2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題 新題演練 集合.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題 新題演練 集合.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題 新題演練 集合
一、選擇題。
1.設(shè)集合,若Z是的子集,把Z中的所有數(shù)的和稱為Z的“容量”(規(guī)定空集的容量為0).若Z的容量為奇(偶)數(shù),則稱Z為的奇(偶)子集.
命題①:的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等;
命題②:當(dāng)時(shí),的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等
則下列說法正確的是( )
A.命題①和命題②都成立
B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立
D.命題①不成立,命題②成立
【答案】A
【解析】設(shè)為的奇子集,令,則是偶子集,是奇子集的集到偶子集的一一對(duì)應(yīng),而且每個(gè)偶子集,均恰有一個(gè)奇子集,與之對(duì)應(yīng),故的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等,所以①正確;對(duì)任一,含的子集共有個(gè),用上面的對(duì)應(yīng)方法可知,在時(shí),這個(gè)子集中有一半是奇子集,在時(shí),由于,將上邊的1換成3,同樣可得其中有一半是奇子集,于是在計(jì)算奇子集容量之和是,根據(jù)上面所說,這也是偶子集的容量之和,兩者相等,所以當(dāng)時(shí),的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等,即命題②正確,故應(yīng)選.
2.設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集.若對(duì)任意,都有,則稱S為封閉集。下列命題:①集合S={a+bi|(為整數(shù),為虛數(shù)單位)}為封閉集;
②若S為封閉集,則一定有;
③封閉集一定是無限集;
④若S為封閉集,則滿足的任意集合也是封閉集.
上面命題中真命題共有哪些?( )
A.① B.①② C.①②③ D.①②④
【答案】B
【解析】①成立,因?yàn)榧侠锏脑?,不管是相加,還是相減,還是相乘,都是復(fù)數(shù),并且實(shí)部,虛部都是整數(shù);②當(dāng)時(shí),所以成立;③不成立,舉例:就是封閉集,但是有限集,④舉例,集合就不是封閉集.所以不成立.
3.已知映射,其中法則.若,則集合可以為( )
A.
B.或
C.
D.或或
【答案】D
【解析】解解得答案D
4.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某種運(yùn)算“※”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù) 時(shí),※=;當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),※=.則在此定義下,集合※中的元素個(gè)數(shù)是( )
A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)
【答案】B.
【解析】因?yàn)?,,,,,,,?
,集合中的元素是有序數(shù)對(duì),所以集合中的元素共有個(gè),故選B.
5.設(shè),與是的子集,若,則稱為一個(gè)“理想配集”。那么符合此條件的“理想配集”(規(guī)定與是兩個(gè)不同的“理想配集”)的個(gè)數(shù)是 ( )
A.4 B.8 C.9 D.16
【答案】C.
【解析】當(dāng)時(shí),或或或,共3個(gè)“理想配集”;
當(dāng)時(shí),或,共2個(gè)“理想配集”;
當(dāng)時(shí),或,共2個(gè)“理想配集”;
當(dāng)時(shí),,共1個(gè)“理想配集”
所以符合條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)為9.
6.用表示非空集合中元素的個(gè)數(shù),定義,若,,且,設(shè)實(shí)數(shù)的所有可能取值構(gòu)成集合,則( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】由于(x2+ax)(x2+ax+2)=0等價(jià)于x2+ax=0 ①或x2+ax+2=0 ②,
又由A={1,2},且A*B=1,
∴集合B要么是單元素集合,要么是三元素集合,
當(dāng)集合B是單元素集合,則方程①有兩相等實(shí)根0,②無實(shí)數(shù)根,
∴a=0;
當(dāng)集合B是三元素集合時(shí),則方程①有兩不相等實(shí)根,②有兩個(gè)相等且異于①的實(shí)數(shù)根,則
解得a=2,綜上所述a=0或a=2
∴C(S)=3.故答案為 D.
7.在映射中,,且,則 中的元素在集合中的象為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題意,對(duì)應(yīng)關(guān)系為,故 中的元素在集合中的象為
二、填空題。
8.設(shè)集合,與是的兩個(gè)子集,若,則稱為集合的一個(gè)分拆,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),與是同一個(gè)分拆。那么集合的不同的分拆個(gè)數(shù)有__________個(gè)。
【答案】9
【解析】由于集合S={1,2}的子集為:?,{1},{2},{1,2}, 而由題意知,若A∪B=S,則稱(A,B)為集合S的一個(gè)分拆, 故①當(dāng)A=?時(shí),B=S;②當(dāng)A={1}時(shí),B={2}或{1,2};③當(dāng)A={2}時(shí),B={1}或{1,2};④當(dāng)A={1,2}時(shí),B={1}或{2}或{1,2}. 故集合S的不同的分拆個(gè)數(shù)有9個(gè)
9.已知集合,若對(duì)于任意,存在,使得成立,則稱集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合:
①;
②;
③;
④.
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是 .
【答案】②④
【解析】對(duì)應(yīng)①是以軸為漸近線的雙曲線,漸近線的夾角是,所以在同一支上,任意,不存在,滿足定義,在另一支上對(duì)任意,不存在,使得成立,所以不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義,所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”;對(duì)應(yīng)②,對(duì)應(yīng)任意,存在,使得成立,例如,,滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義,所以②是“垂直對(duì)點(diǎn)集”;對(duì)應(yīng)③,取點(diǎn),曲線上不存在另外的點(diǎn),使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直,所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”;對(duì)應(yīng)④,如下圖紅線是直角始終存在,對(duì)應(yīng)任意,存在,使得成立,例如,取點(diǎn),則,滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義,所以是“垂直對(duì)點(diǎn)集”;故答案②④.
10.將含有個(gè)正整數(shù)的集合分成元素個(gè)數(shù)相等且兩兩沒有公共元素的三個(gè)集合,其中,,,若中的元素滿足條件:,,1,2, ,,則稱為“完并集合”.
(1)若為“完并集合”,則的一個(gè)可能值為____.(寫出一個(gè)即可)
(2)對(duì)于“完并集合”,在所有符合條件的集合中,
其元素乘積最小的集合是____.
【答案】(1)7、9、11中任一個(gè);(2)
【解析】(1)若集合,,根據(jù)完美集合的概念知集合,,
若集合,,根據(jù)完美集合的概念知集合,,
若集合,,根據(jù)完美集合的概念知集合,,
故的一個(gè)可能值為7、9、11中任一個(gè)
若,,則
若,,則,
若,,則,
這兩組比較得元素乘積最小的集合是,故答案為.
11.若任意則就稱是“和諧”集合.則在集合 的所有非空子集中,“和諧”集合的概率是 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意,M中共8個(gè)元素,則M的非空子集有28-1=255個(gè),
進(jìn)而可得:“和諧”集合中的元素兩兩成對(duì),互為倒數(shù),觀察集合M,互為倒數(shù)的數(shù)有兩對(duì),即2與,3與;包括兩個(gè)倒數(shù)是自身的數(shù)1與-1,可將這些數(shù)看作是四個(gè)元素,由于包括四個(gè)元素的集合的非空子集是24-1=15,則M的子集中,“和諧”集合的個(gè)數(shù)為15;故“和諧”集合的概率是,故答案為.
12.對(duì)于集合(,定義集合,記集合中的元素個(gè)數(shù)為.若是公差大于零的等差數(shù)列,則=____________.
【答案】
【解析】由題意,集合中最小項(xiàng)為,最大項(xiàng)為,對(duì)任意的,如果,則可取,若,可取,顯然由于,有,即,所以.
13.已知集合,其中表示和中所有不同值的個(gè)數(shù).
(Ⅰ)若集合,則;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的最小值為____________.
【答案】(Ⅰ)6;(Ⅱ)213.
【解析】(Ⅰ)因?yàn)?+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,故有6個(gè)不同值.所以;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),將集合中元素按從小到大順序重新排列,得,且.依題意,和可以組成、、…、、、…、、、…、……、共5778個(gè).且易知<<<…<;<<…<;…….當(dāng)只要,就有時(shí),和中所有不同值的個(gè)數(shù)最少,因?yàn)闉檫@些值中的最小值,為這些值中的最大值.所以.故的最小值為213.
14.在整數(shù)集中,被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”,記為,即,.給出如下四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為 .
【答案】3
【解析】因?yàn)椋?,①正確;因?yàn)?,所以,②不正確;顯然③正確;若整數(shù)屬于同一“類”,則,反之,,則,即整數(shù)屬于同一“類”,所以④正確,故正確的結(jié)論有3個(gè).
三、解答題。
15.(本小題滿分13分)若為集合且的子集,且滿足兩個(gè)條件:
①;
②對(duì)任意的,至少存在一個(gè),使或.
則稱集合組具有性質(zhì).
如圖,作行列數(shù)表,定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為.
…
…
…
…
…
…
…
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì),如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格,如果不是請(qǐng)說明理由;
集合組1:;
集合組2:.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若集合組具有性質(zhì),請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表,再依此表格分別寫出集合;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),集合組是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組,求的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù))
【答案】(Ⅰ)集合組1具有性質(zhì);集合組2不具有性質(zhì).
(Ⅱ)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.
(Ⅲ).
【解析】(Ⅰ)經(jīng)驗(yàn)證集合組1具有性質(zhì);集合組2不具有性質(zhì),因?yàn)榇嬖?,有,與對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),有或矛盾;(Ⅱ)先求出對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表,由此可得;(Ⅲ)設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表, 由題意可得對(duì)任意,都存在有,所以,即第行不全為0,所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. 由條件②知,對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),使或,所以一定是一個(gè)1一個(gè)0,即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同.所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. 因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的元有序數(shù)組,共有個(gè),又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同,所以,所以.又時(shí),由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的數(shù)組,共個(gè),選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表,則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì).所以.
因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù),所以,要使取得最小值,只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少,而時(shí),在數(shù)表中,的個(gè)數(shù)為的行最多行;的個(gè)數(shù)為的行最多行;的個(gè)數(shù)為的行最多行;的個(gè)數(shù)為的行最多行;
因?yàn)樯鲜龉灿行?,所以還有行各有個(gè),所以此時(shí)表格中最少有個(gè).
所以的最小值為.
解:(Ⅰ)解:集合組1具有性質(zhì).
所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為:
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
集合組2不具有性質(zhì).
因?yàn)榇嬖冢?
有,
與對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),有或矛盾,所以集合組不具有性質(zhì).
(Ⅱ)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.
(注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同)
(Ⅲ)設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表,
因?yàn)榧辖M為具有性質(zhì)的集合組,
所以集合組滿足條件①和②,
由條件①:,
可得對(duì)任意,都存在有,
所以,即第行不全為0,
所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0.
由條件②知,對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),使或,所以一定是一個(gè)1一個(gè)0,即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同.
所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同.
因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的元有序數(shù)組,共有個(gè),又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同,所以,
所以.
又時(shí),由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的數(shù)組,共個(gè),選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表,則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì).
所以.
因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù),
所以,要使取得最小值,只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少,
而時(shí),在數(shù)表中,
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
因?yàn)樯鲜龉灿行?,所以還有行各有個(gè),
所以此時(shí)表格中最少有個(gè).
所以的最小值為.