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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.2第2課時 高度、角度問題練習(xí) 新人教A版必修5 一、選擇題 1．如圖，從氣球A測得濟(jì)南全運(yùn)會東荷、西柳個場館B、C的俯角分別為α、β，此時氣球的高度為h，則兩個場館B、C間的距離為(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝. 2．某工程中要將一長為100 m傾斜角為75的斜坡，改造成傾斜角為30的斜坡，并保持坡高不變，則坡底需加長(　　) A．100m　　　　　　 B．100m C．50(＋)m D．200m [答案]　A [解析]　如圖，由條件知， AD＝100sin75＝100sin(45＋30) ＝100(sin45cos30＋cos45sin30) ＝25(＋)， CD＝100cos75＝25(－)， BD＝＝＝25(3＋)． ∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)． 3．要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的∠BCD＝120，CD＝40m，則電視塔的高度為(　　) A．10m B．20m C．20m D．40m [答案]　D [解析]　設(shè)AB＝xm，則BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得 BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos120， ∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)． 4．若甲船在B島的正南方A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們的航行時間是(　　) A．min B．h C．21.5min D．2.15h [答案]　A [解析]　當(dāng)時間t<2.5h時，如圖． ∠CBD＝120，BD＝10－4t，BC＝6t. 在△BCD中，利用余弦定理，得 CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)6tcos120＝28t2－20t＋100. 當(dāng)t＝＝(h)，即min時，CD2最小，即CD最小為. 當(dāng)t≥2.5h時，CF＝15，CF2＝>CD2， 故距離最近時，t<2.5h，即t＝min. 5．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距(　　) A．10m B．100m C．20m D．30m [答案]　D [解析]　設(shè)炮塔頂A、底D，兩船B、C，則∠ABD＝45，∠ACD＝30，∠BDC＝30，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DBDCcos30＝900， ∴BC＝30. 6．如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45，沿傾斜角為30的山坡向山頂走1 000m到達(dá)S點(diǎn)，又測得山頂仰角∠DSB＝75，則山高BC為(　　) A．500m B．200m C．1 000m D．1 000m [答案]　D [解析]　∵∠SAB＝45－30＝15， ∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45－(90－75)＝30， 在△ABS中，AB＝＝ ＝1 000， ∴BC＝ABsin45＝1 000＝1 000(m)． 二、填空題 7．某海島周圍42n mile有暗礁，一輪船由西向東航行，初測此島在北偏東60方向，航行30n mile后測得此島在東北方向，若不改變航向，則此船________觸礁危險(xiǎn)(填“有”或“無”)． [答案]　有 [解析]　如圖所示，由題意在△ABC中，AB＝30， ∠BAC＝30， ∠ABC＝135，∴∠ACB＝15， 由正弦定理，得BC＝＝＝＝15(＋)． 在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)<42. ∴此船有觸礁的危險(xiǎn)． 8．甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船正以a n mile/h的速度向北行駛．已知甲船的速度是a n mile/h，問甲船應(yīng)沿著________方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？ [答案]　北偏東30 [解析]　如圖，設(shè)經(jīng)過t h兩船在C點(diǎn)相遇， 則在△ABC中， BC＝at，AC＝at，B＝180－60＝120， 由＝， 得sin∠CAB＝＝＝. ∵0<∠CAB<90， ∴∠CAB＝30，∴∠DAC＝60－30＝30. 即甲船應(yīng)沿北偏東30的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇． 三、解答題 9．(xx南京市、鹽城市二模)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cosC＝. (1)若＝，求△ABC的面積； (2)設(shè)向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值． [解析]　(1)由＝得abcosC＝. 又因?yàn)閏osC＝，所以ab＝＝. 又C為△ABC的內(nèi)角，所以sinC＝. 所以△ABC的面積S＝absinC＝3. (2)因?yàn)閤∥y，所以2sincos＝cosB， 即sinB＝cosB， 因?yàn)閏osB≠0，所以tanB＝. 因?yàn)锽為三角形的內(nèi)角，所以B＝. 所以A＋C＝，所以A＝－C． 所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－) ＝sinC－cosC＝－＝. 10．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處(－1)n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2n mile的C處的緝私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？ [解析]　設(shè)緝私船用t小時在D處追上走私船．在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠CAB＝(－1)2＋22－2(－1)2cos120＝6，∴BC＝. 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠ABC＝sin∠BAC＝， ∴∠ABC＝45，∴BC與正北方向垂直． ∴∠CBD＝120.在△BCD中，由正弦定理，得 ＝， ∴＝， ∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30. 故緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船． 一、選擇題 11．為了測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?0，塔基的俯角為45，那么塔AB的高度為(　　) A．20(1＋)m B．20(1＋)m C．20(1＋)m D．30m [答案]　A [解析]　如圖，作CE⊥AB，則由條件知CE＝20，∠BCE＝30，∠ACE＝45， ∴BE＝CEtan30＝，AE＝CE＝20， ∴AB＝20(1＋)，故選A． 12．渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛，水流速度為4km/h，則渡輪實(shí)際航行的速度為(精確到0.1km/h)(　　) A．14.5km/h B．15.6km/h C．13.5km/h D．11.3km/h [答案]　C [解析]　由物理學(xué)知識， 畫出示意圖，如圖．AB＝15，AD＝4， ∠BAO＝120.在?ABCD中，D＝60， 在△ADC中，由余弦定理，得 AC＝ ＝＝≈13.5(km/h)． 故選C． 13．某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進(jìn)10m到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為(　　) A．15m B．5m C．10m D．12m [答案]　C [解析]　如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45，則 OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30，則OD＝h. 在△OCD中，∠OCD＝120，CD＝10， 由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OCCDcos∠OCD， 即(h)2＝h2＋102－2h10cos120， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)． 14．如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30，45，60，且AB＝BC＝60 m，則建筑物的高度為(　　) A．15m B．20m C．25m D．30m [答案]　D [解析]　設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得 cos∠PBA＝， ① cos∠PBC＝. ② ∵∠PBA＋∠PBC＝180， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)， 即建筑物的高度為30m. 二、填空題 15．學(xué)校里有一棵樹，甲同學(xué)在A地測得樹尖的仰角為45，乙同學(xué)在B地測得樹尖的仰角為30，量得AB＝AC＝10m樹根部為C(A、B、C在同一水平面上)，則∠ACB＝________. [答案]　30 [解析]　如圖，AC＝10，∠DAC＝45，∴DC＝10， ∵∠DBC＝30，∴BC＝10， cos∠ACB＝＝， ∴∠ACB＝30. 16．(xx新課標(biāo)Ⅰ文，16)如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn)．從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60，C點(diǎn)的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；從C點(diǎn)測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100m，則山高M(jìn)N＝________m . [答案]　150m [解析]　本題考查解三角形中的應(yīng)用舉例． 如圖， 在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45， ∴AC＝100. 在△AMC中，∠CAM＝75，∠ACM＝60， ∴∠AMC＝45. 由正弦定理知＝， ∴AM＝100. 在Rt△AMN中，∠NAM＝60， ∴MN＝AMsin60＝100＝150(m)． 三、解答題 17. 如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12n mile，漁船乙以10n mile/h的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2h追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sinα的值． [解析]　(1)依題意可得，在△ABC中，∠BAC＝180－60＝120，AB＝12，AC＝102＝20，∠BCA＝α. 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠BAC ＝122＋202－21220cos120＝784. 解得BC＝28. 所以漁船甲的速度為＝14n mile/h. (2)在△ABC中，因?yàn)锳B＝12，∠BAC＝120，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝. 即sinα＝＝＝. 18．據(jù)氣象臺預(yù)報(bào)，在S島正東距S島300 km的A處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時30 km的速度向北偏西30的方向移動，在距臺風(fēng)中心270 km以內(nèi)的地區(qū)將受到臺風(fēng)的影響． 問：S島是否受其影響？若受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時S島開始受到臺風(fēng)的影響？持續(xù)時間多久？說明理由． [分析]　設(shè)B為臺風(fēng)中心，則B為AB邊上動點(diǎn)，SB也隨之變化．S島是否受臺風(fēng)影響可轉(zhuǎn)化為SB≤270這一不等式是否有解的判斷，則需表示SB，可設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過th到達(dá)B點(diǎn)，則在△ABS中，由余弦定理可求SB． [解析]　如圖，設(shè)臺風(fēng)中心經(jīng)過th到達(dá)B點(diǎn)，由題意： ∠SAB＝90－30＝60， 在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60， 由余弦定理得： SB2＝SA2＋AB2－2SAABcos∠SAB ＝3002＋(30t)2－230030tcos60. 若S島受到臺風(fēng)影響，則應(yīng)滿足條件 |SB|≤270即SB2≤2702， 化簡整理得t2－10t＋19≤0， 解之得5－≤t≤5＋， 所以從現(xiàn)在起，經(jīng)過(5－)h S島開始受到影響，(5＋)小時后影響結(jié)束，持續(xù)時間： (5＋)－(5－)＝2(h)． 答：S島從現(xiàn)在起經(jīng)過(5－)h受到臺風(fēng)影響，且持續(xù)時間為2h.