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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 專題5 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí) 一、前測(cè)訓(xùn)練 1．(1)若tanα＝，α∈(π，π)，則sinα＝ ，cosα＝ ． 答案：－；－ (2)已知tana ＝2，則＝ ，sin2a－2sinacosa＋2＝ ． 答案：；2 (3)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，則cosα－sinα＝ ，tanα＝ ． 答案：；－ 2． (1) 函數(shù)的定義域?yàn)? ． 答案：[kπ＋ ，kπ＋] (2) 函數(shù)的值域?yàn)? ． 答案：[－ ，1] (3) 函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為 ． 答案：[＋，＋] (4)函數(shù) 的對(duì)稱軸為 ；中心對(duì)稱點(diǎn)為 ． 答案：x＝＋；(－，0) 3．(1)函數(shù)y＝2sin2x＋sinxcosx ＋3 cos2x的值域?yàn)? ． 答案：[，] (2)函數(shù)y＝4sin2x－12cosx－1 x [－ ， ]的值域?yàn)? ． 答案：[－13，8] (3)函數(shù)y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2(x∈[0，π])的值域?yàn)? ． 答案：[，3＋] (4)函數(shù)y＝的值域?yàn)? ． 答案：[0，＋∞) 提示：方法一：看作斜率，數(shù)形結(jié)合處理； 方法二：導(dǎo)數(shù)法處理． 4．(1)已知函數(shù)y＝Asin(2x＋φ)的對(duì)稱軸為x＝，則φ的值為 ． 答案：kπ＋ (2)已知函數(shù)y＝cos(2x＋φ)為奇函數(shù)，求φ的值為 ． 答案：kπ＋ 5．已知函數(shù)(其中)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為，則的解析式 ． 答案：f(x)＝2sin(2x＋) 二、方法聯(lián)想 1．三角函數(shù)求值 (1) 知一求其余三角函數(shù)值； (2)關(guān)于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構(gòu)造齊次． (3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα間關(guān)系式 sinα＋cosα sinα－cosα sinαcosα sinα和cosα tanα sin2α 注意 根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值正負(fù)．無(wú)法確定正負(fù)時(shí)可根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)(或與特殊角的三角函數(shù)值)縮小角的范圍． 2．y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì) 對(duì)于y＝Asin(ωx＋φ)，將ωx＋φ看成整體，轉(zhuǎn)化為由y＝sinx，解決其定義域、值域、對(duì)稱軸、中心對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題． 形如y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx的形式 方法 先利用降冪公式化為一次形式，將用輔助角公式化為y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域． 形如①含有sin2x，cosx(或sinx)和cos2x，sinx(或cosx)形式；②含有sinxcosx，sinxcosx 方法 利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問(wèn)題． 形如分子、分母含有sinx，cosx的一次形式 方法1 化為sin(ωx＋φ)＝M形式，再得用三角函數(shù)的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域． 方法2 導(dǎo)數(shù)法 3．求f(x)＝Asin(wx＋j)＋B(A＞0)的解析式 方法 (1)由周期T＝得w； (2)由得 (3)將點(diǎn)代入求j(盡量代入最高點(diǎn)或最低點(diǎn))． 4．三角函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題 方法 對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) ①若x＝x0為對(duì)稱軸f(x0)＝A． ②若(x0，0)為中心對(duì)稱點(diǎn)f(x0)＝0． 推論：對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) ①若函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)f(0)＝A． ②若函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)f(0)＝0． 三、例題分析 [第一層次] 例1、已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)． (1)求φ的值； (2)求ω的值． 解：(1)φ＝． (2)ω＝或2. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，說(shuō)明f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)＝sinφ ＝1，從而有φ＝kπ＋，這個(gè)結(jié)論要讓學(xué)生理解并推理，不需要記憶． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象中心對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出ω的值． 例2、設(shè)函數(shù)． (1)求的最小正周期． (2)若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)的最大值． 解：(1)的最小正周期為8． (2)最大值為．　　 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問(wèn)題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用展開、降冪等方法“化一”． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)的最值問(wèn)題 常用的方法有①化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)形式；②通過(guò)換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理． 方法選擇與優(yōu)化建議： 由第一問(wèn)知道，本題可以化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)形式，所以選擇①方便． 例3、某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A，B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB＝20km，CB ＝10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上(含邊界)，且A，B 與等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km． (1)設(shè)∠BAO＝(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式； (2)請(qǐng)你選用(1)中的函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短． 解 (1) (2)點(diǎn)P 位于線段AB 的中垂線上，且距離AB 邊km處． 〖教學(xué)建議〗 (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)的最值問(wèn)題 化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)形式，或者通過(guò)換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)等方法都無(wú)法解決函數(shù)的最值問(wèn)題． 方法選擇與優(yōu)化建議： 選擇利用導(dǎo)數(shù)法求最值． [第二層次] 例1 已知函數(shù)． (1)若，求的最大值和最小值； (2)若，求的值． 解　(1) ． (2)2－． 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問(wèn)題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用輔助角的方法“化一”，在求最值得時(shí)候特別要注意角的范圍，要防止學(xué)生只是將兩個(gè)端點(diǎn)代入計(jì)算． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)求值 ①知一求其余三角函數(shù)值； ②關(guān)于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構(gòu)造齊次． 方法選擇與優(yōu)化建議： 對(duì)于方法①，從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于題目沒有給定角x的范圍，所以采用這個(gè)方法的話，就需要分類討論，解決起來(lái)比較麻煩，不宜采用． 由于可以化為sinα與cosα的齊次式，所以選擇②方便． 例2 已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα， 5sinα－4cosα)，α∈()，且a⊥b． (1)求tanα的值； (2)求cos()的值． 解 (1) tanα＝－． (2) ． 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)求值 ①知一求其余三角函數(shù)值； ②關(guān)于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構(gòu)造齊次． 方法選擇與優(yōu)化建議： a⊥b化簡(jiǎn)后得到sinα與cosα的齊次式，同除以cos2a求得tanα值，所以選擇方法②方便． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角變換問(wèn)題 方法選擇與優(yōu)化建議： 注意條件已知角與未知角之間的聯(lián)系，從α化到 例3 已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)． (1)求φ的值； (2)求ω的值． 解 (1)φ＝． (2)ω＝或2. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，說(shuō)明f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)＝sinφ ＝1，從而有φ＝kπ＋，這個(gè)結(jié)論要讓學(xué)生理解并推理，不需要記憶． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象中心對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出ω的值． [第三層次] 例1 已知函數(shù)． (1)若，求的最大值和最小值； (2)若，求的值． 解　(1) ． (2)2－． 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問(wèn)題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用輔助角的方法“化一”，在求最值得時(shí)候特別要注意角的范圍，要防止學(xué)生只是將兩個(gè)端點(diǎn)代入計(jì)算． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)求值 ①知一求其余三角函數(shù)值； ②關(guān)于sinα與cosα的齊次式，同除cosa或cos2a，如果不是齊次，借助1＝sin2α＋cos2α構(gòu)造齊次． 方法選擇與優(yōu)化建議： 對(duì)于方法①，從已知的tanx值可以求得sinx、cosx的值，但是由于題目沒有給定角x的范圍，所以采用這個(gè)方法的話，就需要分類討論，解決起來(lái)比較麻煩，不宜采用． 由于可以化為sinα與cosα的齊次式，所以選擇②方便． 例2 設(shè)函數(shù)． (1)求的最小正周期． (2)若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求當(dāng)時(shí)的最大值． 解 (1)的最小正周期為8． (2)最大值為．　　 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)的問(wèn)題 化為y＝Asin(ωx＋φ)形式，使得函數(shù)式中只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 采用展開、降冪等方法“化一”． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 求三角函數(shù)的最值問(wèn)題 常用的方法有①化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)形式；②通過(guò)換元等辦法將函數(shù)化為二次函數(shù)處理． 方法選擇與優(yōu)化建議： 由第一問(wèn)知道，本題可以化為只含有一個(gè)一次的三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)形式，所以選擇①方便． 例3 已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)． (1)求φ的值； (2)求ω的值． 解（1）φ＝； （2）ω＝或2. 〖教學(xué)建議〗 (1)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象軸對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，說(shuō)明f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f(x)為偶函數(shù)很容易得到f(0)＝sinφ ＝1，從而有φ＝kπ＋，這個(gè)結(jié)論要讓學(xué)生理解并推理，不需要記憶． (2)主要問(wèn)題歸類與方法： 三角函數(shù)圖象中心對(duì)稱問(wèn)題 函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)圖象關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱． 方法選擇與優(yōu)化建議： 從f＝0，可以得到cos＝0，于是＝kπ＋，ω＝k＋(k∈Z)．再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)出ω的值． 四、反饋練習(xí)