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2019-2020年八年級數(shù)學下冊專題講解+課后訓練：梯形 課后練習及詳解 題一： 下列命題：①一組對邊平行且相等的四邊形是梯形；②一組對邊平行但不相等的四邊形是梯形；③一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形；④一條直線與矩形的一組對邊相交，必分矩形為兩個直角梯形，其中真命題的個數(shù)是(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 題二： 下列命題：①等腰梯形是軸對稱圖形，且只有一條對稱軸；②等腰梯形上、下底中點連線，把梯形分成面積相等的兩部分；③有兩個角相等的梯形是等腰梯形；④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形．其中正確的命題有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 題三： 如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC、BD相交于O點， ∠BCD=60，下列有6個結(jié)論：①梯形ABCD是軸對稱圖形，②梯形ABCD是中心對稱圖形，③AC=BD，④BC=2AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DCB．其中正確的有(　　) A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 題四： 如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD垂足為O，過點D作DE⊥BC于E，以下五個結(jié)論：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD；③∠BCD=∠BDC； ④S△AOB=S△DOC；⑤DE=．其中正確的是(　　) A．①②⑤ B．①④⑤ C．②③④ D．①②④⑤ 題五： 如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90且DC=2AB，分別以DA、AB、BC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間的關系是(　　) A．S1+S3=S2 B．2S1+S3=S2 C．2S3-S2=S1 D．4S1-S3=S2 題六： 如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90，且DC=2AB，分別以DA、BC、DC為邊向梯形外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，則S1、S2、S3之間數(shù)量的關系是(　　) A．S1+S2=S3 B．S1+S2=S3 C．S1+S2=S3 D．S1+S2=S3 題七： 如圖，梯形紙片ABCD中，AD∥BC，∠B=30．折疊紙片使BC經(jīng)過點A，點B落在點B′處，EF是折痕，且BE=EF=4，AF∥CD． (1)求∠BAF的度數(shù)； (2)當梯形的上底AD多長時，線段DF恰為該梯形的高？ 題八： 如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90，∠C= 45，AB= 4，AD=5，把梯形沿過點D的直線折疊，使點A剛好落在BC邊上，求此時折痕的長． 題九： 如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線MN為對稱軸，P為MN上一點．若使PC+PD的值最小，則這個最小值是線段_________的長． 題十： 如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，∠DCB= 45，AD=3.5，DC=，點P為腰AB上一動點，連結(jié)PD、PC，求PD+PC的最小值． 題十一： 如圖，在四邊形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120，∠C=60，∠BDC=30；延長CD到點E，連接AE，使得∠E=∠C． (1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形； (2)若DC=16，求AD的長． 題十二： 如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60，BD平分∠ABC，且BD⊥DC． (1)求證：梯形ABCD是等腰梯形； (2)當CD=1時，求等腰梯形ABCD的周長． 題十三： 如圖，是用4個全等的等腰梯形鑲嵌成的圖形，則這個圖形中等腰梯形上下兩底邊的比是 ． 題十四： 如圖，四邊形ABCD由4個全等的等腰梯形鑲嵌而成，則線段AB與BC的大小關系為（　?。? A．AB=BC B．AB=2BC C．2AB=4BC D．2AB=3BC 梯形 課后練習參考答案 題一： 4B． 詳解：解：根據(jù)梯形的性質(zhì)和等腰梯形的判定可判斷： ①根據(jù)平行四邊形的判定，一定是平行四邊形，錯誤； ②根據(jù)梯形的定義“一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形”，而一組對邊平行但不相等的四邊形的另一組對邊肯定不平行，正確； ③如平行四邊形也符合這樣的條件，錯誤； ④也可以分為兩個矩形，錯誤． 故選B． 題二： 答案：B． 詳解：①等腰梯形是軸對稱圖形，且只有一條對稱軸，就是等腰梯形上、下底中點所在直線，故此命題正確； ②等腰梯形上、下底中點連線，把梯形分成面積相等的兩部分，此命題正確； ③有兩個角相等的梯形是等腰梯形，此命題錯誤，如直角梯形； ④一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是等腰梯形錯誤，如平行四邊形． 其中正確的命題有2個， 故選：B． 題三： 答案：C． 詳解：①符合等腰梯形的性質(zhì)，故此結(jié)論正確； ②等腰梯形是軸對稱圖形而非中心對稱圖形，故此結(jié)論不正確； ③等腰梯形的對角線相等，故此結(jié)論正確； ④過點D作DE⊥BC，過點A作AF⊥BC，則四邊形AFED是矩形， ∵∠BCD=60，∴∠EDC=30，∴CE=BF=CD， ∵AB=CD=AD，∴BC=2AD，故此結(jié)論正確； ⑤∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB， ∵∠BCD=60，∴∠DCA=∠ACB=30，∴∠DBC=30， ∴∠BOC=120，故此結(jié)論不正確； ⑥∵CD=AD，∴∠DAC=∠DCA， ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠DCA=∠ACB， ∴AC平分∠DCB，故此結(jié)論正確． 所以正確的是①③④⑥．故選C． 題四： 答案：D． 詳解：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴可得：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD； ∵BD≠BC，∴∠BCD≠∠BDC，即③不正確； 在△AOD和△DOC中，OA=OD，OB=OC，∠AOD=∠DOC， ∴△AOB≌△DOC，∴S△AOB=S△DOC；即④正確； 過點D作DF∥AC，∵AD∥BC，AC⊥BD，∴BD⊥DF，BD=DF， ∴△BDF是等腰直角三角形，故DE=BF=．即⑤正確． 故選D． 題五： 答案：A． 詳解：過點A作AE∥BC交CD于點E，∵AB∥DC， ∴四邊形AECB是平行四邊形，∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED， ∵∠ADC+∠BCD=90，DC=2AB，∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90， ∴∠DAE=90那么AD2+AE2=DE2， ∵S1=AD2，S2=AB2=DE2，S3=BC2=AE2，∴S2=S1+S3． 故選A． 題六： 答案：D． 詳解：過點A作AE∥BC交CD于點E，∵AB∥DC， ∴四邊形AECB是平行四邊形，∴AB=CE，BC=AE，∠BCD=∠AED， ∵∠ADC+∠BCD=90，DC=2AB，∴AB=DE，∠ADC+∠AED=90， ∴∠DAE=90，那么AD2+AE2=DE2， ∵S1=AD2，S=AB2=DE2，S2=BC2=AE2，∴S=S1+S2． 又∵DC=2AB，∴S=S3．∴S1+S2=S3． 故選D． 題七： 答案：見詳解． 詳解：(1)∵BE=EF，∴∠EFB=∠B， ∵△B′EF≌△BEF，∴∠EFB′=∠EFB=∠B=30， ∴∠BAF=180-30-30-30=90； (2)連接DF，∵在△AEF中，∠EAF=90，∠EFA=30，EF= 4， ∴AE=EF=2，AF=AE=2， ∵AD∥BC，AF∥CD，∴四邊形AFCD是平行四邊形， ∴∠C=∠AFB=60，CD=AF=2， ∵DF⊥BC，∴FC=DC=，∴AD=FC=， 即梯形的上底AD為時，線段DF恰為該梯形的高． 題八： 答案：或． 詳解：如圖，過點D作DF⊥BC于F，∵∠A=∠B=90，∠C= 45， ∴四邊形ABFD是矩形，△CDF是等腰直角三角形， ∴DF=AB= 4，CF=DF= 4， ①如圖1，折痕與AB相交時，根據(jù)翻折的性質(zhì)，A′D=AD=5， 在Rt△A′DF中，A′F2=A′D2-DF2=52- 42=32，即A′F=3， 設AE=x，則A′E=x，BE= 4-x，又∵A′B=BF-A′F=5-3=2， ∴在Rt△A′BE中，A′E2=A′B2+BE2，即x2=22+(4-x)2，解得x=， 所以，折痕DE2=AD2+AE2=52+()2，即DE=， ②如圖2，折痕與BC相交時，根據(jù)翻折的性質(zhì)，A′D=AD=5， 在Rt△A′DF中，A′F2=A′D2-DF2=52-42=32，即A′F=3， ∴A′B=BF+A′F=5+3=8， 設A′E=x，則BE=8-x，根據(jù)翻折的性質(zhì)求出B′E=BE=8-x， 在Rt△A′B′E中，A′E2=A′B′2+B′E2，即x2=42+(8-x)2，解得x=5， ∴EF=A′E-A′F=5-3=2， ∴在Rt△DEF中，折痕DE2=DF2+EF2=42+22=20，即DE=， 綜上所述，折痕的長為或． 題九： 答案：AC或BD． 詳解：∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線MN為對稱軸， ∴點A與點D關于直線MN對稱， ∴連接AC(BD)，則線段AC或BD的長即為PC+PD的最小值． 題十： 答案：13． 詳解：如圖，過點D作DF⊥BC于點F，作D點與AB的對稱點D′，過點D′向BC作垂線于點E，∵∠DCB= 45，DC=，∴DF=FC==5， ∵AD=3.5，∴AD′=BF=BE=3.5，∴CD′===13， ∴PD+PC的最小值為13． 題十一： 答案：見詳解． 詳解：(1)∵∠ABC=120，∠C=60， ∴∠ABC+∠BCD=180，∴AB∥DC，即AB∥ED， 又∠C=60，∠E=∠C，∠BDC=30， ∴∠E=∠BDC=30，∴AE∥BD， ∴四邊形ABDE是平行四邊形； (2)∵AB∥DC，∴四邊形ABCD是梯形， ∵DB平分∠ADC，∠BDC=30，∴∠ADC=∠BCD=60， ∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴BC=AD， ∵在△BCD中，∠C=60，∠BDC=30， ∴∠DBC=90，又DC=16， ∴AD=BC=DC=8． 題十二： 答案：見詳解． 詳解：(1)證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∵∠ABC=60，∴∠CBD=30， ∵BD⊥DC，∴∠BDC=90，∴∠C=60， ∴梯形ABCD是等腰梯形； (2)解：過點D作DE∥AB，∵AD∥BC， ∴四邊形ABED為平行四邊形， ∵CD=1，∴BC=2， ∵∠C=60，∴△DCE為等邊三角形，∴CE=BE=1，AD=1， ∴等腰梯形ABCD的周長為AD+AB+CD+BC=1+1+1+2=5． 題十三： 答案：． 詳解：延長CE交AM于D，∵∠CEA=∠AEF=∠CEF=360=120， ∴∠AED=∠EAD=60，∴△AED是等邊三角形， ∴AE=DE=CE，AB∥AD，BC∥AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB=CD=CE+ED=2CE，即等腰梯形上下兩底邊的比是=． 題十四： 答案：D． 詳解：由圖形可得等腰梯形的腰和較短的底邊相等，設較短底邊為a， 延長EG交AB于點F，如圖所示，可得DE=AF=2a，即較長底邊=2a， 則AB=AH+BH=3a，BC=2a，故可得：2AB=3BC． 故選D．