(shù)量關系？并證明你探究的結論； Ⅱ.如圖④，當動點D在等邊△ABC的邊BA的延長線上運動時，其他作法與圖③相同，Ⅰ中的結論是否成立？若不成立，是否有新的結論？并證明你得出的結論． 解：(1)AF＝BD，證△BCD≌△ACF(SAS)即可 (2)仍然成立，證△BCD≌△ACF(SAS)即可　(3)Ⅰ.AF＋BF′＝AB.由(1)知△BCD≌△ACF(SAS)，則BD＝AF.同理△BCF′≌△ACD(SAS)，則BF′＝AD，∴AF＋BF′＝BD＋AD＝AB?、?Ⅰ中的結論不成立，新的結論是AF＝AB＋BF′.易證△BCF′≌△ACD(SAS)，∴BF′＝AD.由(2)知AF＝BD，∴AF＝BD＝AB＋AD＝AB＋BF′