2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題9 思想方法專(zhuān)題 第二講 數(shù)形結(jié)合思想 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題9 思想方法專(zhuān)題 第二講 數(shù)形結(jié)合思想 理.doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題9 思想方法專(zhuān)題 第二講 數(shù)形結(jié)合思想 理
數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:一是借助形的生動(dòng)性和直觀(guān)性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀(guān)地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的,如應(yīng)用曲線(xiàn)的方程來(lái)精確地闡明曲線(xiàn)的幾何性質(zhì).
數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀(guān)的圖象結(jié)合起來(lái),關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化.它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化,幾何問(wèn)題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問(wèn)題時(shí),要注意三點(diǎn):第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線(xiàn)的代數(shù)特征,對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參數(shù),合理用參數(shù),建立關(guān)系,由數(shù)思形,以形思數(shù),做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍.
數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛,高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及:
1.集合及其運(yùn)算問(wèn)題(韋恩圖與數(shù)軸).
2.用函數(shù)圖象解決有關(guān)問(wèn)題(如方程、不等式、函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)等).
3.運(yùn)用向量解決有關(guān)問(wèn)題.
4.三角函數(shù)的圖象及其應(yīng)用問(wèn)題.
5.解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題.
判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”).
(1)當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.()
(2)函數(shù)y=af(x)與y=f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.()
(3)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).()
(4)若函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng).(√)
(5)將函數(shù)y=f(-x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到函數(shù)y=f(-x-1)的圖象.()
1.(xx沈陽(yáng)三模)對(duì)實(shí)數(shù)a與b,定義新運(yùn)算“?”:a?b=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-2)?(x-x2),x∈R.若函數(shù)y=f(x)-c的零點(diǎn)恰有兩個(gè),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(B)
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
解析:由題意得f(x)=
由y=f(x)-c的零點(diǎn)恰有兩個(gè),即方程f(x)=c恰有兩根,也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),如圖所示,滿(mǎn)足條件的c為(-∞,-2]∪.
2.方程sin=x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是(B)
A.2 B.3
C.4 D.以上均不對(duì)
解析:在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=sin與y2=x的圖象(如下圖所示).
3.(xx新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖,長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng),記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖象大致為(B)
解析:當(dāng)x∈[0,]時(shí),f(x)=tan x+,圖象不會(huì)是直線(xiàn)段,從而排除A,C.
當(dāng)x∈[,]時(shí),f()=f()=1+,f()=2.∵ 2<1+,∴ f()<f()=f(),從而排除D,故選B.
4.(xx江蘇卷)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù),當(dāng)x∈[0,3)時(shí),f(x)=,若函數(shù)y=f(x)-a在區(qū)間[-3,4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
解析:作出函數(shù)f(x)=,x∈[0,3)的圖象,可見(jiàn)f(0)=,當(dāng)x=1時(shí),f(x)極大=,f(3)=,方程f(x)-a=0在x∈[-3,4]上有10個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=f(x)和圖象與直線(xiàn)y=a在[-3,4]上有10個(gè)交點(diǎn),由于函數(shù)f(x)的周期為3,因此直線(xiàn)y=a與函數(shù)f(x)=,x∈[0,3)的應(yīng)該是4個(gè)交點(diǎn),則有a∈.
一、選擇題
1.已知0<a<1,則方程a|x|=|logax|的實(shí)根個(gè)數(shù)為(B)
A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)
解析:判斷方程的根的個(gè)數(shù)就是判斷圖象y=a|x|與y=|logax|的交點(diǎn)個(gè)數(shù),畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖象(如圖所示),易知兩圖象只有2個(gè)交點(diǎn),故方程有2個(gè)實(shí)根.
2.(xx安徽卷)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則下列結(jié)論成立的是(C)
A.a(chǎn)>0,b<0,c>0,d>0 B.a(chǎn)>0,b<0,c<0,d>0
C.a(chǎn)<0,b<0,c<0,d>0 D.a(chǎn)>0,b>0,c>0,d<0
3.定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=f(x),當(dāng)x∈[3,4]時(shí),f(x)=x-2,則(C)
A.f<f B.f>f
C.f(sin 1)<f(cos 1) D.f>f
解析:由f(x)=f(x+2)知T=2為f(x)的一個(gè)周期,設(shè)x∈[-1,0],知x+4∈[3,4],f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2,畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示:
A:sin <cos ?f>f;
B:sin>cos?f<f;
C:sin 1>cos 1?f(sin 1)<f(cos 1);
D:sin>cos?f<f.
4.已知直線(xiàn)l1:4x-3y+6=0和直線(xiàn)l2:x=-1、拋物線(xiàn)y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2的距離之和的最小值是(A)
A.2 B.3
C. D.
解析:記拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F,是F(1,0),注意到直線(xiàn)l2:x=-1是拋物線(xiàn)y2=4x的準(zhǔn)線(xiàn),于是拋物線(xiàn)y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l2的距離等于|PF|,問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為求拋物線(xiàn)y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l1:4x-3y+6=0的距離與它到焦點(diǎn)F(1,0)的距離之和的最小值,結(jié)合圖形,可知,該最小值等于焦點(diǎn)F(1,0)到直線(xiàn)l1:4x-3y+6=0的距離,即等于=2.故選A.
5.已知P為拋物線(xiàn)y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離之和最小值是(C)
A.5 B.8
C.-1 D.+2
解析:拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),圓x2+(y-4)2=1的圓心為C(0,4),設(shè)點(diǎn)P到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,由拋物線(xiàn)的定義有d=|PF|,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1=-1.
6.函數(shù)f(x)=2x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(B)
A.0個(gè) B.1個(gè)
C.2個(gè) D.3個(gè)
解析:解法一 因?yàn)閒(0)=1+0-2=-1,f(1)=2+23-2=8,即f(0)f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)連續(xù)不斷,故f(x)在(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.
解法二 設(shè)y1=2x,y2=2-x3,在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象(如上圖所示),可知B正確.
7.(xx北京卷)如圖,函數(shù)f(x)的圖象為折線(xiàn)ACB,則不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(C)
A.{x|-1<x≤0}
B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|-1<x≤1}
D.{x|-1<x≤2}
解析:令g(x)=y(tǒng)=log2(x+1),作出函數(shù)g(x)圖象如圖.
由得
∴ 結(jié)合圖象知不等式f(x)≥log2(x+1)的解集為{x|-1<x≤1}.
二、填空題
8.當(dāng)x∈(1,2)時(shí),(x-1)2<logax恒成立,則a的取值范圍為(1,2].
解析:在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=(x-1)2,x∈(1,2)及y=logax的圖象,若y=logax過(guò)(2,1),則loga2=1,∴a=2.結(jié)合圖形,若使x∈(1,2)時(shí),(x-1)2<logax恒成立,則1<a≤2.
三、解答題
9.已知0<x<π,方程sin2x+2sin xcos x+3cos2x+a=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根,求a的取值范圍.
解析:原方程可化為2+sin 2x+cos 2x+a=0,
即sin=-a-2.
令f(x)=sin(2x+)(0<x<),
則原方程有3個(gè)實(shí)根等價(jià)于y=f(x)與y=-a-2有3個(gè)交點(diǎn).
由圖象可得-1<-a-2≤1,
∴a的取值范圍為[-3,-1).
10.已知圓C過(guò)橢圓+y2=1的右焦點(diǎn),且圓心在x的正半軸上,且直線(xiàn)l:y=x-1被圓C截得的弦長(zhǎng)為2.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P向圓引一條切線(xiàn),切點(diǎn)為M,O為原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的P點(diǎn)的坐標(biāo).
解析:(1)在橢圓+y2=1中,c2=a2-b2=1,所以c=1,于是右焦點(diǎn)為(1,0).設(shè)圓心為(t,0)(t>0),圓心到直線(xiàn)的距離為d=.注意到弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿(mǎn)足:=r2-d2,即+2=(t-1)2,解之得t=3或t=-1(舍去),半徑r=3-1=2,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4.
(2)如圖,不妨設(shè)P(x,y),由于|PM|2=|PC|2-|CM|2,且|PM|=|PO|,
所以|PO|2=|PC|2-|CM|2,也即|PC|2-|PO|2=|CM|2=4,于是(x-3)2+y2-(x2+y2)=4,即x=,即點(diǎn)P所在曲線(xiàn)方程為x=.要使|PM|最小,由|PM|2=|PC|2-4,只需|PC|最小,也即圓心到直線(xiàn)x=的距離最小,可知點(diǎn)P在x軸上時(shí)滿(mǎn)足題意,即點(diǎn)P.