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2019-2020年高二數(shù)學(xué)第一章1.1.1《變化率問題》教案 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解平均變化率的概念； 2．了解平均變化率的幾何意義； 3．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率 教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率； 教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念． 教學(xué)過程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān)： 一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。 導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度． 二．新課講授 （一）問題提出 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 分析: ， 1 當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 2 當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了 h t o 氣球的平均膨脹率為 可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t) = -4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)? 思考計(jì)算：和的平均速度 在這段時(shí)間里，； 在這段時(shí)間里， 探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問題： ⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題嗎？ 探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6. 5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， 所以， 雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． （二）平均變化率概念: 1．上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 2．若設(shè), (這里看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3． 則平均變化率為 思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率表示什么? f(x2) y=f(x) y △y =f(x2)-f(x1) f(x1) 直線AB的斜率 △x= x2-x1 x2 x1 x O 三．典例分析 例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則 ． 解：， ∴ 例2． 求在附近的平均變化率。 解：，所以 所以在附近的平均變化率為 四．課堂練習(xí) 1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，則在時(shí)間中相應(yīng)的平均速度為 ． 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率. 3.過曲線y=f (x)=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率. 五．回顧總結(jié) 1．平均變化率的概念 2．函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率