2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 思想方法專題 第三講 分類討論思想 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 思想方法專題 第三講 分類討論思想 理 分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題,通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.對問題實(shí)行分類與整合,分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增加的一個(gè)已知條件,實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè),將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題),優(yōu)化解題思路,降低問題難度. 1.由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論:有的概念本身是分類的,如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等. 2.由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論:有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的,在不同的條件下結(jié)論不一致,如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等. 3.由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論:如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零,偶次方根為非負(fù),對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求,指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求,不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù),三角函數(shù)的定義域等. 4.由圖形的不確定性引起的分類討論:有的圖形類型、位置需要分類,如角的終邊所在的象限;點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等. 5.由參數(shù)的變化引起的分類討論:某些含有參數(shù)的問題,如含參數(shù)的方程、不等式,由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同,或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法. 6.由實(shí)際意義引起的討論:此類問題在應(yīng)用題中,特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用. 判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊?. (1)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.() (2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函數(shù).() (3)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(0,0).() (4)當(dāng)n>0時(shí),冪函數(shù)y=xn是定義域上的增函數(shù).() (5)若函數(shù)f(x)=(k2-1)x2+2x-3在(-∞,2)上單調(diào)遞增,則k=.() (6)已知f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),則f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2.() 1.過雙曲線2x2-y2=2的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線有(B) A.4條 B.3條 C.2條 D.1條 解析:由2x2-y2=2,得x2-=1. 當(dāng)l無斜率時(shí),|AB|==4,符合要求。 當(dāng)l有斜率時(shí),若A、B兩點(diǎn)都在右支上,則|AB|>4不符合要求,A、B在左、右兩支上,有兩條,所以共3條. 2.已知正三角形ABC的邊長為3,到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離都等于1的平面的個(gè)數(shù)是(D) A.2 B.3 C.5 D.8 解析:對三個(gè)頂點(diǎn)和平面的位置分類:在平面同一側(cè)有2個(gè),在平面的兩側(cè)有6個(gè). ∴共有2+6=8個(gè). 3.滿足a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個(gè)數(shù)有(B) A.14 B.13 C.12 D.10 解析:方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解,分析討論. ①當(dāng)a=0時(shí),很顯然為垂直于x軸的直線方程,有解,此時(shí)b可以取4個(gè)值,故有4個(gè)有序數(shù)對; ②當(dāng)a≠0時(shí),需要Δ=4-4ab≥0,即ab≤1.顯然有3個(gè)實(shí)數(shù)對不滿足題意,分別為(1,2),(2,1),(2,2). ∵(a,b)共有44=16個(gè)實(shí)數(shù)對,故答案應(yīng)為16-3=13. 4. (xx浙江卷)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(f(a))≤2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,]. 解析:由題意或解得f(a)≥-2,當(dāng)或解得a≤. 故a的取值范圍是(-∞,]. 一、選擇題 1.已知實(shí)數(shù)m是2,8的等比中項(xiàng),則曲線x2-=1的離心率為(D) A. B. C. D.或 解析:∵m是2,8的等比中項(xiàng),∴m2=16,∴m=4. 當(dāng)m=4時(shí),曲線為雙曲線,其中a=1,c=,e==; 當(dāng)m=-4時(shí),曲線為橢圓,其中a=2,c=,e==,故選D. 2.已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)≤2的解集是(A) A.[0,+∞) B.[-1,2] C.[0,2] D.[1,+∞) 解析:由得0≤x≤1;由得x>1,∴解集是[0,+ ∞),故選A. 3.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3.又函數(shù)g(x)=|xcos πx|,則函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(B) A.5個(gè) B.6個(gè) C.7個(gè) D.8個(gè) 解析:因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x3. 所以當(dāng)x∈[1,2],(2-x)∈[0,1], f(x)=f(2-x)=(2-x)3, 當(dāng)x∈時(shí),g(x)=xcos(πx);當(dāng)x∈時(shí),g(x)=-xcos(πx),注意到函數(shù)f(x), g(x)都是偶函數(shù),且f(0)=g(0),f(1)=g(1), f= g=0,作出函數(shù)f(x), g(x)的大致圖象,函數(shù)h(x)除了0,1這兩個(gè)零點(diǎn)之外,分別在區(qū)間,,,上各有一個(gè)零點(diǎn),共有6個(gè)零點(diǎn).故選B. 4.經(jīng)過點(diǎn)P(2,3)且在x,y軸上截距相等的直線方程是(B) A.x+y-5=0,x-y+1=0 B.x+y-5=0,3x-2y=0 C.x+y-5=0,x-y+1=0,3x-2y=0 D.x-y+1=0,3x-2y=0 解析:當(dāng)截距為零時(shí),直線方程為 3x-2y=0;當(dāng)截距不為零時(shí),直線方程為x+y-5=0. 5.已知A,B為平面內(nèi)兩定點(diǎn),過該平面內(nèi)動點(diǎn)M作直線AB的垂線,垂足為N,2=λ,其中λ為常數(shù),則動點(diǎn)M的軌跡不可能是(C) A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線 解析:考查曲線方程、分類討論的思想.不妨設(shè)|AB|=2,以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)M(x,y),則N(x,0),=(0,-y),=(x+1,0),=(1-x,0),代入已知式子得λx2+y2=λ,當(dāng)λ=1時(shí),曲線為A:當(dāng)λ=2時(shí),曲線為B;當(dāng)λ<0時(shí),曲線為D,所以選C. 6.已知點(diǎn)O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則必有(C) A.b=a3 B.b=a3+ C.(b-a3)(b-a3-)=0 D.|b-a3|+|b-a3-|=0 解析:根據(jù)直角三角形的直角的位置求解. 若以O(shè)為直角頂點(diǎn),則B在x軸上,則a必為0,此時(shí)O,B重合,不符合題意; 若∠A=,則b=a3≠0. 若∠B=,根據(jù)斜率關(guān)系可知a2=-1, 所以a(a3-b)=-1,即b-a3-=0. 以上兩種情況皆有可能,故只有C滿足條件。 二、填空題 7.設(shè)點(diǎn)F1,F(xiàn)2為橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),已知點(diǎn)P,F(xiàn)1,F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且|PF1|>|PF2|,則的值為或2. 解析:若∠PF2F1=90, 則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2. 又∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2, 解得|PF1|=,|PF2|=, ∴=. 若∠F1PF2=90,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2= |PF1|2+(6-|PF1|)2, ∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴=2. 綜上可知,=或2. 8.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積為4或. 解析:分側(cè)面矩形長、寬分別為6和4或4和6兩種情況. 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=2asin2x-2asin xcos x+a+b(a≠0)的定義域?yàn)?,值域?yàn)閇-5,1],求常數(shù)a,b的值. 解析:f(x)=a(1-cos 2x)-asin 2x+a+b= -2asin+2a+b, ∵x∈, ∴2x+∈,∴-≤sin≤1, 因此,由f(x)的值域?yàn)閇-5,1], 可得 或 解得或 10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),且 l過點(diǎn)T(4,0).求證:=0. 解析:設(shè)過點(diǎn)T(4,0)的直線l交拋物線y2=4x于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2). ①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=4,此時(shí)直線l與拋物線交于點(diǎn)A(4,4),B(4,-4), ∴=0. ②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí), 設(shè)直線l的方程為y=k(x-4). 其中k≠0,由得ky2-4y-16k=0, 則y1y2=-16. 又∵x1=y(tǒng),x2=y(tǒng), ∴=x1x2+y1y2 =y(tǒng)y+y1y2=0. 綜上所述,=0得證. 11.如圖所示,已知一條線段AB,它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直二面角PlQ的兩個(gè)面內(nèi)移動,若AB和平面P,Q所成的角分別為α,β.試討論α+β的取值范圍. 解析:①當(dāng)AB⊥l時(shí),α+β=90. ②當(dāng)AB與l不垂直且不在l上時(shí),在平面P內(nèi)作AC⊥l,C為垂足,連接BC, ∵平面P⊥平面Q, ∴AC⊥平面Q. ∴∠ABC是AB與平面Q所成的角, 即∠ABC=β. 在平面Q內(nèi)作BD⊥l,垂足為D, 連接AD,同理∠BAD=α. 在Rt△BDA, Rt△BCD和Rt△ABC中,BD<BC, <,即sin α<sin ∠BAC. ∵α和∠BAC均為銳角, ∴α<∠BAC,而∠BAC+β=90,∴α+β<90. ③若AB在l上,則α+β=0. 綜上可知,0≤α+β≤90. 12.(xx重慶卷)已知函數(shù)f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)為偶函數(shù),且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為4-c. (1)確定a,b的值; (2)若c=3,判斷f(x)的單調(diào)性; (3)若f(x)有極值,求c的取值范圍. 分析:(1)由f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)?f′(x)=2ae2x+2be-2x-c, 因?yàn)閒′(x)是偶函數(shù),所以f′(-x)=f′(x),又曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線的斜率為4-c,所以有f′(0)=4-c,利用以上兩條件列方程組可解a,b的值; (2)由(1),f′(x)=2ex+2e-x-c,當(dāng)c=3時(shí),利用f′(x)的符號判斷f(x)的單調(diào)性; (3)要使函數(shù)f(x)有極值,必須f′(x)有零點(diǎn),由于2ex+2e-x≥4,所以可以對c的取值分類討論,得到滿足條件的C的取值范圍. 解析:(1)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)=2ae2x+2be-2x-c,由f′(x)為偶函數(shù),知f′(-x)=f′(x)恒成立,即2(a-b)(e2x-e-2x)=0恒成立,所以a=b, 又f′(0)=2a+2b-c,故a=1,b=1. (2)當(dāng)c=3時(shí),f(x)=e2x-e-2x-3x,那么 f′(x)=2e2x+2e-2x-3≥2-3=1>0, 故f(x)在R上為增函數(shù). (3)由(1)知f′(x)=2e2x+2e-2x-c,而2e2x+2e-2x≥2=4,當(dāng)x=0時(shí)等號成立. 下面分三種情況進(jìn)行討論. ①當(dāng)c<4時(shí),對任意x∈R,f′(x)=2e2x+2e-2x-c>0,此時(shí)f(x)無極值; ②當(dāng)c=4時(shí),對任意x≠0,f′(x)=2e2x+2e-2x-4>0,此時(shí)f(x)無極值; ③當(dāng)c>4時(shí),令e2x=t,注意到方程2t+-c=0有兩根,t1,2=>0, 即f′(x)=0有兩個(gè)根x1=ln t1或x2=ln t2. 當(dāng)x1<x<x2時(shí),f′(x)<0;又當(dāng)x>x2時(shí),f′(x)>0,從而f(x)在x=x2處取得極小值. 綜上,若f(x)有極值,則c的取值范圍為(4,+∞).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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