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2019-2020年高三最后一卷（臨門(mén)一腳）數(shù)學(xué)試題含答案
參考公式：
棱錐的體積公式：，其中S為錐體的底面積，h為高．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上．
1．已知集合A={1，k-1}，B={2，3}，且A∩B={2}，則實(shí)數(shù)k的值為 ▲ ．
2．若復(fù)數(shù)z滿足iz=2(i為虛數(shù)單位)，則z= ▲ ．
3．不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為 ▲ ．
4．函數(shù)y=sin2x的最小正周期為 ▲ ．
5．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐A-BDA1的體積為 ▲ ．
6．已知函數(shù)若f(x)=5，則x= ▲ ．
7．設(shè)函數(shù)f(x)=log2x(0
2y>0，則的最小值為 ▲ ．
12．設(shè)t∈R，[t]表示不超過(guò)t的最大整數(shù)．則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足[x]2+[y]2=13的點(diǎn)P(x，y)所圍成的圖形的面積為 ▲ ．
13．設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x)，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)=lnx．若在區(qū)間內(nèi)，存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ▲ ．
14．設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，滿足a54=xx，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，則公差d的所有可能取值之和為 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
如圖，在△ABC中，||=3，||=5，||=7．
(第15題圖)
B
A
C
D
(1)求C的大??；
(2)設(shè)D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．
16．（本小題滿分14分）
如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓上，四邊形ABCD為矩形，AB∥EF，∠BAF=，M為BD的中點(diǎn)，平面ABCD⊥平面ABEF．求證：
(第16題圖)
A
C
D
F
E
M
O
B
(1)BF平面DAF；
(2)ME∥平面DAF．
17．（本小題滿分14分）
圖1是某種稱(chēng)為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4．若凹槽的強(qiáng)度T等于橫截面的面積與邊的乘積，設(shè)AB=2x，BC=y．
(1)寫(xiě)出y關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；
(第17題圖)
圖1
圖2
A
B
C
D
m
(2)求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度T最大．
18．（本小題滿分16分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1，1)．
(1)若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；
(2)若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，滿足OP⊥OQ．
①已知命題：“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題，試直接寫(xiě)出圓C的方程；
(不需要解答過(guò)程)
②設(shè)①中的圓C交y軸的負(fù)半軸于M點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2-m的圖象過(guò)點(diǎn)M．點(diǎn)A，B在該圖象上，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，求△MAB的面積S的最小值．
19．（本小題滿分16分）
設(shè)數(shù)列{an}，a1=1，．?dāng)?shù)列{bn}，．正數(shù)數(shù)列{dn}，．
(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}，{dn}的前n項(xiàng)和分別為Bn，Dn，求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項(xiàng)和Sn．
20．（本小題滿分16分）
設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+ex(a∈R)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x12y>0，則的最小值為 ▲ ．
答案：4．
12．設(shè)t∈R，[t]表示不超過(guò)t的最大整數(shù)．則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足[x]2+[y]2=13的點(diǎn)P(x，y)所圍成的圖形的面積為 ▲ ．
答案：8．
13．設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(3x)，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)=lnx．若在區(qū)間內(nèi)，存在3個(gè)不同的實(shí)數(shù)x1，x2，x3，使得=t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 ▲ ．
答案：．
14．設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，滿足a54=xx，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，則公差d的所有可能取值之和為 ▲ ．
答案：92．
二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題滿分14分）
如圖，在△ABC中，||=3，||=5，||=7．
(第15題圖)
B
A
C
D
(1)求C的大??；
(2)設(shè)D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．
解：(1)依題意BC=3，CA=5，AB=7．1分
由余弦定理，得=． 4分
因0b>0)過(guò)點(diǎn)(1，1)．
(1)若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；
(2)若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，滿足OP⊥OQ．
(2)若橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P，Q，滿足OP⊥OQ．
①已知命題：“直線PQ恒與定圓C相切”是真命題，試直接寫(xiě)出圓C的方程；
(不需要解答過(guò)程)
②設(shè)①中的圓C交y軸的負(fù)半軸于M點(diǎn)，二次函數(shù)y=x2-m的圖象過(guò)點(diǎn)M．點(diǎn)A，B在該圖象上，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，求△MAB的面積S的最小值．
解：(1)由，所以．2分
設(shè)橢圓方程為，將(1，1)代入得，
所以，橢圓方程為．5分
(2)①．9分
②由題意，二次函數(shù)為y=x2-1．10分
設(shè)直線AB的方程為y=kx．
由，消去得，．
設(shè)，，則，．12分
所以． 14分
當(dāng)時(shí)，△MAB的面積S的最小值為1． 16分
19．（本小題滿分16分）
設(shè)數(shù)列{an}，a1=1，．?dāng)?shù)列{bn}，．正數(shù)數(shù)列{dn}，．
(1)求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}，{dn}的前n項(xiàng)和分別為Bn，Dn，求數(shù)列{bnDn+dnBn-bndn}的前n項(xiàng)和Sn．
解：(1)由，得．
又，所以．3分
又b1=a1=1，所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．4分
(2)由(1)得，Bn=．6分
因，
故．
由dn>0，得．
于是，． 10分
又當(dāng)n≥2時(shí)，
bnDn+dnBn-bndn=(Bn-Bn-1)Dn+(Dn-Dn-1)Bn-(Bn-Bn-1)(Dn-Dn-1)=BnDn-Bn-1Dn-1，
所以Sn=(BnDn-Bn-1Dn-1)+(Bn-1Dn-1-Bn-2Dn-2)+…+(B2D2-B1D1)+B1D1=BnDn．14分
因S1=b1D1+d1B1-b1d1=B1D1也適合上式，故對(duì)于任意的n∈N*，都有Sn=BnDn．
所以Sn=BnDn==． 16分
20．（本小題滿分16分）
設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+ex(a∈R)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2(x10，<0，>0，而x1=∈(0，1)，
故當(dāng)a=時(shí)，f(x)極大=f(x1)=．16分
南通市xx高三數(shù)學(xué)臨門(mén)一腳
數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題）
21．【選做題】本題包括A、B、C、D共4小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
A．[選修4－1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）
如圖，⊙O是三角形△ABC的外接圓，AB=AC，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=AC，連結(jié)AD交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AC交于點(diǎn)F，求證BE平分∠ABC．
O
A
E
C
D
B
F
(第21A題圖)
解：因CD=AC，故∠D=∠CAD．
因AB=AC，故∠ABC=∠ACB．
因∠EBC=∠CAD，故∠EBC=∠D．
因∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
故∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC． 10分
B．[選修4－2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）
已知矩陣，A的兩個(gè)特征值為，=3．
(1)求a，b的值；
(2)求屬于的一個(gè)特征向量．
解：(1)令，于是
+=a+4，=4a+b．解得a=1，b=2． 5分
(2)設(shè)=，則===3=，
故解得x=y．于是，=．10分
C．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）
圓C的參數(shù)方程為(q為參數(shù))，設(shè)P是圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標(biāo)方程．
解：由題設(shè)知，圓心，，∠CPO=60，
故過(guò)P點(diǎn)的切線的傾斜角為30． 3分
設(shè)是過(guò)P點(diǎn)的圓C的切線上的任一點(diǎn)，則在△PMO中，
∠MOP=，，．
由正弦定理得，于是，
即（或）即為所求切線的極坐標(biāo)方程．10分
D．[選修4－5：不等式選講]（本小題滿分10分）
已知a、b、c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=1，求的最大值．
解：因 a、b、c＞0，
故()2 = ()2
≤((a+1)+(b+1)+(c+1))(1+1+1)=12，3分
于是≤，
當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b=c=時(shí)，取“=”．
所以，的最大值為．10分
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
22．（本小題滿分10分）
(1)計(jì)算：；
(2)觀察下面一組組合數(shù)等式：；；；…
由以上規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第k(k∈N*)個(gè)等式并證明．
解：(1)原式=2074．5分
(2)等式為：，k∈N*． 7分
證明：===．10分
23．（本小題滿分10分）
數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=b1，且對(duì)任意正整數(shù)n，{an}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為bn；
{bn}中小于等于n的項(xiàng)數(shù)恰為an．
(1)求a1；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)首先，容易得到一個(gè)簡(jiǎn)單事實(shí)：{an}與{bn}均為不減數(shù)列且an∈N，bn∈N．
若a1=b1=0，故{an}中小于等于1的項(xiàng)至少有一項(xiàng)，從而b1≥1，這與b1=0矛盾．
若a1=b1≥2，則{an}中沒(méi)有小于或等于1的項(xiàng)，從而b1=0，這與b1≥2矛盾．
所以，a1=1．4分
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=bk=k，k∈N*．
若ak+1≥k+2，因{an}為不減數(shù)列，故{an}中小于等于k+1的項(xiàng)只有k項(xiàng)，
于是bk+1=k，此時(shí){bn}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(b1，b2，…，bk，bk+1)，
從而ak≥k+1，這與假設(shè)ak=k矛盾．
若ak+1=k，則{an}中小于等于k的項(xiàng)至少有k+1項(xiàng)(a1，a2，…，ak，ak+1)，
于是bk≥k+1，這與假設(shè)bk=k矛盾．
所以，ak+1=k+1．
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
綜上，由(1)，(2)可知，an=bn=n對(duì)一切正整數(shù)n恒成立．
所以，an=n，即為所求的通項(xiàng)公式．10分
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