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2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第22課時 矩形、菱形 一、基礎知識梳理（課前完成） 1. （一）定義: （1） 矩形的定義：__________________________的平行四邊形叫矩形． (2）菱形的定義：有一組_________________________相等的平行四邊形叫菱形． 2. 矩形、菱形的性質(zhì)與判定： 矩形的性質(zhì)： 矩形的常用判定方法： ① 矩形的四個角都是_______； ①有______角是直角的四邊形是矩形； ② 矩形的對角線_________； ②對角線相等的_____________是矩形； 推論：直角三角形斜邊上的中線等于 ； 推論：如果一個三角形一邊上的____ 那么這個三角形是_______________. 菱形的性質(zhì)： 菱形的常用判定方法： ①菱形的四條邊________； ①四條邊相等的四邊形是______； ②菱形的對角線互相_______，并且___ ②________互相垂直的平行四邊形是菱形 3. 矩形、菱形的對稱性與面積： ①矩形既是 對稱圖形,又是 圖形,它有 條對稱軸.S= ②菱形既是 對稱圖形,又是 圖形,它有 條對稱軸.S= = 二、基礎診斷題 1．如圖．在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，下列說法錯誤的是（ ） A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC 2．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點E、O，連接CE，則CE的長為（　?。? A．3　　B．3.5　　C．2.5　　D．2.8 3. 如圖，已知菱形ABCD的對角線AC．BD的長分別為6cm、8cm，AE⊥BC于點E，則AE的長是（　?。? A． B． C． D． 2題圖 3題圖 1題圖 三、典型例題 圖1 例題1（xx年浙江嘉興）已知：如圖，在?ABCD中，O為對角線BD的中點，過點O的直線EF分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點，連結BE，DF． （1）求證：△DOE≌△BOF． （2）當∠DOE等于多少度時，四邊形BFED為菱形？請說明理由． 考點： 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 分析： （1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF（ASA）； （2）首先利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案． 例題2（xx?湘潭）如圖，將矩形ABCD沿BD對折，點A落在E處，BE與CD相交于F，若AD=3，BD=6． （1）求證：△EDF≌△CBF； （2）求∠EBC． 考點： 翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì) 分析： （1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得DE=BC，∠E=∠C=90，對頂角∠DFE=∠BFC，利用AAS可判定△DEF≌△BCF； （2）在Rt△ABD中，根據(jù)AD=3，BD=6，可得出∠ABD=30，然后利用折疊的性質(zhì)可得∠DBE=30，繼而可求得∠EBC的度數(shù)． 例題3（xx?邵陽）準備一張矩形紙片，按如圖操作： 將△ABE沿BE翻折，使點A落在對角線BD上的M點，將△CDF沿DF翻折，使點C落在對角線BD上的N點． （1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形； （2）若四邊形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面積． 考點： 翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì) 分析： （1）根據(jù)四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可得EB∥DF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可． （2）求出∠ABE=30，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，再根據(jù)菱形的面積計算即可求出答案． 四、達標檢測題 （一）基礎檢測 一、選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的.） 1．已知一個菱形的周長是20cm，兩條對角線的比是4∶3，則這個菱形的面積是（ ） A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2 2．如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長為（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，則tan∠DBE的值是（　　） A． B．2 C． D． 4．下列命題中的真命題是（　?。? A．三個角相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 C．順次連接矩形四邊中點得到的四邊形是菱形 D．正五邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 ５．如圖，菱形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A在x軸上，∠B=120，OA=2，將菱形OABC繞原點順時針旋轉(zhuǎn)105至OA′B′C′的位置，則點B′的坐標為（　?。? 2題圖 3題圖 5題圖 A．（，）　 　B．（，）　　 C．（-，）　　 D．（，） 二、填空題 6．在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC.請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形.你添加的條件是 .(寫出一種即可) 7．如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，且AC＝8，BD＝6，過點O作OH⊥AB，垂足為H，則點O到邊AB的距離OH＝ ． 8. 如圖：矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和為_______． 9．如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1、O2是其中兩個正方形的中心，則陰影部分的面積是 . 10題圖 7題圖 8題圖 9題圖 10．如圖，已知菱形ABCD的一個內(nèi)角，對角線AC、BD相交于點O，點E在AB上，且，則=　　　　度． 三、解答題 11. 如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F． （1）求證：△ABE≌△FCE． （2）連接AC．BF，若∠AEC=2∠ABC，求證：四邊形ABFC為矩形． 12. 如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點N，連接BM，DN． （1）求證：四邊形BMDN是菱形； （2）若AB=4，AD=8，求MD的長． （二）能力提升 1、（xx?麗水）如圖，小紅在作線段AB的垂直平分線時，是這樣操作的：分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C，D，則直線CD即為所求．連結AC，BC，AD，BD，根據(jù)她的作圖方法可知，四邊形ADBC一定是（　　） 　 A． 矩形 B． 菱形 C． 正方形 D． 等腰梯形 2、（xx年山東煙臺）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM=CN，MN與AC交于點O，連接BO．若∠DAC=28，則∠OBC的度數(shù)為（　　） 　 A． 28 B． 52 C． 62 D． 72 3、（xx?呼和浩特）已知矩形ABCD的周長為20cm，兩條對角線AC，BD相交于點O，過點O作AC的垂線EF，分別交兩邊AD，BC于E，F(xiàn)（不與頂點重合），則以下關于△CDE與△ABF判斷完全正確的一項為（　?。? 　 A． △CDE與△ABF的周長都等于10cm，但面積不一定相等 　 B． △CDE與△ABF全等，且周長都為10cm 　 C． △CDE與△ABF全等，且周長都為5cm 　 D． △CDE與△ABF全等，但它們的周長和面積都不能確定 4、（xx?蘭州）下列命題中正確的是（　?。? 　 A． 有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 　 B． 有一個角是直角的平行四邊形是矩形 　 C． 對角線垂直的平行四邊形是正方形 　 D． 一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 5、（xx?德州）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，有以下四個結論： ①四邊形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4； ④當點H與點A重合時，EF=2． 以上結論中，你認為正確的有（　　）個． 　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 6、（xx?棗莊）如圖，菱形ABCD的邊長為4，過點A、C作對角線AC的垂線，分別交CB和AD的延長線于點E、F，AE=3，則四邊形AECF的周長為（ ） 7、（xx?畢節(jié)地區(qū)）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BC相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于（ ） 8、（xx?十堰）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足為點E，連接AC交DE于點F，點G為AF的中點，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，則DE的長為（　?。? 9、（xx年浙江嘉興）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AD=4cm，點E，F(xiàn)分別是CD和AB的中點，現(xiàn)將這張紙片折疊，使點B落在EF上的點G處，折痕為AH，若HG延長線恰好經(jīng)過點D，則CD的長為（　?。? 10（xx?蘇州）如圖，在矩形ABCD中，=，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交邊AD于點E．若AE?ED=，則矩形ABCD的面積為　　． 11、（xx年江蘇南京）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，過點E作EF∥AB，交BC于點F． （1）求證：四邊形DBFE是平行四邊形； （2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形DBEF是菱形？為什么？ 12、（xx?白銀）D、E分別是不等邊三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的邊AB、AC的中點．O是△ABC所在平面上的動點，連接OB、OC，點G、F分別是OB、OC的中點，順次連接點D、G、F、E． （1）如圖，當點O在△ABC的內(nèi)部時，求證：四邊形DGFE是平行四邊形； （2）若四邊形DGFE是菱形，則OA與BC應滿足怎樣的數(shù)量關系？（直接寫出答案，不需要說明理由．） 五、課后反饋 1. 如圖：矩形紙片ABCD，AB=2，點E在BC上，且AE=EC，若將紙片沿AE折疊，點B恰好落在AC上，則AC的長是__________. 2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．過對角線交點Ｏ作OEAC交AD于E，則AE的長是( ) A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4 3 .如圖所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，點E是折線段A－D－C上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關于BE的對稱點．在點E運動的過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有( ) B A D 4題圖 C 1題圖 2題圖 A B C D P E 3題圖 A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 4 .如圖，菱形ABCD的周長是16，∠A=60，則對角線BD的長度為（ ） A．2 　　　B．　　　C． 4　　　D． 5.下列命題是真命題的是（　?。? A．對角線相等的四邊形是矩形　　　　　　　　B．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C．四個角是直角的四邊形是正方形　　　　　　D．對角線相等的梯形是等腰梯形 6. 如圖，∠MON=90，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運動過程中，點D到點O的最大距離為（ ） A．　　　B．　　　C． 　　　D． 7. 如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=6，BC=8，以其三邊為直徑向三角形外作三個半圓，矩形EFGH的各邊分別與半圓相切且平行于AB或BC，則矩形EFGH的周長是 ． 6題圖 7題圖 8 .如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2 3 ，AC，BD相交于點O． （1）求邊AB的長； （2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G． ①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由； ③ 轉(zhuǎn)過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長． A B C D 第9題圖 l1 l2 l3 l4 9. .已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰的兩條平行直線間的距離均 為h，矩形ABCD的四個頂點分別在這四條直線上，放置 方式如圖所示，AB＝4，BC＝6，則tan的值等于 A． B． C． D． 10.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝4，∠AOD＝120， A B D C O 第10題圖 求AC的長. 11. 如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠ABC＝67.5，△ABD和△ABC關于AB所在的直線對稱，點M為邊AC上的一個動點（不與點A，C重合），點M關于AB所在直線的對稱點為N，△CMN的面積為S． （1）求∠CAD的度數(shù)； （2）設CM＝x，求S與x的函數(shù)表達式，并求x為何值時S的值最大？ C A M N D B 第11題圖1 C A M N D B 第11題圖2 E （3）S的值最大時，過點C作EC⊥AC交AB的延長線于點E，連接EN（如圖2）．P為線段EN上一點，Q為平面內(nèi)一點，當以M，N，P，Q為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出所有滿足條件的NP的長． A B C D E ．O 第12題圖 12.如圖，的半徑為1，是的內(nèi)接等邊三角形， 點D，E在圓上，四邊形為矩形，這個矩形的面積是 A．2 　　 B． C． 　　　 D． 13、 （1）如圖，在四邊形是矩形，點E是AD的中點，求證： （2）如圖，AB與相切于C，，的半徑為6，AB＝16，求OA的長. A B C D E 第13題（1）圖