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2019-2020年高考數(shù)學 專題48 抽樣的方法黃金解題模板 【高考地位】 抽樣方法是高考的熱點，高考在這部分內(nèi)容命題趨向主要以選擇題、填空題為主，重點考查基礎知識、基本概念及其簡單的應用. 在復習中，要理解幾種抽樣方法的區(qū)別于聯(lián)系，應充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率統(tǒng)計中處理問題的基本思想方法. 其試題難度屬低檔題. 【方法點評】 類型一 隨機抽樣 使用情景：簡單的隨機抽樣 解題模板：第一步 認真分析題意，認清考查的是哪種簡單的隨機抽樣； 第二步 運用對應的簡單隨機抽樣進行求解； 第三步 得出結(jié)論. 例1 從總體為的一批零件中使用簡單隨機抽樣抽取一個容量為40的樣本，若某個零件在第2次抽取時被抽到的可能性為1%，則（ ） A. 100 B. 4000 C. 101 D. 4001 【答案】B 【解析】 因為從總體為的一批零件中使用簡單隨機抽樣抽取一個容量為的樣本， 某個零件第次抽取的可能性為，所以，解得，故選B． 例2 某學校高一、高二、高三三個年級共有學生3 500人，其中高三學生數(shù)是高一學生數(shù)的兩倍，高二學生數(shù)比高一學生數(shù)多300人，現(xiàn)在按 的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應抽取高一學生數(shù)為( ) A. 8 B. 11 C. 16 D. 10 【答案】A 【變式演練1】將某省參加數(shù)學競賽預賽的500名同學編號為：001,002，，500，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽的的號碼013為一個樣本，這500名學生分別在三個考點考試，從001到200在第一考點，從201到355在第二考點，從356到500在第三考點，則第二考點被抽中的人數(shù)為 A. B. C. D. 【答案】B 【變式演練2】高二某班共有學生56人，座號分別為1,2,3,…,56現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本．已知4號、18號、46號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的座號是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：系統(tǒng)抽樣抽取的編號構(gòu)成等差數(shù)列，由4號、18號、46號同學在樣本中可知剩余的號為32號 考點：系統(tǒng)抽樣 【變式演練3】在一次馬拉松比賽中，名運動員的成績（單位：分鐘）如下圖所示; 若將運動員按成績由好到差編為-號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取人，則其中成績在區(qū)間上的運動員人數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：觀察莖葉圖可知，成績在區(qū)間的共有人，設在區(qū)間內(nèi)抽取的人數(shù)為，根據(jù)分層抽樣可有，解得，故選A. 考點：1.莖葉圖；2.分層抽樣. 【變式演練4】【xx河南鄭州市第一中學模擬】為了調(diào)查民眾對最新各大城市房產(chǎn)限購政策的了解情況，對甲、乙、丙、丁四個不同性質(zhì)的單位做分層抽樣調(diào)查．假設四個單位的人數(shù)有如下關系：甲、乙的人數(shù)之和等于丙的人數(shù)，甲丁的人數(shù)之和等于乙、丙的人數(shù)之和，且丙單位有36人，若在甲、乙兩個單位抽取的人數(shù)之比為1:2，則這四個單位的總?cè)藬?shù)為（ ） A. 96 B. 120 C. 144 D. 160 【答案】B 類型二 用樣本估計總體 使用情景：有關頻率分布直方圖的基本計算 解題模板：第一步 根據(jù)頻率分布直方圖計算出相應的頻率； 第二步 運用樣本的頻率估計總體的頻率； 第三步 得出結(jié)論. 例3 為了了解某校高三400名學生的數(shù)學學業(yè)水平測試成績，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于60分為及格，不低于80分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是（ ） A.60%，60 B.60%，80 C.80%，80 D.80%， 60 【答案】C 【變式演練5】某校從高一年級學生中隨機抽取100名學生，將他們期中考試的數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段： [40，50），[50，60），…，[90，100]后得到頻率分布直方圖（如下圖所示），則分數(shù)在[70，80）內(nèi)的人數(shù)是 ． 【答案】30 【解析】 試題分析：由頻率分布直方圖知小長方形面積為對應區(qū)間概率，所有小長方形面積和為1，因此分數(shù)在[70，80）內(nèi)的概率為，人數(shù)為 考點：頻率分布直方圖 【變式演練6】一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如下圖）．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關系，要從這人中再用分層抽樣方法抽出人作進一步調(diào)查，則在（元）月收入段應抽出 人． 【答案】40 【解析】 試題分析：由圖（2500，3500元/月）收入段的頻率是0.0005500+0.0003500=0.4 故用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在（2500，3500元/月）收入段應抽出人數(shù)為0.4100=40 考點：頻率分布直方圖；分層抽樣方法 【變式演練7】某班級有名學生，其中有名男生和名女生，隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績，五名男生的成績分別為，，，，，五名女生的成績分別為，，，，，下列說法一定正確的是（ ） A．這種抽樣方法是一種分層抽樣 B．這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣 C．這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差 D．該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù) 【答案】C. 考點：抽樣方法，方差，平均數(shù)． 【變式演練8】某班同學利用勞動節(jié)進行社會實踐，對歲的人群隨機抽取人進行了一次生活習慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖： （1）補全頻率分布直方圖并求、、的值； （2）從年齡段在的“低碳族”中采用分層抽樣法抽取人參加戶外低碳體驗活動，其中每組各選多少人？ 【答案】（1）1000,60,0．65 （2）歲中有4人，歲中有2人． 考點：1．頻率分布表及直方圖；2．分層抽樣 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標3，理3】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了xx年1月至xx年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 【答案】A 2.【xx江蘇，3】 某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 ▲ 件. 【答案】18 【解析】所求人數(shù)為，故答案為18． 【考點】分層抽樣 【名師點睛】在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N. 3.【xx課標1，文2】為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標準差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù) 【答案】B 4.【xx山東，文8】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為 A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7 【答案】A 【解析】 試題分析：由題意,甲組數(shù)據(jù)為56,62,65,,74,乙組數(shù)據(jù)為59,61,67,,78.要使兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)相等,有,所以,又平均數(shù)相同,則 ,解得.故選A. 【考點】莖葉圖、樣本的數(shù)字特征 【名師點睛】由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況,這一點同頻率分布直方圖類似.它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù),沒有任何信息損失,第二點是莖葉圖便于記錄和表示.其缺點是當樣本容量較大時,作圖較繁瑣. 利用莖葉圖對樣本進行估計是,要注意區(qū)分莖與葉,莖是指中間的一列數(shù),葉是從莖的旁邊生長出來的數(shù). 5. 【xx課標1，文2】為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標準差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù) 【答案】B 6.【xx高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 【解析】 試題分析：由頻率分布直方圖知，自習時間不少于22.5小時為后三組，有（人），選D. 考點：頻率分布直方圖 【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，是一道基礎題目.從歷年高考題目看，圖表題已是屢見不鮮，作為一道應用題，考查考生的視圖、用圖能力，以及應用數(shù)學解決實際問題的能力. 7.【xx高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是________▲________. 【答案】0.1 8.【xx高考新課標1卷】（本小題滿分12分）某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). （I）求的分布列； （II）若要求,確定的最小值； （III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應選用哪個？ 【答案】（I）見解析（II）19（III） 9. 【xx年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （I）求直方圖中a的值； （II）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由； （III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9． 考點：頻率分布直方圖. 【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個小矩形面積就是相應的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關鍵，也是識圖的基礎． 10.【xx江蘇高考，2】已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________. 【答案】6 11 【xx北京，文17】某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： （Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率； （Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)； （Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． 【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）. （Ⅲ）由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為， 所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為. 所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為. 所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為. 【考點】頻率分布直方圖的應用 【名師點睛】1.用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準確，直方圖比較直觀. 2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1. 【反饋練習】 1．【xx江西宜春二?！磕持袑W高一年級560人，高二年級540人，高三年級520人，用分層抽樣的方法抽取容量為81的樣本，則在高一、高二、高三三個年級抽取的人數(shù)分別為（ ） A. 28、27、26 B. 28、26、24 C. 26、27、28 D. 27、26、25 【答案】A 【解析】根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為 則在高一年級抽取的人數(shù)是人 高二年級抽取的人數(shù)是人 高三年級抽取的人數(shù)是人 故答案選 2．【xx貴州黔東南州聯(lián)考】近年呼吁高校招生改革的呼聲越來越高,在贊成高校招生改革的市民中按年齡分組，得到樣本頻率分布直方圖如圖，其中年齡在歲的有2500人，年齡在歲的有1200人，則的值為（ ） A. 0.013 B. 0.13 C. 0.012 D. 0.12 【答案】C 3．現(xiàn)要完成下列3項抽樣調(diào)查： ①從10盒酸奶中抽取3盒進行食品衛(wèi)生檢查； ②科技報告廳有32排座位，每排有40個座位，有一次報告會恰好坐滿了聽眾，報告會結(jié)束后，為了聽取意見，邀請32名聽眾進行座談； ③某中學高三年級有12個班，文科班4個，理科班8個，為了了解全校學生對知識的掌握情況，擬抽取一個容量為50的樣本． 較為合理的抽樣方法是 ( ) A. ①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③分層抽樣 B. ①簡單隨機抽樣，②分層抽樣，③系統(tǒng)抽樣 C. ①系統(tǒng)抽樣，②簡單隨機抽樣，③分層抽樣 D. ①分層抽樣，②系統(tǒng)抽樣，③簡單隨機抽樣 【答案】A 4．用系統(tǒng)抽樣法(按等距離的規(guī)則)從160名學生中抽取容量為20的樣本，將這160名學生從1到160編號．按編號順序平均分成20段(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16段應抽出的號碼為125，則第1段中用簡單隨機抽樣確定的號碼是( ) A. 7 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】用系統(tǒng)抽樣知，每段中有8人，第16段應為從121到128這8個號碼，125是其中的第5個號碼，所以第一段中被確定的號碼是5. 5．【xx云南玉溪第一中學模擬】總體由編號為的各個體組成，利用隨機數(shù)表（以下摘取了隨機數(shù)表中第1行和第2行）選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始由左向右讀取，則選出來的第4個個體的編號為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】從隨機數(shù)表第1行的第9列和第10列數(shù)字開始,依次是14，05，11，09，則第四個數(shù)字是09，選B. 6．已知某校隨機抽取了名學生，將他們某次體育測試成績制成如圖所示的頻率分布直方圖.若該校有名學生，則在本次體育測試中，成績不低于分的學生人數(shù)約為__________． 【答案】 【解析】依題意，所求人數(shù)為，故答案為. 7．某市為了增強市民的消防意識，面向社會招募社區(qū)宣傳志愿者．現(xiàn)從歲至歲的志愿者中隨機抽名按年齡分組：第組，第組，第組，第組，第組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．若用分層抽樣的方法從這名志愿者中抽取名參加消防演習活動，則從第組中抽取的人數(shù)為__________． 【答案】4 8．在某地區(qū)某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區(qū)居民顯示可以過正常生活，有公共衛(wèi)生專家建議的指標是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過5人”，根據(jù)連續(xù)7天的新增病例數(shù)計算，下列各個選項中，一定符合上述指標的是__________． ①平均數(shù)； ②標準差； ③平均數(shù)且標準差； ④平均數(shù)且極差小于或等于2； ⑤眾數(shù)等于1且極差小于或等于4. 【答案】（4）（5） 【解析】 ①錯，舉反例：；其平均數(shù)，但不符合上述指標； ②錯，舉反例：；其標準差，但不符合上述指標； ③錯，舉反例：；其平均數(shù)且標準差，但不符合上述指標； ④對，若極差小于，鮮肉符合上述指標； 若極差小于或等于，有可能⑴；⑵；⑶；⑷；⑸， 在平均數(shù)的條件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指標； ⑤對，在眾數(shù)等于且極差小于或等于，則最大數(shù)不超過，符合指標，所以選⑷⑸. 9．已知某運動員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________． 【答案】0.25 10． 重慶因夏長酷熱多伏旱而得名“火爐”，八月是重慶最熱、用電量最高的月份．下圖是沙坪壩區(qū)居民八月份用電量（單位：度）的頻率分布直方圖，其分組區(qū)間依次為：，，，，，，． （1）求直方圖中的； （2）根據(jù)直方圖估計八月份用電量的眾數(shù)和中位數(shù)； （3）在用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則用電量在的用戶應抽取多少戶？ 【答案】（1）；（2），；（3）. 考點：頻率分布直方圖，分層抽樣.