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2019-2020年高考數學二輪復習 專題9 思想方法專題 第二講 數形結合思想 理 數形結合的數學思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質． 數形結合思想的實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化．它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化．在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參數，合理用參數，建立關系，由數思形，以形思數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍． 數形結合思想應用廣泛，高考試題對數形結合的考查主要涉及： 1．集合及其運算問題(韋恩圖與數軸)． 2．用函數圖象解決有關問題(如方程、不等式、函數的有關性質等)． 3．運用向量解決有關問題． 4．三角函數的圖象及其應用問題． 5．解析幾何、立體幾何中的數形結合問題． 判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“”)． (1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同．() (2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同．() (3)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱．() (4)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(√) (5)將函數y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數y＝f(－x－1)的圖象．() 　　　　　　　　　　　 1．(xx沈陽三模)對實數a與b，定義新運算“?”：a?b＝設函數f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數y＝f(x)－c的零點恰有兩個，則實數c的取值范圍是(B) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：由題意得f(x)＝ 由y＝f(x)－c的零點恰有兩個，即方程f(x)＝c恰有兩根，也就是函數y＝f(x)的圖象與函數y＝c的圖象有兩個交點，如圖所示，滿足條件的c為(－∞，－2]∪. 2．方程sin＝x的實數解的個數是(B) A．2 B．3 C．4 D．以上均不對 解析：在同一坐標系內作出y1＝sin與y2＝x的圖象(如下圖所示)． 3．(xx新課標Ⅱ卷)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為(B) 解析：當x∈[0，]時，f(x)＝tan x＋，圖象不會是直線段，從而排除A，C. 當x∈[，]時，f()＝f()＝1＋，f()＝2.∵ 2＜1＋，∴ f()＜f()＝f()，從而排除D，故選B. 4．(xx江蘇卷)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數，當x∈[0，3)時，f(x)＝，若函數y＝f(x)－a在區(qū)間[－3，4]上有10個零點(互不相同)，則實數a的取值范圍是． 解析：作出函數f(x)＝，x∈[0，3)的圖象，可見f(0)＝，當x＝1時，f(x)極大＝，f(3)＝，方程f(x)－a＝0在x∈[－3，4]上有10個零點，即函數y＝f(x)和圖象與直線y＝a在[－3，4]上有10個交點，由于函數f(x)的周期為3，因此直線y＝a與函數f(x)＝，x∈[0，3)的應該是4個交點，則有a∈. 一、選擇題 1．已知0＜a＜1，則方程a|x|＝|logax|的實根個數為(B) A．1個　　　　　　　　B．2個 C．3個 D．1個或2個或3個 解析：判斷方程的根的個數就是判斷圖象y＝a|x|與y＝|logax|的交點個數，畫出兩個函數圖象(如圖所示)，易知兩圖象只有2個交點，故方程有2個實根． 2．(xx安徽卷)函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則下列結論成立的是(C) A．a>0，b<0，c>0，d>0　　B．a>0，b<0，c<0，d>0 C．a<0，b<0，c<0，d>0　　D．a>0，b>0，c>0，d<0 3．定義在R上的偶函數y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當x∈[3，4]時，f(x)＝x－2，則(C) A．f＜f　 B．f＞f C．f(sin 1)＜f(cos 1)　　　D．f＞f 解析：由f(x)＝f(x＋2)知T＝2為f(x)的一個周期，設x∈[－1，0]，知x＋4∈[3，4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，畫出函數f(x)的圖象，如圖所示： A：sin ＜cos ?f＞f； B：sin＞cos?f＜f； C：sin 1＞cos 1?f(sin 1)＜f(cos 1)； D：sin＞cos?f＜f. 4．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1、拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是(A) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2 B．3 C. D. 解析：記拋物線y2＝4x的焦點為F，是F(1，0)，注意到直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，于是拋物線y2＝4x上的動點P到直線l2的距離等于|PF|，問題即轉化為求拋物線y2＝4x上的動點P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離與它到焦點F(1，0)的距離之和的最小值，結合圖形，可知，該最小值等于焦點F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即等于＝2.故選A. 5．已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個動點，那么點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線的距離之和最小值是(C) A．5 B．8 C.－1 D.＋2 解析：拋物線y2＝4x的焦點為F(1，0)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(0，4)，設點P到拋物線的準線的距離為d，由拋物線的定義有d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1. 6．函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0，1)內的零點個數是(B) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 解析：解法一　因為f(0)＝1＋0－2＝－1，f(1)＝2＋23－2＝8，即f(0)f(1)<0且函數f(x)在(0，1)內連續(xù)不斷，故f(x)在(0，1)內的零點個數是1. 解法二　設y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐標系中作出兩函數的圖象(如上圖所示)，可知B正確． 7．(xx北京卷)如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C) A．{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2} 解析：令g(x)＝y(tǒng)＝log2(x＋1)，作出函數g(x)圖象如圖． 由得 ∴ 結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1＜x≤1}． 二、填空題 8．當x∈(1，2)時，(x－1)2＜logax恒成立，則a的取值范圍為(1，2]． 解析：在同一坐標系內作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的圖象，若y＝logax過(2，1)，則loga2＝1，∴a＝2.結合圖形，若使x∈(1，2)時，(x－1)2＜logax恒成立，則1＜a≤2. 三、解答題 9．已知0＜x＜π，方程sin2x＋2sin xcos x＋3cos2x＋a＝0有3個實數根，求a的取值范圍． 解析：原方程可化為2＋sin 2x＋cos 2x＋a＝0， 即sin＝－a－2. 令f(x)＝sin(2x＋)(0＜x＜)， 則原方程有3個實根等價于y＝f(x)與y＝－a－2有3個交點． 由圖象可得－1＜－a－2≤1， ∴a的取值范圍為[－3，－1)． 10．已知圓C過橢圓＋y2＝1的右焦點，且圓心在x的正半軸上，且直線l：y＝x－1被圓C截得的弦長為2. (1)求圓C的標準方程； (2)從圓C外一點P向圓引一條切線，切點為M，O為原點，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P點的坐標． 解析：(1)在橢圓＋y2＝1中，c2＝a2－b2＝1，所以c＝1，于是右焦點為(1，0)．設圓心為(t，0)(t＞0)，圓心到直線的距離為d＝.注意到弦長、半徑、弦心距滿足：＝r2－d2，即＋2＝(t－1)2，解之得t＝3或t＝－1(舍去)，半徑r＝3－1＝2，所以圓C的標準方程為(x－3)2＋y2＝4. (2)如圖，不妨設P(x，y)，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2，且|PM|＝|PO|， 所以|PO|2＝|PC|2－|CM|2，也即|PC|2－|PO|2＝|CM|2＝4，于是(x－3)2＋y2－(x2＋y2)＝4，即x＝，即點P所在曲線方程為x＝.要使|PM|最小，由|PM|2＝|PC|2－4，只需|PC|最小，也即圓心到直線x＝的距離最小，可知點P在x軸上時滿足題意，即點P.