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2019-2020年高中數學 第八章 圓錐曲線教案 對稱問題教案教學案 蘇教版 教學目標 1．引導學生探索并掌握解決中心對稱及軸對稱問題的解析方法． 2．通過對稱問題的研究求解，進一步理解數形結合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力． 3．通過對稱問題的探討，使學生會進一步運用運動變化的觀點，用轉化的思想來處理問題． 教學重點與難點 兩曲線關于定點和定直線的對稱知識方法是重點．把數學問題轉化為對稱問題，即用對稱觀點解決實際問題是難點． 教學過程 師：前面學過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質．今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關對稱的問題．大家想一想：點P(x，y)、P′(x′，y′)關于點Q(x0，y0)對稱，那么它們的坐標應滿足什么條件？ 師：P(x，y)，P′(x′，y′)關于原點對稱，那么它們的坐標滿足什么條件？ 生：P和P′的中點是原點．即x=-x′且y=-y′． 師：若P和P′關于x軸對稱，它們的坐標又怎樣呢？ 生：x=x′且y=-y′． 師：若P和P′關于y軸對稱，它們的坐標有什么關系？ 生：y=y′且x=-x′． 師：若P和P′關于直線y=x對稱，它們的坐標又會怎樣？ 生：y=x′且x=y′． 生：它們關于直線y=x對稱． 師：若P與P′關于直線Ax+By+C=0對稱，它們在位置上有什么特征？ 生：P和P′必須在直線Ax+By+C=0的兩側． 師：還有補充嗎？ 生：PP′的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直． 師：P與P′在直線Ax+By+C=0的兩側且與直線垂直就能對稱了嗎？ 生：還需要保證P和P′到直線Ax+By+C=0的距離相等． 師：P與P′到直線Ax+By+C=0的距離相等的含義是什么？ 生：就是P與P′的中點落在直線Ax+By+C=0上，換句話說P與P′的中點坐標滿足直線方程Ax+By+C=0． 師：下面誰來總結一下，兩點P(x，y)、P′(x′，y′)關于直線Ax+By+C=0對稱應滿足的條件？ 生：應滿足兩個條件．第一個條件是PP′的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個條件是P，P′的中點應落在直線Ax+By+C=0上． 師：這兩個條件能否用方程表示呢？ (在黑板上可畫出圖形(如圖2-72)，可直觀些) 生：方程組： 師：這個方程組成立說明了什么？它能解決什么問題？ 生：方程組中含有x′，y′，也可認為這是一個含x′，y′的二元一次方程組．換句話說，給定一個點P(x，y)和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點關于直線Ax+By+C=0的對稱點P′(x′，y′)的坐標． 師：今后有很多有關對稱問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題． 例1 已知直線l1和l2關于直線2x-2y+1=0對稱(如圖2-73)，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程． (選題目的：熟悉對稱直線方程) 師：哪位同學有思路請談談． 生：先求出已知兩直線的交點，設l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點斜式求得l2的方程． (讓這位同學在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正．) 由點斜式，l2的方程為4x-6y+3=0． 師：還有別的解法嗎？ 生：在直線l1上任取一點，求出這點關于2x-2y+1=0對稱的點，然后再利用交點，兩點式可求出l2的直線方程。 (讓這位學生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯誤，大家訂正．) 解 由方程組： 師：還有別的解法嗎？ 生：在l2上任取一點P(x，y)，則P點關于2x-2y+1=0對稱的點P′(x′，y′)在l1上，列出P，P′的方程組，解出x′，y′，代入l1問題就解決了． 師：請你到黑板上把解題過程寫出來． 解 設P(x，y)為l2上的任意一點， 則P點關于直線2x-2y+1=0對稱，點P′(x′，y′)在l1上(如圖2-75)， 又因為P′(x′，y′)在直線l1：3x-2y+1=0上， 所以3x′-2y′+1=0． 即l2的方程為：4x-6y+3=0． 師：很好，大家剛才的幾種解法是求對稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關于一條直線對稱的曲線方程呢？ 引申：已知：曲線C：y=x2，求它關于直線x-y-2=0對稱的曲線方程． (選題目的：進一步熟悉對稱曲線方程的一般方法．) 師：例1中的幾種解法還都適用嗎？ 生：第二種和第三種方法還能適用． 師：誰來試一試？ 生：可先在y=x2上任取一點P0(x0，y0)，它關于直線的對稱點P′(x1，y1)，可得它們的交點，從中解出x0，y0代入曲線y=x2即可(如圖2-76)． (讓學生把他的解法寫出來．) 解 設P0(x0，y0)是曲線C：y=x2上任意一點，它關于直線x-y-2=0對稱的點為P′(x1，y1)，因此，連結P0(x0，y0)和P′(x1，y1)兩點的直線方程為y-y0=-(x-x0)． 師：還有不同的方法嗎？ 生：用兩點關于直線對稱的方法也能解決． 師：把你的解法寫在黑板上． 生：解：設M(x，y)為所求的曲線上任一點，M0(x0，y0)是M關于直線x-y-2=0對稱的點，所以M0定在曲線C：y=x2上． 代入C的方程可得x=4y2+4y+6． 師：大家再看一個例子． 點出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點到切點所經過的路程．(如圖2-77) 師：解這題的關鍵是什么？ 生：關鍵是找到x軸的交點． 師：有辦法找到交點嗎？ 生：沒人回答． 師：交點不好找，那么我們先假設M就是交點，利用交點M對解決這個問題有什么幫助嗎？ 生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx． 師：我們要求|AM|+|MD|能解決嗎？ 生：可以先找A關于x軸的對稱點A′(0，-2)，由對稱的特征知：|AM|=|A′M|，這樣把求|AM|+|MD|就可以轉化為|A′M|+|MD|即|A′D|． 師：|A′D|怎么求呢？ 生：|A′D|實際上是過A′點到圓切線的長，要求切線長，只需先連結半徑CD，再連結A′C，在Rt△A′CD，|CD|和|A′C|都已知，|AD|就可以得到了．(如圖2-77) (讓這位學生把解答寫在黑板上．) 解 已知點A關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，所求的路程即為 師：巧用對稱性，化簡了計算，很好．哪位同學能把這個題適當改一下，變成另一個題目． 生：若已知A(0，2)，D(4，1)兩定點，在x軸上，求一點P，使得|AP|+|PD|為最短． 師：誰能解答這個問題？ 生：先過A(0，2)關于x軸的對稱點A′(0，-2)， 連結A′D與x軸相交于點P，P為所求(如圖2-78)． 師：你能保證|AP|+|PD|最短嗎？ 生：因為A，A′關于x軸對稱，所以|AP|=|A′P|，這時|AP|+|PD|=|A′D|為線段，當P點在x軸其他位置上時，如在P′處，那么，連結AP′、A′P′和P′D．這時|AP′|+|P′D|=|A′P|+|P′D|＞|A′D|．理由(三角形兩邊之和大于第三邊)．所以|A′D|為最短．即P為所求． 師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個題目？ x軸和圓C上的動點，求|AM|+|MP|的最小值． 師：哪位同學能夠解決？ 生：先作A點關于x軸的對稱點A′(0，-2)，連結A′和圓心C，A′C交x軸于M點，交圓于P點，這時|AM|+|MP|最小(如圖2-79)． 師：你怎樣想到先找A點關于x軸的對稱點A′的呢？ 生：由前題的結論可知，把AM線段搬到x軸下方，盡可能使它們成為直線，這樣|A′M|+|MP|最?。? 師：很好，大家一起動筆算一算(同時讓這位學生上前面書寫)． 生：解A點關于x軸的對稱點為A′(0，-2)，連A′C交x軸于M，交圓C于P點，因為A′(0，-2)，C(6，4)，所以|A′C|= 師：我們一起看下面的問題． 例3 若拋物線y=ax2-1上總存在關于直線x+y=0對稱的兩點，求a的范圍． 師：這題的思路是什么？ 生：如圖2-80，設A(x1，y1)，B(x2，y2)是拋物線上關于直線x=- 師：很好，誰還有不同的解法嗎？ 生：曲線y=ax2-1關于直線x+y=0對稱曲線方程為：-x=ay2-1，解方 師：今天我們討論了有關點，直線，曲線關于定點，定直線，對稱的問題．解決這些問題的關鍵所在就是牢固掌握靈活運用兩點關于定直線對稱的思想方法，結合圖象利用數形結合思想解決問題． 作業(yè)： 1．一個以原點為圓心的圓與圓：x2+y2+8x-4y=0關于直線l對稱，求直線l的方程． (2x-y+5=0) 2．ABCD是平行四邊形，已知點A(-1，3)和C(-3，2)，點D在直線x-3y-1=0上移動，則點B的軌跡方程是 ______． (x-3y+20=0) 3．若光線從點A(-3，5)射到直線3x-4y+4=0之后，反射到點B(3， 9)，則此光線所經過的路程的長是______． (12) 4．已知曲線C：y=-x2+x+2關于點(a，2a)對稱的曲線是C′，若C與C′有兩個不同的公共點，求a的取值范圍．(-2＜a＜1) 設計說明 1．這節(jié)課是一節(jié)專題習題課，也可以認為是復習題，通過討論對稱問題把有關的知識進行復習，最重要的是充分突出以學生為主體．讓學生討論和發(fā)言，就是讓學生參加到數學教學中來，使學生興趣盎然，思維活躍，同時對自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學生的主動性，有利于培養(yǎng)學生的獨立思考的習慣，發(fā)展學生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數學教學中要有一定的時間讓學生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力． 2．這節(jié)課自始至終貫穿數形結合的數學思想，讓學生在腦海里留下一個深刻的印象，就是對稱問題，歸根結底都可以化成點關于直線的對稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這二次方程的判別式大于零，也可得直線與曲線有兩個交點，這種從形到數，再由數到形的轉化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時，只有站在一定的高度上去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時水平才能提高得較快． 3．習題課的一個中心就是解題，怎樣才能讓學生做盡可能少的題，從而讓學生掌握通理通法，這是一個值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學生把題目進行一題多變，一題多解，從中使學生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達到盡可能做少量的題，而達到獲取盡可能多的知識、方法和規(guī)律的目的，真正提高學生的分析問題、提出問題、解決問題的能力．解決當前學生課業(yè)負擔過重的問題，根除題海戰(zhàn)術給學生帶來的危害． 4．本課的例題選擇可根據自己所教學生的實際情況，下面幾個備用題可供參考． 題目1過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點A作這圓的切線l，M為l上任一點，過M作圓O的另一條切線，切點為Q，求點M在直線l上移動時，△MAQ垂心的軌跡方程． (選題目的：熟練用代入法求動點的軌跡方程，活用平幾簡化計算．) 解 如圖2-81所示．P為△AMQ的垂心，連OQ，則四邊形AOQP為菱形，所以|PQ|=|OA|=2，設P(x1，y1)，Q(x0，y0)．于是有x0=x1且 題目2若拋物線y=x2上存在關于直線y=m(x-3)對稱的兩點，求實數m的取值范圍． 解 (如圖2-82)設拋物線上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)關于直線 (選題目的：結合對稱問題，訓練反證法的應用．) 此題證法很多．下面給一種證法供參考． 證明 如圖2-83，若P、Q兩點關于y=x對稱，可設P(a，b)、 5．本教案作業(yè)4，5題的參考解答： 4題．解設P(x，y)是曲線y=-x2+x+2上任一點，它關于點(a，2a)的對稱點是P′(x0，y0)，則x=2a-x0，y=4a-y0，代入拋物線C的方程便得到了C′的方程：y=x2+(1-4a)x+(4a2+2a-2)．聯立曲線C與C′的方程并消去y得：x2-2ax+2a2+a-2=0，由Δ＞0得-2＜a＜1． 5題略解：如圖2-84，F1(-5，2)，F2(-1，2)，F1關于直線x-y=1的對稱點為F1(3，-6)，直線F1F2的方程為2x+y=0，代入x-y=1解得，