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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題十四 概率（含解析） 重點(diǎn)1 隨機(jī)事件的概率 1．頻率與概率 （1）頻率：在相同條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)m為事件A的頻數(shù)，那么事件A出現(xiàn)的頻率，頻率的取值范圍為. （2）概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近，我們把這個(gè)常數(shù)記為P(A)，稱為事件A的概率． 頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象.當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率向概率靠近.只要試驗(yàn)次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當(dāng)做隨機(jī)事件的概率. 2．事件的關(guān)系及運(yùn)算 （1）對(duì)于事件A和事件B，如果事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)． （2）若事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件B也發(fā)生，稱事件A等于事件B． （3）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱該事件為事件A與事件B的并事件（或和事件），記作(或)． （4）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A且事件B都發(fā)生，則稱該事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作AB(或)． （5）若為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥． （6）若為不可能事件，而為必然事件，則稱A與B為對(duì)立事件． 3．概率的性質(zhì) （1），其中必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0． （2）若事件A與事件B互斥，則． （3）若事件A與事件B對(duì)立，則 [高考常考角度] 角度1 某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 1000 擊中靶心的次數(shù)m 8 19 44 90 178 455 906 擊中靶心的頻率 （1）計(jì)算表中擊中靶心的各個(gè)頻率； （2）這個(gè)運(yùn)動(dòng)員擊中靶心的概率約是多少？ 解析：本題考查頻率與概率． （1）依據(jù)頻率的計(jì)算公式，可以依次計(jì)算出表中擊中靶心的的頻率． （2）由（2）知，射擊的次數(shù)不同，計(jì)算得到的頻率值也不同，但隨著射擊次數(shù)的增多，頻率都在常數(shù)0.9的附近擺動(dòng)，所以擊中靶心的概率約為0.9 角度2 （1）以下命題： ①將一枚硬幣拋擲兩次，設(shè)事件A：“兩次都出現(xiàn)正面”，事件B：“兩次都出現(xiàn)反面”，則事件A與事件B是對(duì)立事件； ②在命題①中，事件A與事件B是互斥事件； ③在10件產(chǎn)品中有3件是次品，從中任取3件，事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，則事件A與事件B是互斥事件. 正確命題的個(gè)數(shù)為 A．0 B．1 C．2 D．3 （2）盒中有4只白球，5只黑球，從中任意取出一只球． ①“取出的球是黃球”是什么事件？它的概率是多少？ ②“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ ③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解析：本題考查隨機(jī)事件與隨機(jī)事件的概率. （1）將一枚硬幣拋擲兩次，除去A、B的結(jié)果，還可能出現(xiàn)“一次正面，一次反面”或“一次反面，一次正面”兩種情況，因此①不正確，②正確；對(duì)于③，A與B有可能出現(xiàn)共同結(jié)果“1件正品，2件次品”，即事件A與事件B不是互斥事件，故③不正確．故選B （2）①“取出的球是黃球”在題設(shè)條件下不可能發(fā)生，是不可能事件，概率為0 ②“取出的球是白球”是隨機(jī)事件，概率是 ③“取出的球是白球或黑球”在題設(shè)條件下必然要發(fā)生，是必然事件，概率為1 重點(diǎn)2 古典概型 1．古典概率模型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； （2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型． 并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型，例如，在適宜的條件下種下一粒種子并觀察它是否“發(fā)芽”，這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間為{發(fā)芽，不發(fā)芽}，而“發(fā)芽”與“不發(fā)芽”這兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)一般是不均等的． 2．古典概型的概率公式： 3．學(xué)會(huì)用最原始的方法計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)，許多古典概型的試題其基本事件個(gè)數(shù)的計(jì)算沒(méi)有直接的公式可以套用，這時(shí)就要回歸到最原始的方法解基本事件的個(gè)數(shù)，一般就是列舉法，通過(guò)列舉把所有的基本事件找出來(lái)，在列舉時(shí)注意借助于圖表、坐標(biāo)系等進(jìn)行． 4．對(duì)于求較復(fù)雜事件的古典概型的概率問(wèn)題，可以利用分類討論的方法求出總體包含的基本事件的個(gè)數(shù)及事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)，然后將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和，或者先求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕剩? [高考?？冀嵌萞 角度1 有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為（ ） A. B. C. D. 解析：（理科解法）由題知，故選A. （文理解法）記三個(gè)興趣小組分別為1，2，3，甲參加1組記為“甲1” 則基本事件為“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9種 記事件A為“甲、乙兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組”，其中事件A包含的基本事件有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3個(gè)．因此，故選A 角度2甲乙兩人一起去游“xx西安世園會(huì)”，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后1小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是（ ） A. B. C. D. 點(diǎn)評(píng)：本題抓住主要條件，去掉次要條件（例如參觀時(shí)間）可以簡(jiǎn)化解題思路，然后把問(wèn)題簡(jiǎn)化為兩人所選的游覽景點(diǎn)路線的排列問(wèn)題．理科使用排列組合反而復(fù)雜 解析：（理科解法）甲、乙兩人各自獨(dú)立任選4個(gè)景點(diǎn)的情形共有種；最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的情形有種，所以． （文理科解法）若用{1,2,3,4,5,6}代表6處景點(diǎn)，顯然甲、乙兩人選擇結(jié)果為{1,1}、{1,2}、{1,3}、…、{6,6}，共36種；其中滿足題意的“同一景點(diǎn)相遇”包括{1,1}、{2,2}、{3,3}、…、{6,6}，共6個(gè)基本事件， 故所求的概率為，故選D 對(duì)一些情境較為簡(jiǎn)單、基本事件個(gè)數(shù)不是太多的古典概型問(wèn)題，用枚舉法即可求事件發(fā)生的概率，但應(yīng)特別注意：枚舉時(shí)要嚴(yán)防遺漏，絕不重復(fù)． 角度3 電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00：00到23：59，每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字組成，則一天中任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為（ ） A． B． C． D． 解析：本題考查古典概型概率的求解，數(shù)字之和為23的只有09：59，18：59，19：49，19：58四種可能，一天顯示的時(shí)間總共2460 =1 440種，故所求概率為，故選C 點(diǎn)評(píng)：本題中，如何得出隨機(jī)事件“任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為23”所包含的基本事件的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．在小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和最大為10，即19點(diǎn)，最小為0；在分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和最大為14，即每個(gè)小時(shí)段的第59分鐘．要想使四個(gè)數(shù)字之和等于23，只有以下兩種情形：當(dāng)分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和等于14時(shí)，小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和只能等于9，也即只有9點(diǎn)和1 8點(diǎn)；當(dāng)分鐘上的兩個(gè)數(shù)字之和等于13時(shí)，即每個(gè)小時(shí)段的第49分鐘和第58分鐘，小時(shí)上的兩個(gè)數(shù)字之和只能等于10，即19點(diǎn). 角度4 （理科）已知一組拋物線其中為2，4，6，8中任取的一個(gè)數(shù)，為1，3，5，7中任取的一個(gè)數(shù)，從這些拋物線中任意抽取兩條，它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是（ ） A． B． C． D. 解析：本題結(jié)合拋物線、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考查古典概型概率的求解．這一組拋物線共條，從中任意抽取兩條，共有種不同的方法．它們?cè)谂c直線交點(diǎn)處的切線的斜率 若，只有一種情形，（2+1），不合題意； 若，有兩種情形，（2+3，4+1），從中取出兩條，有種取法； 若，有三種情形，（2+5，4+3，6+1）從中取出兩條，有種取法； 若，有四種情形，（2+7，4+5，6+3，8+1）從中取出兩條，有種取法； 若，有三種情形，（4+7，6+5，8+3）從中取出兩條，有種取法； 若，有兩種情形，（8+5，6+7）從中取出兩條，有種取法； 若，只有一種情形，（8+7），不合題意 由分類加法計(jì)數(shù)原理知任取兩條拋物線且滿足題目要求的情形共有 故所求概率為，故選B 本題中所有的拋物線共16條，這些拋物線在處的斜率可以是3，5，7，9，11，13，15，按照這個(gè)斜率對(duì)16條拋物線進(jìn)行分類，每一類中取出的兩條拋物線在與直線交點(diǎn)處的切線斜率是相等的，隨機(jī)事件的總數(shù)就是所有這些取法之和，而基本事件的總數(shù)就是在條拋物線中選取兩條． 角度5甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． （Ⅰ）若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率； （Ⅱ）若從報(bào)名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率． 解析：（Ⅰ）甲校兩男教師分別用A、B表示，女教師用C表示；乙校男教師用D表示，兩女教師分別用E、F表示．從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名的所有可能的結(jié)果為： (A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共9種， 從中選出的兩名教師性別相同的結(jié)果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))共4種， 選出的兩名教師性別相同的概率為 （Ⅱ）從甲校和乙校報(bào)名的教師中任選2名的所有可能的結(jié)果為： (A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F(xiàn))(B，C)(B，D)(B，E)(B，F(xiàn))(C，D)(C，E)(C，F(xiàn))(D，E)(D，F(xiàn))(E，F(xiàn))共15種， 從中選出兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的結(jié)果有： (A，B)(A，C)(B，C)(D，E)(D，F(xiàn))(E，F(xiàn))共6種， 選出的兩名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為. 重點(diǎn)3 幾何概型 1．幾何概型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． 2．幾何概型的概率公式： 3．均勻隨機(jī)數(shù)：在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會(huì)是一樣的，通過(guò)模擬一些試驗(yàn)，可以代替我們做大量的重復(fù)試驗(yàn)，從而求得幾何概型的概率，一般地，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的rand()函數(shù)可以產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．a(chǎn)~b之間的均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生0~1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x= rand()，然后利用伸縮和平移變換x= rand()*（b-a）+a，就可以產(chǎn)生a~b之間的均勻隨機(jī)數(shù)． 4．幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是等可能性，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的．因此，用幾何概型和用古典概型求解概率問(wèn)題的思路是相同的，同屬于“比例解法”．即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長(zhǎng)度）”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積（總體積、總長(zhǎng)度）”之比來(lái)表示． 5．幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型，兩者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的，不同點(diǎn)是基本事件數(shù)前者是無(wú)限的（基本事件可以抽象為點(diǎn)），后者是有限的．對(duì)于幾何概型而言，這些點(diǎn)盡管是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，其中某個(gè)點(diǎn)落在某區(qū)域上的概率與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)． 6．幾種常見(jiàn)的幾何概型概率的求法： （1）設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在線段l上的概率為 （2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在區(qū)域g上的概率為 （3）設(shè)空間區(qū)域v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域v上任投一點(diǎn)，此點(diǎn)落在區(qū)域V上的概率為 7．化解幾何概型問(wèn)題要從以下三方面做起： （1）明確幾何概型的意義．幾何概型是基本事件個(gè)數(shù)有無(wú)限個(gè)，每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等的一個(gè)概率模型，這個(gè)概率模型的顯著特點(diǎn)是每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例． （2）記住幾何概型的計(jì)算公式．幾何概型的計(jì)算就是找隨機(jī)事件所占有的幾何度量值和整個(gè)基本事件所占有的幾何度量值的比值．即如果整個(gè)基本事件占有的幾何度量值為M，隨機(jī)事件A所占有的幾何度量值為N，則事件A發(fā)生的概率 （3）掌握轉(zhuǎn)化策略．很多幾何概型往往要通過(guò)一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計(jì)算上來(lái)，在解決問(wèn)題時(shí)要善于根據(jù)問(wèn)題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如把從兩個(gè)區(qū)間內(nèi)取出的實(shí)數(shù)看作坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的區(qū)域問(wèn)題等，這種轉(zhuǎn)化策略是化解幾何概型試題難點(diǎn)的關(guān)鍵. [高考常考角度] 角度1 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則該菱形內(nèi)的點(diǎn)到菱形的頂點(diǎn)A，B的距離均不小于1的概率是（ ） A． B. C. D. 解析：本題考查幾何概型的意義以及幾何概型概率的求解． 如圖所示，只有當(dāng)點(diǎn)位于菱形內(nèi)的空白區(qū)域時(shí)，其到A，B的距離才均不小于1，菱形的面積為 兩個(gè)陰影部分的扇形面積之和恰好是一個(gè)半徑為1的半圓，其面積為，故空白區(qū)域的面積為， 所求的概率是，故選B 點(diǎn)評(píng)：經(jīng)分析可知本題中以點(diǎn)B為圓心的扇形，其圓弧恰好與菱形的邊AB，CD相切.幾何概型所依據(jù)的知識(shí)背景極為廣闊，面對(duì)不同的試題要認(rèn)真進(jìn)行分析. 角度2 已知關(guān)于的一元二次函數(shù)，其中實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率是_______ 解析：本題結(jié)合不等式組所表示的平面區(qū)域考查幾何概型概率的求解，函數(shù)在上單調(diào)遞增的充要條件是，即.作出平面區(qū)域如圖所示. 問(wèn)題等價(jià)于向區(qū)域OAB中任意擲點(diǎn)，點(diǎn)落在區(qū)域OAC（點(diǎn)C的坐標(biāo)是） 中的概率，這個(gè)概率值是 [答案] 角度3 蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”概率為（ ） A． B． C． D. 解析：本題考查幾何概型概率的求解．蜜蜂“安全飛行”需要距正方體各表面距離均大于1，故其活動(dòng)范圍在大正方體內(nèi)的一個(gè)棱長(zhǎng)為l的小正方體中，所以蜜蜂“安全飛行”的概率為，故選D 幾何概型有“線型”的，其概率是隨機(jī)事件所在線段和所有基本事件所在線段的長(zhǎng)度之比；“面積型”的，其概率是隨機(jī)事件所在面和所有基本事件所在面的面積之比；“體積型”的，其概率是隨機(jī)事件所在的空間幾何體和所有基本事件所在的空間幾何體的體積之比. 角度4如圖，在長(zhǎng)方體中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)與不重合），且，過(guò)的平面與棱相交，交點(diǎn)分別為. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）設(shè)在長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體 內(nèi)的概率為.當(dāng)點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng)且滿足時(shí)，求的最小值. 點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線、平面的位置關(guān)系，以及空間幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理推證能力、運(yùn)算求解能力. 解析：（Ⅰ）方法一：在長(zhǎng)方體中， 又， 平面， 平面 平面； （Ⅱ）設(shè)，則長(zhǎng)方體的體積為， 幾何體的體積 ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 的最小值為 方法二：（Ⅰ）同方法一 （Ⅱ）設(shè)，則長(zhǎng)方體的體積為， 幾何體的體積 設(shè)，則 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 從而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 的最小值為 重點(diǎn)4 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題（理科） 1. n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的概率為p，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為這是概率計(jì)算中應(yīng)用非常廣泛的一種概率模型． 2．明確n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的適用環(huán)境：根據(jù)定義，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是在相同條件下的重復(fù)試驗(yàn)，也就是說(shuō)每次試驗(yàn)時(shí)事件A要么發(fā)生要么不發(fā)生，但事件A發(fā)生的概率是相同的．在實(shí)際問(wèn)題中，我們往往把一些發(fā)生的概率相等，互相之間沒(méi)有必然聯(lián)系的事件看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，如5位同學(xué)參加競(jìng)賽，每位同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率都是0.4，則獲獎(jiǎng)的人數(shù)就可以看作5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，可以根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型進(jìn)行解決.明確n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的適用環(huán)境，善于將實(shí)際問(wèn)題歸結(jié)到這個(gè)概率模型是化解這類概率應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵. 3．注意部分中的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型：在實(shí)際問(wèn)題中，往往一個(gè)隨機(jī)事件其中的一部分或若干部分符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的條件，這時(shí)可以在這些部分中使用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型的計(jì)算公式，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的． [高考?？冀嵌萞 角度1 在全國(guó)大學(xué)生智能汽車總決賽中，某高校學(xué)生開(kāi)發(fā)的智能汽車在一個(gè)標(biāo)注了平面直角坐標(biāo)系的平面上從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，每次只能移動(dòng)一個(gè)單位，沿x軸正方向移動(dòng)的概率是，沿y軸正方向移動(dòng)的概率為，則該智能汽車移動(dòng)6次恰好移動(dòng)到點(diǎn)(3，3)的概率為_(kāi)___． 解析：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率．若該智能汽車移動(dòng)6次恰好到點(diǎn)(3，3)，則智能汽車在移動(dòng)過(guò)程中沿x軸正方向移動(dòng)3次、沿y軸正方向移動(dòng)3次，因此智能汽車移動(dòng)6次后恰好位于點(diǎn)(3，3)的概率為 角度2 一袋中裝有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個(gè)，記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次停止，用表示取球的次數(shù)，則=______________ 解析：本題考查相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概型.由已知，一次取球取到紅球的概率為，取到白球的概率為，，說(shuō)明第12次取到的是紅球，前11次取到9個(gè)紅球和2個(gè)白球 角度3 有一種旋轉(zhuǎn)舞臺(tái)燈，外形是正六棱柱，在其每一個(gè)側(cè)面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5．若一個(gè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要維修這個(gè)面． （1）求恰好有兩個(gè)面需要維修的概率； （2）求至少3個(gè)面需要維修的概率． 解析：（1）因?yàn)橐粋€(gè)面不需要維修的概率為 所以一個(gè)面需要維修的概率為 因此，6個(gè)面中恰好有兩個(gè)面需要維修的概率為 （2）設(shè)需要維修的面為X個(gè)，則， 又 故至少3個(gè)面需要維修的概率是 即至少3個(gè)面需要維修的概率是 點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是計(jì)算一個(gè)面不需要維修的概率．每個(gè)面上的5只彩燈正常發(fā)光的概率都相等，故可以看作是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，一個(gè)面不需要維修的概率也即是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件至少發(fā)生3次的概率，按照獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算即可． 重點(diǎn)5 離散型隨機(jī)變量的分布列、期望、方差（理科） 1.期望： 2.方差： 3.標(biāo)準(zhǔn)差： 4. 5.求離散型隨機(jī)變量的分布列 （1）求離散型隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)按下述三個(gè)步驟進(jìn)行： ①明確隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義； ②利用概率的有關(guān)知識(shí)，求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率； ③按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗(yàn)證． （2）如果分布列中某一欄的概率比較復(fù)雜；可以利用分布列的性質(zhì)求解． （3）求隨機(jī)變量的分布列，基礎(chǔ)是概率的計(jì)算，如古典概型的概率、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等． 6．期望、方差的求法 （1）對(duì)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： ①數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義上的平均． ②是一個(gè)實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定，即作為隨機(jī)變量是可變的，可取不同值，而是不變的，它描述取值的平均狀態(tài). ③直接給出了的求法，即隨機(jī)變量的取值與相應(yīng)概率值分別相乘后相加． ④教材中給出的，說(shuō)明隨機(jī)變量的線性函數(shù)的期望等于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的線性函數(shù). （2）對(duì)離散型隨機(jī)變量的方差應(yīng)注意如下幾點(diǎn)： ①表示隨機(jī)變量對(duì)的平均偏離程度．越大，表明平均偏離程度越大，說(shuō)明的取值越分散．反之，越小，的取值越集中；在附近．統(tǒng)計(jì)中常用來(lái)描述的分散程度． ②與一樣，也是實(shí)數(shù)，由的分布列唯一確定． ③對(duì)于結(jié)論：，在記憶和使用此結(jié)論時(shí)，請(qǐng)注意. （3）求離散型隨機(jī)變量的期望與方差韻方法： ①理解的意義，寫出可能取的全部值； ②求取每個(gè)值的概率； ③寫出的分布列； ④由期望的定義求； ⑤由方差的定義求. （4）當(dāng)斷定隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布時(shí)，可不用列出分布列，直接求出與. （5）在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望和方差時(shí)，首先要搞清其分布特征及分布列，然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式．充分利用期望和方差的性質(zhì)解題，能避免繁瑣的運(yùn)算過(guò)程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．如． （6）求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)鍵在于求出分布列，求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是過(guò)好四關(guān)： ①過(guò)好“題目的理解關(guān)”．要抓住題中關(guān)鍵字句，盡可能轉(zhuǎn)化為自己熟悉的模型． ②過(guò)好“隨機(jī)變量的取值關(guān)”．準(zhǔn)確無(wú)誤地找出隨機(jī)變量的所有可能取值． ③過(guò)好“事件的類型關(guān)”，事件通常包括等可能事件、互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件等，在計(jì)算相應(yīng)的概率前要先確定事件的類型，尤其注意“互斥事件”與“相互獨(dú)立事件”的區(qū)別． ④過(guò)好“概率的運(yùn)算關(guān)”．運(yùn)用公式 ，確保正確無(wú)誤. [高考常考角度] 角度1 （xx.江西）（本小題滿分12分） 某飲料公司招聘一名員工，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測(cè)試，以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì)，則月工資定為3500元；若4杯選對(duì)3杯，則月工資定為2800元；否則月工資定為2100元.令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù).假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒(méi)有鑒別能力. （1） 求X的分布列； （2） 求此員工月工資的期望. 解析：本題綜合考查了排列組合、互斥事件的概率、古典概型、隨機(jī)變量的分布列及期望等知識(shí)，以及數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算求解的能力. （1）的所有可能取值為, 則 即，，， ，. 則的分布列為 0 1 2 3 4 （2）令表示此員工的月工資，則的所有可能的取值為2 100，2 800，3 500，則 ，， 或者 所以 此員工月工資的期望為 角度2 （xx遼寧）（本小題滿分12分） 某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃種植某種新作物，為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗(yàn)．選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙． （Ⅰ）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 品種甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品種乙 419 403 412 418 408 423 400 413 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)的的樣本方差，其中為樣本平均數(shù)． 解析：（Ⅰ）可能的取值為，且 則的分布列為 0 1 2 3 4 X的數(shù)學(xué)期望為 （Ⅱ）品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為： 由以上結(jié)果可以看出，品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù)，且兩品種的樣本方差差異不大，故應(yīng)該選擇種植品種乙. 重點(diǎn)6 二項(xiàng)分布（理科） 二項(xiàng)分布：若， 判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵是看某一事件是否進(jìn)行了次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)是否只有兩種結(jié)果，如果不滿足這兩個(gè)條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布. [高考?？冀嵌萞 角度1（本小題滿分12分） 學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng).（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戲中， （i）摸出3個(gè)白球的概率； （ii）獲獎(jiǎng)的概率； （Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望 解析：本小題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、二項(xiàng)分布、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題的能力. (Ⅰ)（i）設(shè)“在1次游戲中摸出個(gè)白球”為事件，則 ． (ii)設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件，則， ， 因?yàn)楹突コ?，所以? (Ⅱ) 的所有可能值為 ，, 所以的分布列是 0 1 2 ． 突破2個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 事件的互斥與對(duì)立（文、理） 解決互斥事件和對(duì)立事件問(wèn)題的難點(diǎn)就是對(duì)事件的互斥性與對(duì)立性的辨別，在解題中要根據(jù)問(wèn)題的具體情況作出準(zhǔn)確的判斷．互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，其概率滿足加法公式，即若互斥，則；對(duì)立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件，也就是說(shuō)對(duì)立的兩個(gè)事件首先必須是互斥的，而且這兩個(gè)事件之和是一個(gè)必然事件，即一個(gè)事件與它的對(duì)立事件的概率之間有關(guān)系式，用好這個(gè)關(guān)系對(duì)解決概率問(wèn)題是非常有用的，它往往能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化． 典例1 甲：是互斥事件；乙：是對(duì)立事件，那么下列說(shuō)法正確的是_____________ ①甲是乙的充分但不必要條件； ②甲是乙的必要但不充分條件； ③甲是乙的充要條件； ④甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件． 解析：兩個(gè)事件是對(duì)立事件，則它們一定互斥，反之不成立． 故選 ② 點(diǎn)評(píng)：互斥的兩個(gè)事件不一定是對(duì)立事件，因?yàn)檫@兩個(gè)事件可能都不發(fā)生，但對(duì)立的兩個(gè)事件一定互斥，即互斥是對(duì)立的必要條件，不互斥的兩個(gè)事件一定不是對(duì)立事件．該題的難點(diǎn)就是對(duì)立事件與互斥事件之間關(guān)系的掌握. 典例2 根據(jù)多年經(jīng)驗(yàn)，張先生在本單位的一次考核中，獲得第一、二、三、四名的概率分別為0. 21，0.23，0. 25，0.28，計(jì)算張先生在一次考核中： （1）獲得第一名或第四名的概率； （2）名次不在前四名的概率． 解析：（1）記“獲得第一名”為事件，“獲得第四名”為事件，由于在一次考核中，與不可能同時(shí)發(fā)生，故與是互斥事件．則獲得第一名或第四名的概率為 （2）記“名次不在前四名”為事件E，則事件E為“獲得第一名、第二名、第三名、第四名”的對(duì)立事件，獲得第一名、第二名、第三名、第四名這幾個(gè)事件是彼此互斥的，故 點(diǎn)評(píng)：注意分析事件是否互斥，只有互斥事件才能利用概率的加法公式．當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無(wú)法求時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率，這是化解概率計(jì)算難點(diǎn)的基本指導(dǎo)思想之一. 難點(diǎn)1 事件的互斥與對(duì)立（文、理） 概率、統(tǒng)計(jì)型綜合題重在考查考生根據(jù)生活、生產(chǎn)等實(shí)際問(wèn)題的情境分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，考查考生的思維能力及運(yùn)算能力．解決概率、統(tǒng)計(jì)型綜合題的關(guān)鍵，就是要善于從普通語(yǔ)言中捕捉到有用信息，并將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，因此在復(fù)習(xí)時(shí)要留意概率型綜合題中的新背景，夯實(shí)概率基礎(chǔ)知識(shí)與方法，注重對(duì)自己閱讀理解能力的培養(yǎng)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析解決問(wèn)題的能力． 典例 連續(xù)擲兩枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，求的概率. 解析：解法一：由向量夾角的定義及圖形可直觀地得出，當(dāng)點(diǎn)位于直線及其下方時(shí)，滿足 點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為36 又位于直線及其下方的點(diǎn)有（個(gè)） 故所求的概率為 解法二 由向量夾角公式，得，從而 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；…；當(dāng)時(shí)，． 故所求概率為 解法三 由向量夾角公式，得，從而 顯然當(dāng)時(shí)，有6種可能，根據(jù)對(duì)稱性，與的可能性相同，即各有15種可能 故所求概率為 難點(diǎn)1 獨(dú)立事件的概率、條件概率（理） 化解本難點(diǎn)要從以下三方面做起： 1．深入理解獨(dú)立事件的本質(zhì)：兩個(gè)事件的發(fā)生與否相互之間沒(méi)有關(guān)系，事件的相互獨(dú)立性的概念可以推廣到n個(gè)事件之間的相互獨(dú)立． 2．掌握條件概率的計(jì)算方法：條件概率具有概率的一般性質(zhì)，即概率值都在區(qū)間內(nèi)， 若互斥，則等，在古典概型中往往是根據(jù)古典概型的公式計(jì)算條件概率，而不是根據(jù)上述定義進(jìn)行計(jì)算． 3．學(xué)會(huì)分析事件之間的關(guān)系：一個(gè)實(shí)際問(wèn)題中往往涉及多個(gè)事件，正確理解這些事件之間的相互關(guān)系是解決問(wèn)題的核心，一般的思路是先把所要解決的隨機(jī)事件分成若干個(gè)互斥事件的和，再把這些互斥事件中的每一個(gè)事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立事件的乘積，把所要求的隨機(jī)事件的概率計(jì)算轉(zhuǎn)化為已知的一些事件的概率之積、之和的計(jì)算，這是化解概率計(jì)算問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在， 典例1 某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案． 方案一：考試三門課程，至少有兩門合格為考試通過(guò)； 方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都合格為考試通過(guò)． 假設(shè)某應(yīng)聘者這三門指定課程考試合格的概率分別是,且三門課程考試是否合格相互之間沒(méi)有影響． （1）分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過(guò)的概率； （2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大?。ㄕf(shuō)明理由） 解析：設(shè)三門考試課程考試合格的事件分別為,相應(yīng)的概率為． （1）考試三門課程，至少有兩門合格的事件可表示為，設(shè)其概率為， 則 設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都合格的概率為，則 算法解析：從三門課程任選2門，有AB,AC,BC3種情況，選中AB的概率為，然后A與B都合格的概率為ab （2） ，即用方案一通過(guò)考試的概率大于用方案二通過(guò)考試的概率. 典例2 設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)） （1）求方程有實(shí)根的概率； （2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望； （3）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率. 解析：（1）基本事件的總數(shù)為個(gè) 若使方程有實(shí)根，則 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)為，因此方程有實(shí)根的概率為 （2）由題意知，則 故 的分布列為 0 1 2 （3）記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件，“方程有實(shí)根”為事件 則 具體算法：事件的情況有共11個(gè)， 其中有實(shí)根的情況是后面7個(gè) 條件概率：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，其中表示A與B同時(shí)發(fā)生的概率. 典例3 某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響．已知某學(xué)生只選修甲的概率為0.08，只選修甲和乙的概率是0.12，至少選修一門的概率是0.88，用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒(méi)有選修的課程門數(shù)的乘積．記“函數(shù)為上的偶函數(shù)”為事件，求事件的概率． 解析：設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為，依題意得 若函數(shù)為上的偶函數(shù)，則 當(dāng)時(shí)，該學(xué)生選修三門課程或三門課程都沒(méi)選 點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是根據(jù)已知條件求出學(xué)生選修甲、乙、丙的概率，破解此難點(diǎn)的關(guān)鍵是利用相互獨(dú)立事件、互斥事件與對(duì)立事件的概率把已知條件轉(zhuǎn)化為這三個(gè)概率的方程組進(jìn)行求解，其中“至少選修一門的概率”，如果從正面求解則要利用互斥事件的概率來(lái)表示，比較復(fù)雜，而轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率則較為簡(jiǎn)單．把復(fù)雜問(wèn)題利用互斥事件或?qū)α⑹录D(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單事件的概率是求解概率問(wèn)題中常用的一種數(shù)學(xué)思想，即正難則反易． 難點(diǎn)2 正態(tài)分布（理） 化解正態(tài)分布問(wèn)題中的難點(diǎn)的依據(jù)是正態(tài)密度曲線的性質(zhì)： （1）曲線在軸上方，與軸無(wú)交點(diǎn)，且軸為其漸近線； （2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱； （3）曲線在處達(dá)到最大值； （4）當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿軸平移； （5）當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定，越小，曲線越尖陡，表示總體的分布越集中；越大，曲線越扁平，表示總體的分布越分散． 典例1 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ） A. B. C. D. 解析：正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象是一條關(guān)于直線對(duì)稱， 在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線， 越犬，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭．故選A 點(diǎn)評(píng)：本題考查的就是正態(tài)分布的均值和方差的意義，理解均值和方差的意義，特別是方差的意義才能作出正確的判斷，方差越小，整體分布就越向均值集中，表現(xiàn)在正態(tài)密度曲線上就是曲線越“尖陡”． 典例2 xx年中國(guó)汽車銷售量達(dá)到1700萬(wàn)輛，汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況；共抽查了1200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量服從正態(tài)分布，已知耗油量的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有________輛． 解析：由題意可知,故正態(tài)密度曲線以為對(duì)稱軸，叉因?yàn)? 故，又 所以耗油量大于9升的汽車大約有 輛 點(diǎn)評(píng)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上正態(tài)密度曲線和軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)必然有，這是解決正態(tài)分布類試題的一個(gè)重要結(jié)論. 規(guī)避5個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 誤解基本事件的等可能性 典例 若將一枚質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為_(kāi)_________. 易失分提示：解本題時(shí)易出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤在于對(duì)等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻，錯(cuò)誤地認(rèn)為基本事件總數(shù)為11（點(diǎn)數(shù)和等于2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12），或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1，3)，(2，2)兩種，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤． 解析：將骰子先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo),則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共3個(gè)， 故將骰子先后拋擲2次，出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為 易失分點(diǎn)2 幾何概型概念不清 典例1 在等腰中，直角頂點(diǎn)為，在的內(nèi)部任作一條射線，與線段交于點(diǎn)， 的概率為_(kāi)________． 易失分提示：解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對(duì)幾何概型的概念把握不準(zhǔn)，理解模糊，將角度型的幾何概型錯(cuò)誤地當(dāng)成長(zhǎng)度型幾何概型求解，得到以下錯(cuò)解： 根據(jù)題設(shè)，點(diǎn)隨機(jī)地落在線段上，故線段為基本事件的區(qū)域，當(dāng)位于線段上時(shí)，，故線段為所求 解析：由于在內(nèi)作射線，等可能分布的是在內(nèi)的任一位置（如圖所示），因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是，在上取一點(diǎn)，使，則 易失分點(diǎn)3 互斥和對(duì)立相混淆 典例 判斷下列給出的每對(duì)事件，是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明道理. 從40張撲克牌（紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，點(diǎn)數(shù)都是從1—10）中，任取一張． （1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”； （2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”； （3）“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”． 易失分提示：對(duì)事件互斥意義不明確，對(duì)事件的互斥與對(duì)立之間的關(guān)系不清楚，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷．如對(duì)事件“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”的判斷：這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，忽視了“所有的牌只有紅色和黑色兩種，抽出的牌不是紅色就是黑色，這兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生”，就會(huì)作出這兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立的錯(cuò)誤判斷． 解析：（1）是互斥事件，不是對(duì)立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此二者不是對(duì)立事件． （2）既是互斥事件，又是對(duì)立事件． 原因是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件． （3）不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件． 原因是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9"這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽的點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然也不可能是對(duì)立事件． 易失分點(diǎn)4 互斥事件與相互獨(dú)立事件相混淆（理） 典例 某課程考核分理論與實(shí)驗(yàn)兩部分進(jìn)行，每部分考核成績(jī)只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都是“合格”，則該課程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9，0.8，0.7；在實(shí)驗(yàn)考核中合格的概率分別為0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之間沒(méi)有影響． （1）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率； （2）求這三人該課程考核都合格的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)） 易失分提示：解本題時(shí)可以把隨機(jī)事件分拆成若干個(gè)互斥事件的和，再把每個(gè)事件分成若干個(gè)相互獨(dú)立事件的積進(jìn)行解答．容易出錯(cuò)的地方就是在分拆時(shí)可能混淆了互斥事件與相互獨(dú)立事件，從而造成分拆錯(cuò)誤． 解析： 記“甲理論考核合格”為事件，“乙理論考核合格”為事件，“丙理論考核合格”為事件， 記為的對(duì)立事件，，記“甲實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“乙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件，“丙實(shí)驗(yàn)考核合格”為事件． （1）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件， 則 所以理論考核中至少有兩人合格為 （2）記“三人該課程考核都合格”為事件 則 所以這三人該課程考核都合格的概率為 易失分點(diǎn)5 對(duì)二項(xiàng)分布理解不準(zhǔn)（理） 典例 某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位） （1）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率； （2）5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率5 （3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率. 易失分提示： 由于5次預(yù)報(bào)之間沒(méi)有什么影響，故這是一個(gè)5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型，我們可以利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的知識(shí)加以解決.其中第（1）問(wèn)是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件恰好發(fā)生2次的概率，第（2）利用對(duì)立事件的概率解決，第（3）問(wèn)相當(dāng)于事件在第3次發(fā)生，第1，2，4，5這4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生1次的概率．解本題容易出錯(cuò)的地方，一是對(duì)“恰有2次”、“至少有2次”理解錯(cuò)誤，誤用二項(xiàng)分布；二是對(duì)隨機(jī)事件“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的意義理解錯(cuò)誤，不能把問(wèn)題歸結(jié)為“在第1,2,4,5次預(yù)報(bào)中有1次準(zhǔn)確，在第3次也預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”，出現(xiàn)仍然用5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型解決問(wèn)題的錯(cuò)誤． 解析：設(shè)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”為事件A，“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”為事件B，“5次預(yù)報(bào)恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”為事件C （1） （2） （3）