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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 專題9 思想方法專題 第一講 函數(shù)與方程思想 理
一般地,函數(shù)思想就是構造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質解題,經(jīng)常利用的性質是:單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等.在解題中,善于挖掘題目的隱含條件,構造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質,是應用函數(shù)思想的關鍵,它廣泛地應用于方程、不等式、數(shù)列等問題.
1.方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關的量)設成未知數(shù),用它表示問題中的其他各量,根據(jù)題中的已知條件列出方程(組),通過解方程(組)或對方程(組)進行研究,使問題得到解決.
2.方程思想與函數(shù)思想密切相關:方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標;函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過方程進行研究,方程f(x)=a有解,當且僅當a屬于函數(shù)f(x)的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉化關系十分重要.
可用函數(shù)與方程思想解決的相關問題.
1.函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面:
(1)借助有關初等函數(shù)的性質,解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題;
(2)在研究問題中通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù),把研究的問題化為討論函數(shù)的有關性質,達到化難為易、化繁為簡的目的.
2.方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在四個方面:
(1)解方程或解不等式;
(2)帶參變數(shù)的方程或不等式的討論,常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識的應用;
(3)需要轉化為方程的討論,如曲線的位置關系等;
(4)構造方程或不等式求解問題.
判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”).
(1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.()
(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)<0.()
(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0時沒有零點.(√)
(4)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.()
(5)函數(shù)y=2sin x-1的零點有無數(shù)多個.(√)
(6)函數(shù)f(x)=kx+1在[1,2]上有零點,則-1
0得
a(x-2)+x2-4x+4>0.
令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4,由不等式f(x)>0恒成立,即g(a)>0在[-1,1]上恒成立.
∴有即
解得x<1或x>3.
4.橢圓+y2=1的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,其一交點為P,則|PF2|=(C)
A. B. C. D.4
解析:如圖,令|F1P|=r1,|F2P|=r2,
那么?
?r2=.
5.(xx全國大綱卷)奇函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+2)為偶函數(shù),且f(1)=1,則f(8)+f(9)=(D)
A.-2 B.-1 C.0 D.1
解析:因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x), 又因為f(x+2)是偶函數(shù),則f(-x+2)=f(x+2),所以f(8)=f(6+2)=f(-6+2)=f(-4)=-f(4),而f(4)=f(2+2)=f(-2+2)=f(0)=0,f(8)=0,同理f(9)=f(7+2)=f(-7+2)=f(-5)=-f(5);而f(5)=(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-1,f(9)=1,所以f(8)+f(9)=1.故選D.
6.(xx湖南卷)已知函數(shù)f(x)=x2+ex-(x<0)與g(x)=x2+ln(x+a)圖象上存在關于y軸對稱的點,則a的取值范圍是(B)
A. B.
C. D.
解析:由題可得存在x0∈(-∞,0)滿足f(x0)=g(-x0)?x+ex0-=(-x0)2+ln(-x0+a)?ex0-ln(-x0+a)-=0,令h(x)=ex-ln(-x+a)-,因為函數(shù)y=ex和y=-ln(-x+a)在定義域內都是單調遞增的,所以函數(shù)h(x)=ex-ln(-x+a)-在定義域內是單調遞增的,又因為x趨近于-∞時,函數(shù)h(x)<0且h(x)=0在(-∞,0)上有解(即函數(shù)h(x)有零點),所以h(0)=e0-ln(0+a)->0?ln a<ln?a<.故選B.
二、填空題
7.(xx江蘇卷)已知函數(shù)f(x)=|ln x|,g(x)=則方程|f(x)+g(x)|=1實根的個數(shù)為4.
解析:①當01.
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1且使f(x)=2x成立的實數(shù)x只有一個,求函數(shù)f(x)的表達式.
解析:∵f(x)=,f(1)=1,
∴=1.∴a=2b+1.
又f(x)=2x,即=2x只有一個解,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解.
∴Δ=[-2(1+b)]2-42a0=0,即(1+b)2=0.
得b=-1.∴a=-1.故f(x)=.
10.某地區(qū)要在如圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃建成一個矩形商業(yè)樓區(qū),余下的作為休閑區(qū),已知AB⊥BC,OA∥BC,且AB=BC=2OA=4 km,曲線OC段是以O為頂點且開口向上的拋物線的一段,如果矩形的兩邊分別落在AB,BC上,且一個頂點在曲線OC段上,應當如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大?并求出最大的用地面積.
解析:以點O為原點,OA所在的直線為x軸,建立直角坐標系,設拋物線的方程為x2=2py,
由C(2,4)代入得:p=,
所以曲線段OC的方程為:y=x2(x∈[0,2]).
A(-2,0),B(-2,4),設P(x,x2)(x∈[0,2])在OC上,過P作PQ⊥AB于Q,PN⊥BC于N,
故PQ=2+x,PN=4-x2,
則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積
S=(2+x)(4-x2)(x∈[0,2]).
S=-x3-2x2+4x+8,令S′=-3x2-4x+4=0得x=或x=-2(舍去),
當x∈時,S′>0,S是x的增函數(shù),
當x∈時,S′<0,S是x的減函數(shù),
所以當x=時,S取得最大值,
此時PQ=2+x=,PN=4-x2=,
Smax==(km2).
故該矩形商業(yè)樓區(qū)規(guī)劃成長為 km,寬為 km時,用地面積最大為 km2.
11.近年來,豬肉價格上漲,養(yǎng)豬所得利潤比原來有所增加.某養(yǎng)殖戶擬建一座平面圖(如圖所示)是矩形且面積為200平方米的豬舍養(yǎng)殖生豬,由于地形限制,豬舍的寬x不少于5米,不多于a米,如果該養(yǎng)殖戶修建豬舍的地基平均每平方米需投入10元,房頂(房頂與地面形狀相同)每平方米需投入15元,豬舍外面的四周墻壁每米需投入20元,中間四條隔墻每米需投入10元.問:當豬舍的寬x定為多少時,該養(yǎng)殖戶投入的資金最少?最少是多少元?
解析:設該養(yǎng)殖戶投入資金為y元,易知豬舍的長為米,
∵y=20010+20015+20+4x10=80+5 000(5≤x≤a),
∵函數(shù)f(x)=x+在[5,10]上單調遞減,在[10,+∞)上單調遞增,
∴當a≥10時,ymin=6 600,此時x=10;
當5≤a<10時,ymin=80+5 000,此時x=a.
∴若a≥10米,豬舍的寬定為10米,該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是6 600元;若5≤a<10米,豬舍的寬就定為a米,該養(yǎng)殖戶投入的資金最少是[80+5 000]元.
12.直線m:y=kx+1和雙曲線x2-y2=1的左支交于A,B兩點,直線l過點P(-2,0)和線段AB的中點M,求l在y軸上的截距b的取值范圍.
解析:由(x≤-1)消去y,
得(k2-1)x2+2kx+2=0.①
因為直線m與雙曲線的左支有兩個交點,所以方程①有兩個不相等的負實數(shù)根.
所以解得1<k<.
設M(x0,y0),則
由P(-2,0),M,Q(0,b)三點共線,得出b=,
設f(k)=-2k2+k+2=-2+,
則f(k)在(1,)上為減函數(shù),
∴f()<f(k)<f(1),且f(k)≠0.
∴-(2-)<f(k)<0或0<f(k)<1.
∴b<--2或b>2.
∴b的取值范圍是(-∞,--2)∪(2,+∞).
13.若關于x的方程4x+a2x+a+1=0有實數(shù)解,求實數(shù)a的取值范圍.
解析:解法一 令2x=t(t>0),則原方程可化為
t2+at+a+1=0,(*)
問題轉化為方程(*)在(0,+∞)上有實數(shù)解,求a的取值范圍.
①當方程(*)的根都在(0,+∞)上時,可得下式
?
即-1<a≤2-2,
②當方程(*)的根一個在(0,+∞)上,另一根在(-∞,0]上時,
令f(t)=t2+at+a+1得f(0)≤0,即a≤-1.
由①②知滿足條件的a的取值范圍為
(-∞,2-2].
解法二 令t=2x(t>0),
則原方程可化為t2+at+a+1=0.
變形為a=-=-
=-
=-≤-(2-2)=2-2.
當且僅當t=-1時取等號.
所以a的取值范圍是(-∞,2-2].
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