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2019年高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何初步 課時分層作業(yè) 四十四 7.6 平行、垂直的綜合問題 文 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.如圖所示,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是 (　　) A.A1D B.AA1 C.A1D1 D.A1C1 【解析】選D.易知AC⊥平面BB1D1D. 因為A1C1∥AC,所以A1C1⊥平面BB1D1D. 又B1O?平面BB1D1D,所以A1C1⊥B1O. 2.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為邊AB,AD上的點,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分別為BC,CD的中點,則 (　　) A.BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形 B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是菱形 D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形 【解析】選B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF=BD,所以EF∥面BCD.又H,G分別為BC,CD的中點,所以HG=BD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四邊形EFGH是梯形. 3.設α,β是兩個不同的平面,l,m為兩條不同的直線.命題p:若平面α∥β,l?α,m?β,則l∥m;命題q:l∥α,m⊥l,m?β,則β⊥α,則下列命題為真命題的是 (　　) A.p或q B.p且q C. ﹁p或q D.p且﹁q 【解析】選C.在長方體ABCD -A1B1C1D1中,命題p:平面AC為平面α,平面A1C1為平面β,直線A1D1和直線AB分別是直線m,l,顯然滿足α∥β,l?α,m?β,而m與l異面,故命題p是假命題,﹁p是真命題;命題q:平面AC為平面α,平面A1C1為平面β,直線A1D1和直線A1B1分別是直線m,l,顯然滿足l∥α,m⊥l,m?β,而α∥β,故命題q是假命題, ﹁q是真命題. 4.(xx杭州模擬)空間四邊形ABCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,M,N分別是對角線AC與BD的中點,則MN與 (　　) A.AC,BD之一垂直 B.AC,BD不一定垂直 C.AC,BD都不垂直 D.AC,BD都垂直 【解析】選D.連接BM,DM,AN,CN,在△ABC和△ACD中,AB=CD,AD=BC,AC=CA,故 △ABC≌△CDA.又M為AC中點,所以BM=DM.因為N為BD的中點,所以MN⊥BD.同理可證MN⊥AC. 5.如圖所示,三棱錐A-BCD的底面是等腰直角三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC =BD=2,E是棱CD上的任意一點,F,G分別是AC,BC的中點,則在下面命題中: ①平面ABE⊥平面BCD; ②平面EFG∥平面ABD; ③四面體FECG體積的最大值是.真命題的個數(shù)是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選C.①正確,因為AB⊥平面BCD,且AB?平面ABE,由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD;②錯,若兩平面平行,則必有AD∥EF,而點E是棱CD上任意一點,故該命題為假命題;③正確,由已知易得GF⊥平面GCE,且GF=AB=1, 而S△G CE=GCCEsin 45=CE≤1, 故VF -GCE=S△G CEFG≤. 故正確的命題為①③. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知平面α,β和直線m.給出條件:①m∥α;②m⊥α;③m?α; ④α⊥β;⑤α∥β. (1)當滿足條件________時,有m∥β. (2)當滿足條件________時,有m⊥β. 【解析】(1)當m?α,且α∥β時,有m∥β,故填③⑤. (2)當m⊥α,且α∥β時,有m⊥β,故填②⑤. 答案:(1)③⑤　(2)②⑤ 7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足______________時,平面MBD⊥平面PCD(只要填寫一個你認為正確的條件即可). 【解析】連接AC,因為四邊形ABCD各邊相等, 所以BD⊥AC,又PA⊥底面ABCD,BD?平面ABCD, 所以PA⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,而PC?平面PAC,所以BD⊥PC. 所以當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(或BM⊥PC) 8.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內部運動,則M滿足條件______________時,有MN∥平面B1BDD1. 【解析】如圖,連接FH,HN,FN, 由題意知HN∥面B1BDD1,FH∥面B1BDD1. 且HN∩FH=H,所以面NHF∥面B1BDD1. 所以當M在線段HF上運動時,有MN∥面B1BDD1. 答案:M∈線段HF 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D是B1C1的中點.證明:A1D⊥平面A1BC. 【證明】設E為BC的中點,連接A1E,AE,DE,由題意得A1E⊥平面ABC,因為AE?平面ABC,所以A1E⊥AE. 因為AB=AC,所以AE⊥BC. 又BC∩A1E=E,所以AE⊥平面A1BC. 由D,E分別為B1C1,BC的中點得 DE∥B1B且DE=B1B,從而DE∥A1A且DE=A1A, 所以AA1DE為平行四邊形.所以A1D∥AE. 又因為AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC. 10.(xx全國卷Ⅰ)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90. (1)證明:平面PAB⊥平面PAD. (2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90,且四棱錐P-ABCD的體積為,求該四棱錐的側面積. 【解析】(1)因為∠BAP=90,所以AB⊥PA, 因為∠CDP=90,所以CD⊥PD,因為AB∥CD,所以 AB⊥PD,又PA∩PD=P, 所以AB⊥平面PAD, 因為AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD內作PE⊥AD,垂足為點E. 由(1)知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PE, 可得PE⊥平面ABCD. 設AB=x,則由已知可得AD=x,PE=x. 故四棱錐P-ABCD的體積VP ??ABCD=ABADPE=x3. 由題設得x3=,故x=2. 從而PA=PD=2,AD=BC=2,PB=PC=2. 可得四棱錐P-ABCD的側面積為PAPD+PAAB+PDDC+BC2sin 60=6+2. 1.(5分)設平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內,直線b在平面β內,且b⊥m,則“α⊥β”是“a⊥b”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.若α⊥β,因為α∩β=m,b?β,b⊥m,所以根據兩個平面垂直的性質定理可得b⊥α,又a?α,所以a⊥b;反過來,當a∥m時,因為b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保證b⊥α,所以不能推出α⊥β. 2.(5分)在三棱錐P-ABC中,PB=6,AC=3,G為△PAC的重心,過點G作三棱錐的一個截面,使截面平行于直線PB和AC.則截面的周長為______________. 【解析】過點G作EF∥AC交PA,PC于點E,F,過E,F分別作EN∥PB,FM∥PB分別交AB,BC于點N,M,連接MN, 所以四邊形EFMN是平行四邊形, 所以=,即EF=MN=2, ==,即FM=EN=2, 所以截面的周長為24=8. 答案:8 3.(5分)在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC中的射影為點O, (1)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的________心. (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的______________心. 【解析】(1)如圖1,連接OA,OB,OC,OP, 在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB, 所以OA=OB=OC,即O為△ABC的外心. (2)如圖2,因為PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P, 所以PC⊥平面PAB,AB?平面PAB,所以PC⊥AB. 又AB⊥PO,PO∩PC=P,所以AB⊥平面PGC, 又CG?平面PGC, 所以AB⊥CG,即CG為△ABC邊AB的高. 同理可證BD,AH為△ABC底邊上的高, 即O為△ABC的垂心. 答案:(1)外　(2)垂 4.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD. (1)求證:CD⊥平面ABD. (2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點,求三棱錐A-MBC的體積. 【解析】(1)因為AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD.又因為CD⊥BD, AB∩BD=B, AB?平面ABD,BD?平面ABD, 所以CD⊥平面ABD. (2)方法一:由AB⊥平面BCD,BD?平面BCD,得AB⊥BD,因為AB=BD=1, 所以S△ABD=. 因為M是AD的中點,所以S△ABM=S△ABD=. 由(1)知,CD⊥平面ABD,所以三棱錐C-ABM的高h=CD=1,因此三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VC-ABM=S△ABMh=. 方法二:由AB⊥平面BCD且AB?平面ABD知,平面ABD⊥平面BCD, 又平面ABD∩平面BCD=BD, 如圖,過點M作MN⊥BD交BD于點N,則MN⊥平面BCD,且MN=AB=,又CD⊥BD,BD=CD=1,所以S△BCD=. 所以三棱錐A-MBC的體積VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD =ABS△BCD-MNS△BCD=. 5.(13分)如圖,已知三棱柱ABC-A′B′C′的側棱垂直于底面,AB=AC, ∠BAC=90,點M,N分別為A′B和B′C′的中點. (1)證明:MN∥平面AA′C′C. (2)設AB=λA′A,當λ為何值時,CN⊥平面A′MN?試證明你的結論. 【解析】(1)取A′B′的中點E,連接ME,NE,因為M,N分別為A′B和B′C′的中點, 所以NE∥A′C′,ME∥AA′. 因為A′C′?平面AA′C′C,A′A?平面AA′C′C, 所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C, 又ME∩NE=E, 所以平面MNE∥平面AA′C′C, 因為MN?平面MNE,所以MN∥平面AA′C′C. (2)連接BN,設AA′=a,則AB=λAA′=λa, 由題意知BC=λa,NC=BN=, 因為三棱柱ABC-A′B′C′的側棱垂直于底面, 所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C, 因為AB=AC,所以A′B′=A′C′,又因為點N是B′C′的中點,所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N. 要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可, 所以CN2+BN2=BC2, 即2=2λ2a2, 所以λ=.則λ=時,CN⊥平面A′MN.