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2019-2020年高考數(shù)學大二輪復習第二編專題整合突破專題四數(shù)列第二講數(shù)列求和及綜合應用適考素能特訓 一、選擇題 1．[xx重慶測試]在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項和Sn＝(　　) A．n(3n－1) B. C．n(n＋1) D. 答案　C 解析　依題意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是以2為首項、2為公差的等差數(shù)列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)，選C. 2．[xx鄭州質(zhì)檢]正項等比數(shù)列{an}中的a1、a4031是函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋6x－3的極值點，則log axx＝(　　) A．1 B．2 C. D．－1 答案　A 解析　因為f′(x)＝x2－8x＋6，且a1、a4031是方程x2－8x＋6＝0的兩根，所以a1a4031＝a＝6，即axx＝，所以log axx＝1，故選A. 3．[xx太原一模]已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n(2n－1)cos＋1(n∈N*)，其前n項和為Sn，則S60＝(　　) A．－30 B．－60 C．90 D．120 答案　D 解析　由題意可得，當n＝4k－3(k∈N*)時，an＝a4k－3＝1；當n＝4k－2(k∈N*)時，an＝a4k－2＝6－8k；當n＝4k－1(k∈N*)時，an＝a4k－1＝1；當n＝4k(k∈N*)時，an＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝815＝120.故選D. 4．某年“十一”期間，北京十家重點公園舉行免費游園活動，北海公園免費開放一天，早晨6時30分有2人進入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進去4人出來……按照這種規(guī)律進行下去，到上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)是(　　) A．211－47 B．212－57 C．213－68 D．214－80 答案　B 解析　由題意，可知從早晨6時30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn則an＝42n－1，bn＝n，則上午11時30分公園內(nèi)的人數(shù)為S＝2＋－＝212－57. 5．已知曲線C：y＝(x>0)及兩點A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2>x1>0.過A1，A2分別作x軸的垂線，交曲線C于B1，B2兩點，直線B1B2與x軸交于點A3(x3,0)，那么(　　) A．x1，，x2成等差數(shù)列 B．x1，，x2成等比數(shù)列 C．x1，x3，x2成等差數(shù)列 D．x1，x3，x2成等比數(shù)列 答案　A 解析　由題意，得B1，B2兩點的坐標分別為，. 所以直線B1B2的方程為y＝－(x－x1)＋， 令y＝0，得x＝x1＋x2， 所以x3＝x1＋x2， 因此，x1，，x2成等差數(shù)列． 6．[xx江西南昌模擬]設無窮數(shù)列{an}，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－A|<ε成立，就稱數(shù)列{an}的極限為A.則四個無窮數(shù)列：①{(－1)n2}； ②； ③； ④{12＋222＋323＋…＋n2n}，其中極限為2的共有(　　) A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 答案　D 解析　對于①，|an－2|＝|(－1)n2－2|＝2|(－1)n－1|，當n是偶數(shù)時，|an－2|＝0；當n是奇數(shù)時，|an－2|＝4，所以數(shù)列{(－1)n2}沒有極限，所以2不是數(shù)列{(－1)n2}的極限． 對于②，|an－2| ＝ ＝ ＝＋>1，所以對于正數(shù)ε0＝1，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－2|<ε0成立，即2不是數(shù)列 的極限． 對于③，|an－2|＝＝＝，令<ε，得n>1－log2ε，所以對于任意給定的正數(shù)ε(無論多小)，總存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－2|<ε成立，所以2是數(shù)列 的極限． 對于④，當n≥2時，|an－2|＝|12＋222＋323＋…＋n2n－2|＝222＋323＋…＋n2n>1，所以對于正數(shù)ε0＝1，不存在正整數(shù)N，使得n>N時，恒有|an－2|<ε0成立，即2不是數(shù)列{12＋222＋323＋…＋n2n}的極限． 綜上所述，極限為2的數(shù)列共有1個． 二、填空題 7．[xx陜西質(zhì)檢二]已知正項數(shù)列{an}滿足a－6a＝an＋1an，若a1＝2，則數(shù)列{an}的前n項和為________． 答案　3n－1 解析　∵a－6a＝an＋1an，∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0，∵an>0，∴an＋1＝3an，∴{an}為等比數(shù)列，且公比為3，∴Sn＝3n－1. 8．[xx唐山統(tǒng)考]Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若2S4＝S2＋2，則S6的最小值為________． 答案　 解析　由題意得2(a1＋a1q＋a1q2＋a1q3)＝a1＋a1q＋2，整理，得(a1＋a1q)(1＋2q2)＝2，即S2(1＋2q2)＝2.因為1＋2q2>0，所以S2>0.又由2S4＝S2＋2，得S4＝S2＋1.由等比數(shù)列的性質(zhì)，得S2，S4－S2，S6－S4成等比數(shù)列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，所以S6＝＋S4＝＋S2＋1＝S2＋≥2＝，當且僅當S2＝，即S2＝時等號成立，所以S6的最小值為. 9．[xx武昌調(diào)研]設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＋＝(－1)nan(n∈N*)，則數(shù)列{Sn}的前9項和為________． 答案?。? 解析　因為Sn＋＝(－1)nan，所以Sn－1＋＝(－1)n－1an－1(n≥2)，兩式相減得Sn－Sn－1＋－＝(－1)nan－(－1)n－1an－1， 即an－＝(－1)nan＋(－1)nan－1(n≥2)， 當n為偶數(shù)時，an－＝an＋an－1，即an－1＝－， 此時n－1為奇數(shù)，所以若n為奇數(shù)，則an＝－； 當n為奇數(shù)時，an－＝－an－an－1，即2an－＝－an－1，所以an－1＝，此時n－1為偶數(shù)，所以若n為偶數(shù)，則an＝. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝ 所以數(shù)列{Sn}的前9項和為S1＋S2＋S3＋…＋S9＝9a1＋8a2＋7a3＋6a4＋…＋3a7＋2a8＋a9＝(9a1＋8a2)＋(7a3＋6a4)＋…＋(3a7＋2a8)＋a9＝－－－－－＝－＝－. 三、解答題 10．[xx合肥質(zhì)檢]在數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*. (1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn. 解　(1)證明：由an＋1＝an知＝， ∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴＝n，∴an＝， ∴Sn＝＋＋…＋，① 則Sn＝＋＋…＋，② ①－②得Sn＝＋＋＋…＋－＝1－， ∴Sn＝2－. 11．[xx安徽高考]設n∈N*，xn是曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標． (1)求數(shù)列{xn}的通項公式； (2)記Tn＝xx…x，證明：Tn≥. 解　(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲線y＝x2n＋2＋1在點(1,2)處的切線斜率為2n＋2， 從而切線方程為y－2＝(2n＋2)(x－1)． 令y＝0，解得切線與x軸交點的橫坐標xn＝1－＝. (2)證明：由題設和(1)中的計算結(jié)果知 Tn＝xx…x＝22…2. 當n＝1時，T1＝. 當n≥2時，因為x＝2＝>＝＝， 所以Tn>2…＝. 綜上可得對任意的n∈N*，均有Tn≥. 12．[xx河南開封質(zhì)檢]已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝1－，其中n∈N*. (1)設bn＝，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式； (2)設cn＝，數(shù)列{cncn＋2}的前n項和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得Tn<對于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請說明理由． 解　(1)∵bn＋1－bn＝－ ＝－ ＝－＝2(常數(shù))， ∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． ∵a1＝1，∴b1＝2， 因此bn＝2＋(n－1)2＝2n， 由bn＝得an＝. (2)由cn＝，an＝得cn＝， ∴cncn＋2＝＝2， ∴Tn＝2＝2<3， 依題意要使Tn<對于n∈N*恒成立，只需≥3，即≥3， 解得m≥3或m≤－4，又m為正整數(shù)，所以m的最小值為3. 典題例證 [xx山東高考]已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)令cn＝.求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 審題過程 　依據(jù)an與Sn的關系可求an，進而求出bn的通項． 　先化簡數(shù)列cn，然后依據(jù)其結(jié)構(gòu)特征采取錯位相減求和. 　(1)由題意知當n≥2時， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 當n＝1時，a1＝S1＝11， 所以an＝6n＋5. 設數(shù)列{bn}的公差為d， 由 得 可解得b1＝4，d＝3. 所以bn＝3n＋1. (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)2n＋1. 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 所以Tn＝3[222＋323＋…＋(n＋1)2n＋1]， 2Tn＝3[223＋324＋…＋(n＋1)2n＋2]， 兩式作差，得－Tn＝3[222＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)2n＋2]＝3＝－3n2n＋2，所以Tn＝3n2n＋2. 模型歸納 求數(shù)列的通項公式及前n項和的模型示意圖如下：