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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 期中試卷 文 人教實(shí)驗(yàn)B版 一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分） 1. 方程的兩個(gè)根可分別作為（　　） A. 一橢圓和一雙曲線的離心率 B. 兩拋物線的離心率 C. 一橢圓和一拋物線的離心率 D. 兩橢圓的離心率 2、橢圓的焦距是它的兩條準(zhǔn)線間距離的，則它的離心率為（　?。? A. B. 　　 C. 　　 D. 3、若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（　　） A. B. C. D. 4、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上一點(diǎn)P（m，－3）到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線的準(zhǔn)線方程是（　?。? A. y＝4　 B. y＝－4　 C. y＝2　 D. y＝－2 5、是雙曲線上一點(diǎn)，、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，那么的值為（ ） A. 1 B. 1或 33 C. 33 D. 31 6、若橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，而是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的值是（　?。? A. 　　 B. C. D. 7、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為（0，5）的橢圓被直線3x－y－2＝0截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則橢圓方程為（ ） 8、已知F1、F2是雙曲線的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是 （ ） A. B. C. D. 二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分） 9、已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____________________。 10、已知橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），則的值為_(kāi)________。 11、在拋物線y2＝16x內(nèi)，通過(guò)點(diǎn)（2，1）且在此點(diǎn)被平分的弦所在直線的方程是_________。 12、已知雙曲線 的右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線上的左支上且 ，則的大小為_(kāi)________。 三、解答題（本大題共4題，共40分） 13、過(guò)右焦點(diǎn)的弦 MN長(zhǎng)為5，右頂點(diǎn)為A2。求△A2MN的面積． 14、已知圓C1的方程為（x－2）2＋（y－1）2＝，橢圓C2的方程為＝1（a＞b＞0），C2的離心率為，如果C1與C2相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程。 15、如圖，、為圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，為垂直于軸的弦，且與的交點(diǎn)為。 （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于軸右邊不同兩點(diǎn)、，且，求直線的方程。 16、過(guò)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的定點(diǎn)，作直線與拋物線相交于兩點(diǎn)。 （1）試證明兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值； （2）若點(diǎn)是定直線上的任一點(diǎn)，試探索三條直線的斜率之間的關(guān)系，并給出證明。 【試題答案】 一、選擇題 1、提示：方程的兩個(gè)根分別為2，，故選A 2、提示：依題意有,∴,故選B 3、提示：橢圓的右焦點(diǎn)為（2,0），所以拋物線的焦點(diǎn)為（2,0），則，故選D 4、提示：依題意準(zhǔn)線方程為y＝,且－（－3）＝5，∴＝2，故選C。 5、分析：利用雙曲線的定義求解． 解：在雙曲線中，，，故． 由是雙曲線上一點(diǎn)，得． ∴或． 又，得．故選C 說(shuō)明：本題容易忽視這一條件，而得出錯(cuò)誤的結(jié)論或． 6、分析：橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，在橢圓上又在雙曲線上，可根據(jù)定義得到和的關(guān)系式，再變形得結(jié)果． 解：因?yàn)樵跈E圓上，所以． 又在雙曲線上，所以． 兩式平方相減，得，故．故選A． 說(shuō)明：（1）本題的方法是根據(jù)定義找與的關(guān)系．（2）注意方程的形式，、是，、是． 7、提示：由題意，可設(shè)橢圓方程為：＝1，且a2＝50＋b2，即方程為＝1。將直線3x－y－2＝0代入，整理成關(guān)于x的二次方程．由x1＋x2＝1可求得b2＝25，a2＝75。故選C 8、提示：設(shè)M F與雙曲線的交點(diǎn)為P，焦點(diǎn)F（－c，0），F(xiàn)2（c，0），由平面幾何知識(shí)知：F2P⊥FM，又|FF2|＝2c 于是 |PF2| ＝2csin60＝c |PF1| ＝c 故 2a＝ |PF2| －|PF1| ＝c－c ＝（ －1）c ∴e＝ ＝＋1.故選D 二、填空題 9、解：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則焦點(diǎn)在x軸上，且a＝3，焦距與虛軸長(zhǎng)之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是。 10、解：方程變形為 ． 　　因?yàn)榻裹c(diǎn)在 軸上，所以 ，解得 ． 　　又 ，所以 ， ，滿足條件，故 ． 11、提示：設(shè)所求直線與y2＝16x相交于點(diǎn)A、B，且A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入拋物線方程得y12＝16x1，y22＝16x2，兩式相減得， （y1＋y2）（y1－y2）＝16（x1－x2）。 即kAB＝8。 故所求直線的方程為y＝8x－15。 12、解：∵點(diǎn) 在雙曲線的左支上 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∵ 　　∴ 三、解答題 13、的右焦點(diǎn)為F2（5，0），右頂點(diǎn)為A2（4，0）． （9k2－16）y2＋90ky＋81＝0， 此方程有兩不等實(shí)根y1，y2的條件是9k2－16≠0且Δ＞0． 由此知。且由韋達(dá)定理知 由已知|MN|＝5，故 又A2到MN的距離 故△A2MN的面積為 求面積． 14、解：由e＝，可設(shè)橢圓方程為＝1， 又設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 又＝1，兩式相減， 得＝0， 即（x1＋x2）（x1－x2）＋2（y1＋y2）（y1－y2）＝0 化簡(jiǎn)得＝－1， 故直線AB的方程為y＝－x＋3， 把y＝－x＋3代入橢圓方程得3x2－12x＋18－2b2＝0。 有Δ＝24b2－72＞0， 又|AB|＝， 得，解得b2＝8。 故所求橢圓C2的方程為＝1。 15、解：（1）由圖可知。 設(shè)，則 ②③可得，由可得， 。 （2）設(shè)直線的方程為則 消去可得。 直線交雙曲線的右支于不同的兩點(diǎn)，， 解得。 。 消去可得（舍正），， 所求直線的方程為。 16、（1）證明：設(shè) 有，下證之： 設(shè)直線的方程為：與聯(lián)立得 消去得 由韋達(dá)定理得， （2）解：三條直線的斜率成等差數(shù)列，下證之： 設(shè)點(diǎn)，則直線的斜率為; 直線的斜率為 又直線的斜率為 即直線的斜率成等差數(shù)列。