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2019-2020年高三第二次月考 數(shù)學(xué)試題 一．填空題（每小題4分，共52分）： 1.已知，且是第二象限角，則＝ 2.已知平面向量的夾角為60，，，則 3. 已知無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，且，，則數(shù)列各項(xiàng)的和為 4.已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則 5.直線和直線具有相同的法向量.則 6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的傾斜角是 .（用反三角函數(shù)表示結(jié)果） 7.圓的一條弦的中點(diǎn)為，這條弦所在的直線方程為______ 8.在等比數(shù)列中，，且，則的最小值為 9.設(shè)若在方向上的投影為2，且在方向上的投影為1，則與的夾角等于_______________ 10.若直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120（其中O為原點(diǎn)），則k的值為_________________ 11.已知函數(shù)若滿足，（、、互不相等），則的取值范圍是 . 12. 數(shù)列滿足性質(zhì)“對(duì)任意正整數(shù)，都成立”且，，則的最小值為 13. 已知函數(shù)滿足：(1)對(duì)任意，恒有成立；(2)當(dāng)時(shí)，.若，則滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)是 　 　 二.選擇題（每小題4分，共16分）： 14. 若直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)等于 (　 　 ) A.； B.； C.； D.或 15.已知向量，，向量，則向量與的夾角為 (　 　 ) A. ； B. ； C. ； D. . 16.已知直線的方程是, 的方程是(，則下 列各示意圖中，正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 　 ) 17.函數(shù)則不等式的解集是 (　 　 ) A. B. C. D. 三．解答題 18.（本小題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分． 已知向量且與向量夾角為，其中A，B，C是的內(nèi)角。 （1）求角B的大??； （2）求的取值范圍。 19. （本小題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分． 已知向量，且.點(diǎn) (1)求點(diǎn)的軌跡方程； (2)過點(diǎn)且以為方向向量的一條直線與軌跡方程相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，，所在的直線的斜率分別是、，求的值； 20．(本題滿分12分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分． 已知函數(shù)，數(shù)列滿足 ，． (1)若數(shù)列是常數(shù)列，求a的值； (2)當(dāng)時(shí)，記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求． 21（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分． 如圖1，，是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段和曲線段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過棧橋上某點(diǎn)分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀光平臺(tái)。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得線段的方程是，曲線段的方程是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，記。（題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度） （1）求的取值范圍； 圖2 圖1 （2）試寫出三角形觀光平臺(tái)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值 22．(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分5分． 已知函數(shù)是奇函數(shù)，定義域?yàn)閰^(qū)間D(使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合)． (1)求實(shí)數(shù)m的值，并寫出區(qū)間D； (2)若底數(shù)，試判斷函數(shù)在定義域D內(nèi)的單調(diào)性，并證明； (3)當(dāng)(，a是底數(shù))時(shí)，函數(shù)值組成的集合為，求實(shí)數(shù)的值． 23. （本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分． 已知數(shù)列滿足前項(xiàng)和為,. （1）若數(shù)列滿足,試求數(shù)列前3項(xiàng)的和； （2）（理）若數(shù)列滿足,試判斷是否為等比數(shù)列,并說明理由； （文）若數(shù)列滿足，，求證：是為等比數(shù)列； （3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意,不等式都成立，求的取值范圍. 參考答案 一．填空題（每小題4分，共52分）： 1.已知，且是第二象限角，則＝ 2.已知平面向量，的夾角為60，，，則 3. 已知無窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，且，，則數(shù)列各項(xiàng)的和為 32 4.已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則 5.直線和直線具有相同的法向量.則 6.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的傾斜角是（用反三角函數(shù)表示結(jié)果） 7.圓的一條弦的中點(diǎn)為，這條弦所在的直線方程為 8.在等比數(shù)列中，，且，則的最小值為 9.設(shè)若在方向上的投影為2，且在方向上的投影為1，則與的夾角等于 10.若直線與圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ＝120（其中O為原點(diǎn)），則k的值為 11.已知函數(shù)若滿足，（、、互不相等），則的取值范圍是 12. 數(shù)列滿足性質(zhì)“對(duì)任意正整數(shù)，都成立”且，，則的最小值為 28 13. 已知函數(shù)滿足：(1)對(duì)任意，恒有成立；(2)當(dāng)時(shí)，.若，則滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)是 　36 　 二.選擇題（每小題4分，共16分）： 14. 若直線與直線的夾角為，則實(shí)數(shù)等于 (　 D　 ) A.； B.； C.； D.或 15.已知向量，，向量，則向量與的夾角為 (　 D　 ) A. ； B. ； C. ； D. . 16.已知直線的方程是, 的方程是(，則下 列各示意圖中，正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 D　 ) 17.函數(shù)則不等式的解集是 (　 C　 ) A. B. C. D. 三．解答題 18.（本小題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分． 已知向量且與向量夾角為，其中A，B，C是的內(nèi)角。 （1）求角B的大??； （2）求的取值范圍。 解：（1）向量所成角為， 又，即 （2）由（1）可得 19. （本小題滿分12分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分． 已知，且。點(diǎn) (1)求點(diǎn)的軌跡方程； (2)過點(diǎn)且以為方向向量的一條直線與軌跡方程相交于點(diǎn)兩點(diǎn)，，所在的直線的斜率分別是、，求的值； 解：（1） （2）設(shè)直線的方程： 聯(lián)立消去得：所以， 同法消去得：，所以 20．(本題滿分12分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分． 已知函數(shù)，數(shù)列滿足 ，． (1)若數(shù)列是常數(shù)列，求a的值； (2)當(dāng)時(shí)，記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求． 解 (1)∵，數(shù)列是常數(shù)列， ∴，即，解得，或． 　　∴所求實(shí)數(shù)的值是1或2． (2)∵， ∴，即． ∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列， 于是． 由即，解得． ∴． 21（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分． 如圖1，，是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線段和曲線段分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤。為觀光旅游的需要，擬過棧橋上某點(diǎn)分別修建與，平行的棧橋、，且以、為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀光平臺(tái)。建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得線段的方程是，曲線段的方程是，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，記。（題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度） （1）求的取值范圍； 圖2 圖1 （2）試寫出三角形觀光平臺(tái)面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值 解：（1）由題意，得在線段CD：上，即， 又因?yàn)檫^點(diǎn)M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK， 所以 所以的取值范圍是。 （2）由題意，得 所以 則， 因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減 所以當(dāng)時(shí)，三角形觀光平臺(tái)的面積取最小值為225平方米 22．(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分6分，第3小題滿分5分． 已知函數(shù)是奇函數(shù)，定義域?yàn)閰^(qū)間D(使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)x 的集合)． (1)求實(shí)數(shù)m的值，并寫出區(qū)間D； (2)若底數(shù)，試判斷函數(shù)在定義域D內(nèi)的單調(diào)性，并證明； (3)當(dāng)(，a是底數(shù))時(shí)，函數(shù)值組成的集合為，求實(shí)數(shù)的值． 解 (1) ∵是奇函數(shù)， ∴對(duì)任意，有，即． 化簡(jiǎn)此式，得．恒成立，必有 ，解得． ∴． (2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù)． 理由：令 設(shè)且，則： ∴在上單調(diào)遞減， 于是，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上是單調(diào)增函數(shù)． (3) ∵ ， ∴． ∴依據(jù)(2)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)上是增函數(shù)， 即，解得． 23. （本題滿分16分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分． 已知數(shù)列滿足前項(xiàng)和為,. （1）若數(shù)列滿足,試求數(shù)列前3項(xiàng)的和； （2）（理）若數(shù)列滿足,試判斷是否為等比數(shù)列,并說明理由； （文）若數(shù)列滿足，，求證：是為等比數(shù)列； （3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意,不等式都成立，求的取值范圍. 解：（1） （2）（理）當(dāng)時(shí),數(shù)列成等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí),數(shù)列不為等比數(shù)列 理由如下:因?yàn)? 所以, 故當(dāng)時(shí),數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為等比數(shù)列； 當(dāng)時(shí),數(shù)列不成等比數(shù)列 （文）因?yàn)? 所以 故當(dāng)時(shí),數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為等比數(shù)列； （3）,所以成等差數(shù)列 當(dāng)時(shí), 因?yàn)? = =() 又 所以單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，最大為 所以