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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題11 計(jì)數(shù)原理（理）（含解析） 排列與組合的綜合問(wèn)題 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過(guò)若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2. 排列與組合的定義 (1)排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或?qū)懗葾＝. (2)組合：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)公式是C＝或?qū)懗蒀＝. 3. 組合數(shù)的性質(zhì) ①C＝C； ②C＝C＋C. 【講一講提高技能】 1．必備技能： （1）在應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類加法計(jì)數(shù)原理． （2）對(duì)于復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合使用的問(wèn)題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問(wèn)題形象化、直觀化． （3）求解排列、組合問(wèn)題的思路：排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類相加，分步相乘． 具體地說(shuō)，解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： ①以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． ②以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． ③先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)． 2．典型例題： 例1將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1，2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（ ） A．52種 B．36種 C．20種 D．10種 【答案】D 【解析】 試題分析：1號(hào)盒放1個(gè)，2號(hào)盒放3個(gè)，方法種數(shù)是， 1號(hào)盒放2個(gè)，2號(hào)盒放2個(gè)，方法種數(shù)是， 所以不同的放球方法有． 例2把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品與產(chǎn)品相鄰， 且產(chǎn)品與產(chǎn)品不相鄰，則不同的擺法有 種. 分析：這是一道排列問(wèn)題，先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，再考慮當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，利用“間接法”. 【解析】先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A、B作為一個(gè)元素有種方法，而A、B可交換位置，所以有種擺法，又當(dāng)A、B相鄰又滿足A、C相鄰，有種擺法，故滿足條件的擺法有種. 【練一練提升能力】 1.從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（ ） A．70種 B．112種 C．140種 D．168種 【答案】C 【解析】 2.將序號(hào)分別為1,2,3,4,5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號(hào),那么不同的分法種數(shù)是_________. 【答案】96 【解析】這相當(dāng)于相鄰問(wèn)題，連號(hào)的兩張票是12,23,34,45中的一種，把這兩張票合起來(lái)作為一張票，這樣相當(dāng)于4張不同的票給4個(gè)人，因此不同分法種種數(shù)為． 利用二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng) 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0,1,2，…，n)． 2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：Tr＋1＝Can－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中C叫做二項(xiàng)式系數(shù)． 【講一講提高技能】 1.必備技能：應(yīng)用二項(xiàng)式定理關(guān)鍵是掌握通項(xiàng)公式，在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意： ①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的任意項(xiàng)，只要與確定，該項(xiàng)就隨之確定； ②是展開(kāi)式中的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)； ③公式中，的指數(shù)和為且不能隨便顛倒位置； ④對(duì)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問(wèn)題． 2.典型例題： 例1若（）的展開(kāi)式中當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?項(xiàng)系數(shù)最大，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 例2若的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則的最小值 . 分析：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令根據(jù)得，再應(yīng)用基本不等式即得． 解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令得，所以，由得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為. 【練一練提升能力】 1.若的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（ ） A．-10 B．10 C．-45 D．45 【答案】D 【解析】 2.在的展開(kāi)式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有（ ） A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng) 【答案】C 【解析】 試題分析：，，若要是冪指數(shù)是整數(shù)，所以0，6，12，18，24，30，所以共6項(xiàng)，故選C． 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1. 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) ①對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等， 即C＝C，C＝C，…，C＝C，…. ②最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn，Cn相等，且同時(shí)取得最大值． 2.各二項(xiàng)式系數(shù)的和 a．C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n； b．C＋C＋…＋C＋…＝C＋C＋…＋C＋… ＝2n＝2n－1. 【講一講提高技能】 1必備技能：在處理二項(xiàng)式系數(shù)或者各項(xiàng)的系數(shù)時(shí)，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問(wèn)題、系數(shù)問(wèn)題的經(jīng)典方法． 2典型例題： 例1已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為,則 （　　） A． B． C． D． 分析：根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則知，展開(kāi)式中是由1與中的項(xiàng)相乘旂積再加上與中的項(xiàng)相乘的積，因此我們要求出中項(xiàng)，這可由二項(xiàng)式定理得到. 【解析】中這兩項(xiàng)的系數(shù)分別為，因此有，解得. 例2的二項(xiàng)展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________． 【答案】15 【解析】 【練一練提升能力】 1.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為7,則實(shí)數(shù)______. 【答案】 【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，因此的系數(shù)為，解得：. 2. 設(shè)，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為 ． 【答案】 【解析】 （一） 選擇題（12*5=60分） 1. 在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以含項(xiàng)的系數(shù)為15.選C 2.滿足,且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 （　?。? A．14 B．13 C．12 D．10 【答案】B 【解析】 3．從甲、乙等10個(gè)同學(xué)中挑選4名參加某項(xiàng)公益活動(dòng)，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有（ ） A．70種 B．112種 C．140種 D．168種 【答案】C 【解析】 4． 若的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為243，則的系數(shù)為（ ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】C 【解析】 試題分析：由題意得，令，則可的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，即，得，在展開(kāi)式中，根據(jù)排列組合的知識(shí)可得的系數(shù)為，故選C． 5．方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ） A、60條 B、62條 C、71條 D、80條 【答案】B 【解析】本題可用排除法，，6選3全排列為120，這些方程所表示的曲線要是拋物線，則且,，要減去，又和時(shí)，方程出現(xiàn)重復(fù)，用分步計(jì)數(shù)原理可計(jì)算重復(fù)次數(shù)為，所以不同的拋物線共有120-40-18=62條.故選B. 6. 的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ） 【答案】D 【解析】第一個(gè)因式取，第二個(gè)因式取 得：，第一個(gè)因式取，第二個(gè)因式取得： 展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是． 7.學(xué)校在高二年級(jí)開(kāi)設(shè)選修課程，其中數(shù)學(xué)開(kāi)設(shè)了三個(gè)不同的班，選課結(jié)束后，有四名選修英語(yǔ)的同學(xué)要求改修數(shù)學(xué)，但數(shù)學(xué)選修班每班至多可接收兩名同學(xué)，那么安排好這四名同學(xué)的方案有（ ） A．72種 B．54種 C．36種 D．18種 【答案】B 【解析】 8. 的展開(kāi)式中的系數(shù)是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】展開(kāi)式中系數(shù)為，展開(kāi)式中的系數(shù)為，因此所求的系數(shù)為，選D. 9.已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（ ） A．48種 B．72種 C．78種 D．84種 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)題意知先使五個(gè)人的全排列，共有種結(jié)果．穿紅色相鄰或穿黃色相鄰兩種情況，有種，穿紅色相鄰且穿黃色也相鄰情況，有種，故穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是，故選A． 10. 6位同學(xué)在畢業(yè)聚會(huì)活動(dòng)中進(jìn)行紀(jì)念品的交換，任意兩位同學(xué)之間最多交換一次，進(jìn)行交換的兩位同學(xué)互贈(zèng)一份紀(jì)念品，已知6位同學(xué)之間共進(jìn)行了13次交換，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為（ ） 或 或 或 或 【答案】D 【解析】沒(méi)有交換的次數(shù)為． ①設(shè)僅有甲與乙，丙沒(méi)交換紀(jì)念品，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為人， ②設(shè)僅有甲與乙，丙與丁沒(méi)交換紀(jì)念品，則收到份紀(jì)念品的同學(xué)人數(shù)為人． 循環(huán)不滿足條件輸出，選C. 11.設(shè)函數(shù) , 則當(dāng)x>0時(shí), 表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 （　?。? A．-20 B．20 C．-15 D．15 【答案】A 【解析】 12.設(shè)，且，若能被13整除，則 A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由于51=52-1，,又由于13|52,所以只需，,所以，選D. （二） 填空題（4*5=20分） 13.將六個(gè)字母排成一排,且均在的同側(cè),則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答) 【答案】480 【解析】六個(gè)字母排成一排，占6個(gè)位置，我們可以從中任選3個(gè)排，共有種排法，剩下的三個(gè)位置排，由于要求在的同側(cè)，則有4種排法（），因此總排法為. 14. 某班級(jí)要從名男生、名女生中選派人參加社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 ．（用數(shù)字作答） 【答案】14 【解析】 6人中選4人的方案種，沒(méi)有女生的方案只有一種，所以滿足要求的方案總數(shù)有14種。 24．將7個(gè)市三好學(xué)生名額分配給5個(gè)不同的學(xué)校，其中甲、乙兩校至少各有兩個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)有 _________ ． 【答案】35 【解析】 15.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)是 ． 【答案】70 【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中，僅有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以，由的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，令，，所以，常數(shù)項(xiàng)是，答案為. 16華師一“長(zhǎng)飛班”由m位同學(xué)組成，學(xué)校專門安排n位老師作為指導(dǎo)老師，在該班級(jí)的一次活動(dòng)中，每?jī)晌煌瑢W(xué)之間相互向?qū)Ψ教嵋粋€(gè)問(wèn)題，每位同學(xué)又向每位指導(dǎo)老師各提出一個(gè)問(wèn)題，并且每位指導(dǎo)老師也向全班提出一個(gè)問(wèn)題，以上所有問(wèn)題互不相同，這樣共提出了51個(gè)問(wèn)題，則 ． 【答案】 【解析】