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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 電子題庫 第2章2.3.2知能演練輕松闖關(guān) 蘇教版選修1-1 (xx高考安徽卷改編)雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長是________． 解析：∵2x2－y2＝8，∴－＝1， ∴a＝2，∴2a＝4. 答案：4 (xx高考北京卷)已知雙曲線－＝1的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________；漸近線方程為________． 解析：雙曲線焦點(diǎn)即為橢圓焦點(diǎn)，不難算出為(4，0)，又雙曲線離心率為2，即＝2，c＝4，故a＝2，b＝2，漸近線為y＝x＝x. 答案：(4，0)　xy＝0 雙曲線的實(shí)軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：由題意得2a＋2b＝2c，即a＋b＝c，又因為a＝2，c2＝a2＋b2＝4＋b2，所以b＝c－2，所以c2＝4＋(c－2)2，即c2－4c＋8＝0，所以c＝2，b＝2，所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1. 答案：－＝1 (xx高考湖南卷改編)設(shè)雙曲線－＝1(a>0)的漸近線方程為3x2y＝0，則a的值為________． 解析：漸近線方程可化為y＝x.∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴＝()2，解得a＝2，由題意知a>0，∴a＝2. 答案：2 (xx高考遼寧卷改編)設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為________． 解析：設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，F(xiàn)(c，0)，B(0，b)，直線FB：bx＋cy－bc＝0與漸近線y＝x垂直，所以＝－1，即b2＝ac，所以c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)． 答案： [A級　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)(1，1)，它的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：設(shè)雙曲線的方程為y2－3x2＝λ(λ≠0)，將點(diǎn)(1，1)代入可得λ＝－2，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是－＝1. 答案：－＝1 (xx高考北京卷)已知雙曲線x2－＝1(b>0)的一條漸近線的方程為y＝2x，則b＝________． 解析：∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴＝2，∴＝4. ∵a2＝1，∴b2＝4.又∵b>0，∴b＝2. 答案：2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為x－2y＝0，則它的離心率為________． 解析：由雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，一條漸近線方程為x－2y＝0，可知＝，則e＝＝＝＝?。? 答案： 已知雙曲線－＝1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為________． 解析：由題意求出雙曲線中a＝3，b＝4，c＝5，則雙曲線漸近線方程為y＝x，不妨設(shè)直線BF斜率為，可求出直線BF的方程為4x－3y－20＝0①，將①式代入雙曲線方程解得yB＝－，則S△AFB＝AF|yB|＝(c－a)＝. 答案： (xx高考山東卷改編)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為________． 解析：雙曲線的漸近線方程為bx＋ay＝0和bx－ay＝0，圓心為(3，0)，半徑r＝2.由圓心到直線的距離為r＝，所以4a2＝5b2，又雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，所以c＝3，即9＝a2＋b2，a2＝5，b2＝4.故所求雙曲線方程為－＝1. 答案：－＝1 已知F1、F2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是正三角形，試求該雙曲線的離心率． 解：由△ABF2是正三角形，則在Rt△AF1F2中，有∠AF2F1＝30，∴AF1＝AF2，又AF2－AF1＝2a， ∴AF2＝4a，AF1＝2a，又F1F2＝2c， 又在Rt△AF1F2中有AF＋F1F＝AF，即4a2＋4c2＝16a2，∴e＝. 設(shè)雙曲線－＝1(a>1，b>0)的焦距為2c，直線l過(a，0)、(0，b)兩點(diǎn)，且點(diǎn)(1，0)到直線l的距離與點(diǎn)(－1，0)到直線l的距離之和s≥c，求雙曲線的離心率e的取值范圍． 解：直線l過(a，0)、(0，b)兩點(diǎn)，得到直線方程為bx＋ay－ab＝0. 由點(diǎn)到直線的距離公式，且a>1，得點(diǎn)(1，0)到直線l的距離為d1＝， 同理得到點(diǎn)(－1，0)到直線l的距離為d2＝，由s≥c得到≥c①.將b2＝c2－a2代入①式的平方，整理得4c4－25a2c2＋25a4≤0， 兩邊同除以a4后令＝x，得到4x2－25x＋25≤0， 解得≤x≤5， 又e＝＝，故≤e≤　. [B級　能力提升] (xx高考課標(biāo)全國卷改編)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點(diǎn)，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB為C的實(shí)軸長的2倍，則C的離心率為________． 解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a>0，b>0)，由于直線l過雙曲線的焦點(diǎn)且與對稱軸垂直，因此直線l的方程為l：x＝c或x＝－c，代入－＝1得y2＝b2＝，∴y＝，故AB＝， 依題意＝4a，∴＝2， ∴＝e2－1＝2，∴e＝. 答案： (xx高考浙江卷改編)已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，若C1恰好將線段AB三等分，則b2＝________． 解析：C2的一條漸近線為y＝2x，設(shè)漸近線與橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的交點(diǎn)分別為C(x1，2x1)，D(x2，2x2)，則OC2＝x＋4x＝，即x＝，又由C(x1，2x1)在C1：＋＝1上，所以有＋＝1，① 又由橢圓C1：＋＝1(a>b>0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)可得a2－b2＝5，② 由①②可得b2＝. 答案： 已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點(diǎn)M(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點(diǎn)N(3，m)在雙曲線上，求證：＝0； (3)求△F1NF2的面積． 解：(1)∵e＝，故可設(shè)等軸雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)， ∵過點(diǎn)M(4，－)，∴16－10＝λ，∴λ＝6. ∴雙曲線方程為－＝1. (2)證明：由(1)可知：在雙曲線中，a＝b＝，∴c＝2. ∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)． ∴＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)． ∴＝[(－2－3)(2－3)]＋m2 ＝－3＋m2. ∵N點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，∴m2＝3. ∴＝0. (3)∵△F1NF2的底F1F2＝4，高h(yuǎn)＝|m|＝，∴△F1NF2的面積S＝6. (創(chuàng)新題)熱電廠的冷卻塔的外形是雙曲線型，是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小直徑是24 m，上口直徑是26 m，下口直徑是50 m，高是55 m，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此雙曲線的方程(精確到1 m)． 解：設(shè)所求雙曲線的方程是－＝1(a>0，b>0)，那么AA′＝2a＝24，a＝12，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)分別是－25，－13， 設(shè)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別是(－25，y1)，(－13，y2)，(y1<0，y2>0)， 所以，解得：y1＝－b，y2＝b， 又因為塔高為55 m，所以y2－y1＝55，即b＋b＝55，b≈25，故所求的雙曲線的方程是－＝1.