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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題 新題演練 集合 一、選擇題。 1．設(shè)集合，若Z是的子集，把Z中的所有數(shù)的和稱為Z的“容量”（規(guī)定空集的容量為0）．若Z的容量為奇（偶）數(shù)，則稱Z為的奇（偶）子集． 命題①：的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等； 命題②：當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等 則下列說法正確的是（ ） A．命題①和命題②都成立 B．命題①和命題②都不成立 C．命題①成立，命題②不成立 D．命題①不成立，命題②成立 【答案】A 【解析】設(shè)為的奇子集，令，則是偶子集，是奇子集的集到偶子集的一一對(duì)應(yīng)，而且每個(gè)偶子集，均恰有一個(gè)奇子集，與之對(duì)應(yīng)，故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，所以①正確；對(duì)任一，含的子集共有個(gè)，用上面的對(duì)應(yīng)方法可知，在時(shí)，這個(gè)子集中有一半是奇子集，在時(shí)，由于，將上邊的1換成3，同樣可得其中有一半是奇子集，于是在計(jì)算奇子集容量之和是，根據(jù)上面所說，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，所以當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等，即命題②正確，故應(yīng)選. 2．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對(duì)任意，都有，則稱S為封閉集。下列命題：①集合S＝{a＋bi|（為整數(shù)，為虛數(shù)單位）}為封閉集； ②若S為封閉集，則一定有； ③封閉集一定是無限集； ④若S為封閉集，則滿足的任意集合也是封閉集． 上面命題中真命題共有哪些？（ ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】B 【解析】①成立，因?yàn)榧侠锏脑?，不管是相加，還是相減，還是相乘，都是復(fù)數(shù)，并且實(shí)部，虛部都是整數(shù)；②當(dāng)時(shí)，所以成立；③不成立，舉例：就是封閉集，但是有限集，④舉例，集合就不是封閉集．所以不成立． 3．已知映射，其中法則．若，則集合可以為（ ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【解析】解解得答案D 4．對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某種運(yùn)算“※”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù) 時(shí),※=;當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),※=.則在此定義下,集合※中的元素個(gè)數(shù)是（ ） A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè) 【答案】B. 【解析】因?yàn)椋?，，，，，，? ，集合中的元素是有序數(shù)對(duì)，所以集合中的元素共有個(gè)，故選B. 5．設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個(gè)“理想配集”。那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定與是兩個(gè)不同的“理想配集”）的個(gè)數(shù)是 （ ） A.4 B.8 C.9 D.16 【答案】C. 【解析】當(dāng)時(shí)，或或或，共3個(gè)“理想配集”； 當(dāng)時(shí)，或，共2個(gè)“理想配集”； 當(dāng)時(shí)，或，共2個(gè)“理想配集”； 當(dāng)時(shí)，，共1個(gè)“理想配集” 所以符合條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)為9. 6．用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù)，定義，若，，且，設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合，則（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等價(jià)于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②， 又由A={1，2}，且A*B=1， ∴集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合， 當(dāng)集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實(shí)根0，②無實(shí)數(shù)根， ∴a=0； 當(dāng)集合B是三元素集合時(shí)，則方程①有兩不相等實(shí)根，②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根，則 解得a=2，綜上所述a=0或a=2 ∴C（S）=3．故答案為 D． 7．在映射中，，且，則 中的元素在集合中的象為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意，對(duì)應(yīng)關(guān)系為，故 中的元素在集合中的象為 二、填空題。 8．設(shè)集合，與是的兩個(gè)子集，若，則稱為集合的一個(gè)分拆，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，與是同一個(gè)分拆。那么集合的不同的分拆個(gè)數(shù)有__________個(gè)。 【答案】9 【解析】由于集合S={1，2}的子集為：?，{1}，{2}，{1，2}， 而由題意知，若A∪B=S，則稱（A，B）為集合S的一個(gè)分拆， 故①當(dāng)A=?時(shí)，B=S；②當(dāng)A={1}時(shí)，B={2}或{1，2}；③當(dāng)A={2}時(shí)，B={1}或{1，2}；④當(dāng)A={1，2}時(shí)，B={1}或{2}或{1，2}． 故集合S的不同的分拆個(gè)數(shù)有9個(gè) 9．已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合： ①； ②； ③； ④. 其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是 . 【答案】②④ 【解析】對(duì)應(yīng)①是以軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是，所以在同一支上，任意，不存在，滿足定義，在另一支上對(duì)任意，不存在，使得成立，所以不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；對(duì)應(yīng)②，對(duì)應(yīng)任意，存在，使得成立，例如，，滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以②是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；對(duì)應(yīng)③，取點(diǎn)，曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；對(duì)應(yīng)④，如下圖紅線是直角始終存在，對(duì)應(yīng)任意，存在，使得成立，例如，取點(diǎn)，則，滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，所以是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；故答案②④. 10．將含有個(gè)正整數(shù)的集合分成元素個(gè)數(shù)相等且兩兩沒有公共元素的三個(gè)集合，其中，，，若中的元素滿足條件：，，1,2， ，，則稱為“完并集合”． （1）若為“完并集合”，則的一個(gè)可能值為____．（寫出一個(gè)即可） （2）對(duì)于“完并集合”，在所有符合條件的集合中， 其元素乘積最小的集合是____． 【答案】（1）7、9、11中任一個(gè)；（2） 【解析】（1）若集合，，根據(jù)完美集合的概念知集合，， 若集合，，根據(jù)完美集合的概念知集合，， 若集合，，根據(jù)完美集合的概念知集合，， 故的一個(gè)可能值為7、9、11中任一個(gè) 若，，則 若，，則， 若，，則， 這兩組比較得元素乘積最小的集合是，故答案為． 11．若任意則就稱是“和諧”集合.則在集合 的所有非空子集中,“和諧”集合的概率是 ． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，M中共8個(gè)元素，則M的非空子集有28-1=255個(gè)， 進(jìn)而可得：“和諧”集合中的元素兩兩成對(duì)，互為倒數(shù)，觀察集合M，互為倒數(shù)的數(shù)有兩對(duì)，即2與，3與；包括兩個(gè)倒數(shù)是自身的數(shù)1與-1，可將這些數(shù)看作是四個(gè)元素，由于包括四個(gè)元素的集合的非空子集是24-1=15，則M的子集中，“和諧”集合的個(gè)數(shù)為15；故“和諧”集合的概率是，故答案為． 12．對(duì)于集合（，定義集合，記集合中的元素個(gè)數(shù)為．若是公差大于零的等差數(shù)列，則=____________． 【答案】 【解析】由題意，集合中最小項(xiàng)為，最大項(xiàng)為，對(duì)任意的，如果，則可取，若，可取，顯然由于，有，即，所以. 13．已知集合,其中表示和中所有不同值的個(gè)數(shù). （Ⅰ）若集合,則； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的最小值為____________. 【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）213. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)?+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，故有6個(gè)不同值.所以；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，將集合中元素按從小到大順序重新排列，得，且.依題意，和可以組成、、…、、、…、、、…、……、共5778個(gè).且易知<<<…<；<<…<；…….當(dāng)只要，就有時(shí)，和中所有不同值的個(gè)數(shù)最少，因?yàn)闉檫@些值中的最小值，為這些值中的最大值.所以.故的最小值為213. 14．在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，．給出如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 ． 【答案】3 【解析】因?yàn)椋?，①正確；因?yàn)?，所以，②不正確；顯然③正確；若整數(shù)屬于同一“類”，則，反之，，則，即整數(shù)屬于同一“類”，所以④正確，故正確的結(jié)論有3個(gè). 三、解答題。 15．（本小題滿分13分）若為集合且的子集，且滿足兩個(gè)條件： ①； ②對(duì)任意的，至少存在一個(gè)，使或. 則稱集合組具有性質(zhì). 如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為. … … … … … … … （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)，如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格，如果不是請(qǐng)說明理由； 集合組1：； 集合組2：. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若集合組具有性質(zhì)，請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合； （Ⅲ）當(dāng)時(shí)，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù)） 【答案】（Ⅰ）集合組1具有性質(zhì)；集合組2不具有性質(zhì). （Ⅱ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . （Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）經(jīng)驗(yàn)證集合組1具有性質(zhì)；集合組2不具有性質(zhì)，因?yàn)榇嬖冢?，與對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)，有或矛盾；（Ⅱ）先求出對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表，由此可得；（Ⅲ）設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表， 由題意可得對(duì)任意，都存在有，所以，即第行不全為0，所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. 由條件②知，對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)，使或，所以一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同.所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. 因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個(gè)，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以，所以.又時(shí)，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的數(shù)組，共個(gè)，選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì).所以. 因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù)，所以，要使取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少，而時(shí)，在數(shù)表中，的個(gè)數(shù)為的行最多行；的個(gè)數(shù)為的行最多行；的個(gè)數(shù)為的行最多行；的個(gè)數(shù)為的行最多行； 因?yàn)樯鲜龉灿行?，所以還有行各有個(gè)，所以此時(shí)表格中最少有個(gè). 所以的最小值為. 解：（Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì). 所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為： 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 集合組2不具有性質(zhì). 因?yàn)榇嬖冢? 有， 與對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)，有或矛盾，所以集合組不具有性質(zhì). （Ⅱ） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同） （Ⅲ）設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表， 因?yàn)榧辖M為具有性質(zhì)的集合組， 所以集合組滿足條件①和②， 由條件①：， 可得對(duì)任意，都存在有， 所以，即第行不全為0， 所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. 由條件②知，對(duì)任意的，都至少存在一個(gè)，使或，所以一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同. 所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. 因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個(gè)，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以， 所以. 又時(shí)，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的數(shù)組，共個(gè)，選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì). 所以. 因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù)， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少， 而時(shí)，在數(shù)表中， 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 的個(gè)數(shù)為的行最多行； 因?yàn)樯鲜龉灿行校赃€有行各有個(gè)， 所以此時(shí)表格中最少有個(gè). 所以的最小值為.