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2019-2020 年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題 文(II) 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的． 1．已知集合 ，集合 A． B． C． D． 2、已知復(fù)數(shù) z 滿足為虛數(shù)單位） ，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、數(shù)列滿足,,且前項(xiàng)之和等于,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式（ ） A． B． C． D． 4、已知實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，且曲線的極大值點(diǎn)坐標(biāo)為，則 等于（ ） A. B． C． D． 5.命題：“若，滿足約束條件 021xy??????? ，則的最大值是 5”，命題：“” ，則下列命題為真 的是（ ） A. B． C． D． 6、 “雙曲線的漸近線為”是“橢圓的離心率為”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必 要條件 7、已知 ，若，則的值是 ( )??? ????,14,)(23xxf A． B． C． D． 或 10 8、定義在 R 上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，都有. 則下列結(jié)論正確的是 ( ) A． 5log)2()3.0(23.0fff? B．.5log.2 C． )()()(3.02fff D．l3.0.2? 9、當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的 x 不小于 103 的概率是 ( ) A． B． C． D． 10、已知定義在的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)， ，則（ ） A． B． C． D． 11．某幾何體的三視圖如圖，其頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，球 O 的表面積是（ ） A． B． C． D． 12、已知雙曲線 21(0,)xyabab??? 的左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線上存在點(diǎn) P， 使 122sinsincPFF??，則該雙曲線離心率的取值范圍為( ) A． B． C． D． 二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分． ） 13、若函數(shù) 的定義域?yàn)? ．??lg28lo2??xf 14、若冪函數(shù)是上的奇函數(shù)，則的值域?yàn)? . 15、已知圓 C 的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.直線 與圓 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，且|AB|=6,則圓 C 的方程為 . 16．已知（為常數(shù)） ，若對(duì)任意都有，則方程=0 在區(qū)間內(nèi)的解為 三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． ） 17．(本題滿分１２分) 已知函數(shù) ()2cos()3sin2fxx??? （1）求函數(shù)的最小正周期和最大值； （2）設(shè)的三內(nèi)角分別是 A、B、C. 若，且,求邊和的值. 18、 （本小題滿分 12 分）xx 年“五一節(jié)”期間，高速公路車輛較多，交警部門通過路面監(jiān)控 裝置抽樣調(diào)查某一山區(qū)路段汽車行駛速度，采用的方法是：按到達(dá) 監(jiān)控點(diǎn)先后順序，每隔 50 輛抽取一輛，總共抽取 120 輛，分別記 下其行車速度，將行車速度（km/h）分成七段[60，65） ，[65，70） ， [70，75） ，[75，80） ，[80，85） ，[85，90） ， [90，95）后得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)圖解答下列問題： （Ⅰ）求 a 的值，并說明交警部門采用的是什么抽樣方法？ （Ⅱ）求這 120 輛車行駛速度的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值（精確到 0.1） ； （Ⅲ）若該路段的車速達(dá)到或超過 90km/h 即視為超速行駛，試根據(jù)樣本估計(jì)該路段車輛超 速行駛的概率. 19． （12 分） 如圖 1，在四棱錐中，底面，底面為正方形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)．該 四棱錐的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖 2 所示． （1）求四面體的體積； （2）證明：∥平面； （3）證明：平面平面． 20、（本小題滿分 12 分）已知函數(shù)，. （I）若函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （II）證明：若，則對(duì)于任意有. 21、 （本小題滿分 12 分）設(shè)橢圓 2:1(0)xyCaba??? 的離心率，右焦點(diǎn)到直線的距 離，為坐標(biāo)原點(diǎn). （I）求橢圓的方程； （II）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于、兩點(diǎn)，證明點(diǎn)到直線的距離為定值， 并求弦長(zhǎng)度的最小值. 請(qǐng)考生在第 22、23、24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)請(qǐng) 寫清題號(hào)． 22、（本小題滿分 10 分）如圖，設(shè) AB 為⊙O 的任一條不與直線垂直的直徑，P 是⊙O 與的 公共點(diǎn)， AC⊥，BD⊥，垂足分別為 C，D，且 PC=PD． （Ⅰ）求證：是⊙O 的切線； （Ⅱ）若⊙O 的半徑 OA=5，AC=4，求 CD 的長(zhǎng)． 23． （10 分）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) P（，1） ，直線 l 的 參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)） ，若以 O 為極點(diǎn)，以 Ox 為極軸，選擇相同的單位長(zhǎng)度建 立極坐標(biāo)系，則曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 ρ=cos（θ﹣） （Ⅰ）求直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)直線 l 與曲線 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，求點(diǎn) P 到 A，B 兩點(diǎn)的距離之積． 24、（本小題滿分 10 分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 一、選擇題： CABBC ADACD CD 二、填空題： 13. 14. 15. 或 3、解答題： 17．(本題滿分１２分) 解：（1） 132(cos)sin2)sin2cosfxxx?????? ……………………3 分 所以，的最小正周期 …………………………………………………………4 分 當(dāng)時(shí)，即，, 最大值是. ………………………6 分 （2） 得，C 是三角形內(nèi)角， …………………………8 分 由余弦定理： 2 2cos13cos3ABCABC??????????? ＝ ……………………………………………………………………10 分 由正弦定理： ＝ , 得 …………12 分 （18） （本小題滿分 12 分） （I）由圖知：（ a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）5=1，∴ a=0.06，該抽樣方法是系 統(tǒng)抽樣； ……4 分 （II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴眾數(shù)為 77.5； ∵前三個(gè)小矩形的面積和為 0.0055+0.0205+0.0405=0.325，第四個(gè)小矩形的面 積為 0.065=0.3， ∴中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為 75+x，則 0.325+0.06x=0.5?x≈2.9， ∴數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 77.9 ………………………………………………8 分 （III）樣本中車速在[90，95）有 0.0055120=3（輛） ， ∴估計(jì)該路段車輛超速的概率 P=． ……………………………………12 分 19． （本小題滿分 12 分） （1）證明：（Ⅰ）解：由左視圖可得 為的中點(diǎn)， 所以 △的面積為 ．………………1 分 因?yàn)槠矫妫? ………………2 分 所以四面體的體積為 ………………3 分 ． ………………4 分 （2）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)， ． ………………5 分 由正（主）視圖可得 為的中點(diǎn)，所以∥， ． ………6 分 又因?yàn)椤危?， 所以∥， ． 所以四邊形為平行四邊形，所以∥． ………………7 分 因?yàn)?平面，平面， 所以 直線∥平面． …………… ………………8 分 （3）證明：因?yàn)?平面，所以 ． 因?yàn)槊鏋檎叫?，所?． 所以 平面． …………… ………………9 分 因?yàn)?平面，所以 ． 因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以 ． 所以 平面． ……………………………10 分 因?yàn)?∥，所以平面． ………………11 分 因?yàn)?平面， 所以 平面平面. ………………12 分 （20） （本小題滿分 12 分） （I）解析：函數(shù)的定義域?yàn)?????2+12+1()axafx???? 令， 因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，說明或恒成立，……………2 分 即的符號(hào)大于等于零或小于等于零恒成立， 當(dāng)時(shí)， ， ，在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)， 只需，即，不符合要求； 當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)， 只需即可，即，解得， 此時(shí)在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)；……………4 分 綜上所述………………5 分 （II） 2211()()gxx??? 在區(qū)間單調(diào)遞增， 不妨設(shè)，則，則 等價(jià)于 1212()()()fxfgx? 等價(jià)于 112()()+fxgfxg??………………7 分 設(shè) ??+1ln()nfax??? ， 解法一：則 22(1)2(1)() ()2(1)aanxxa?????????? ， 由于，故，即在上單調(diào)增加，……………10 分 從而當(dāng)時(shí)，有 112()()+fxgfxg?成立，命題得證！………………12 分 解法二：則 2(1)2()=aaxn????? 令 2()(1)()pxx?2867()10aaa??????? 即 2()()()0 xx?? 在恒成立 說明，即在上單調(diào)增加，………………10 分 從而當(dāng)時(shí)，有 112()()+fgfxg成立，命題得證！………………12 分 （21） （本小題滿分 12 分） （I）由題意得，∴，∴………………….1 分 由題意得橢圓的右焦點(diǎn)到直線即的距離為 22231274cbcadc????? ，∴……………………3 分 ∴，∴橢圓 C 的方程為…………………………….4 分 （II）(i)當(dāng)直線 AB 斜率不存在時(shí)，直線 AB 方程為， 此時(shí)原點(diǎn)與直線 AB 的距離…………………………………………… 5 分 (ii)當(dāng)直線 AB 斜率存在時(shí)，設(shè)直線 AB 的方程為， 直線 AB 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立得 2143ykxm?????? ， 消去得 22(34)8410kxm???? ， ， ……………..….…..….6 分 ， 由， 22111()ykxx?? ， ∴ 222()0m? 整理得，∴， 故 O 到直線 AB 的距離 22(1)72171kdk??? 綜上：O 到直線 AB 的距離定值 ………………………………………………9 分 , 22ABOAB?????，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào). ∴， 又由等面積法知， ∴,有即弦 AB 的長(zhǎng)度的最小值是 ………………..12 分 （22） （本小題滿分 10 分） （Ⅰ）證明：連接 OP，因?yàn)?AC⊥l，BD⊥l， 所以 AC∥BD． 又 OA=OB，PC=PD， 所以 OP∥BD，從而 OP⊥l． 因?yàn)?P 在⊙O 上，所以 l 是⊙O 的切線． ………..….………..…………..…..…………..5 分 （Ⅱ）解：由上知 OP=（AC+BD）， 所以 BD=2OP﹣AC=6， 過點(diǎn) A 作 AE⊥BD，垂足為 E，則 BE=BD﹣AC=6﹣4=2， 在 Rt△ABE 中，AE==4，∴CD=4．………………………………………….10 分 （23） （本小題滿分 10 分） 解：（I）由直線 l 的參數(shù)方程 ，消去參數(shù) t，可得=0； 由曲線 C 的極坐標(biāo)方程 ρ=cos（θ﹣）展開為 ， 化為 ρ 2=ρcosθ+ρsinθ， ∴曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為 x2+y2=x+y，即=．…………5 分 （II）把直線 l 的參數(shù)方程 代入圓的方程可得=0， ∵點(diǎn) P（，1）在直線 l 上，∴|PA||PB|=|t 1t2|=．…………10 分 （24） （本小題滿分 10 分） （Ⅰ）由 ()2136fxx????得 解得 ∴不等式的解集為．………………………………….4 分 （Ⅱ）∵ ()21321(3)4fxxx???????即的最小值等于 4，….6 分 由題可知|a﹣1|＞4，解此不等式得 a＜﹣3 或 a＞5． 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞） ．…………………………………10 分