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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 電子題庫 第2章2.4.2知能演練輕松闖關(guān) 蘇教版選修1-1 經(jīng)過拋物線y2＝2x的焦點且平行于直線3x－2y＋5＝0的直線的方程是________． 解析：據(jù)題意設(shè)所求平行直線方程為3x－2y＋c＝0，又直線過拋物線y2＝2x的焦點，代入求得c＝－，故直線方程為6x－4y－3＝0. 答案：6x－4y－3＝0 設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，則拋物線的方程為________． 解析：當(dāng)m>0時，準(zhǔn)線方程為x＝－＝－2，∴m＝8，此時拋物線方程為y2＝8x； 當(dāng)m<0時，準(zhǔn)線方程為x＝－＝4，∴m＝－16，此時拋物線方程為y2＝－16x. ∴所求拋物線方程為y2＝8x或y2＝－16x. 答案：y2＝8x或y2＝－16x 已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點．若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________． 解析：設(shè)拋物線方程為y2＝2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則?y－y＝2p(x1－x2)， 即(y1＋y2)＝2p?2p＝14?p＝2. 故y2＝4x. 答案：y2＝4x 拋物線y2＝4x的焦點為F，過F且傾斜角等于的直線與拋物線在x軸上方的曲線交于點A，則AF的長為________． 解析：由已知可得直線AF的方程為y＝(x－1)， 聯(lián)立直線與拋物線方程消元得：3x2－10x＋3＝0，解之得：x1＝3，x2＝(據(jù)題意應(yīng)舍去)， 由拋物線定義可得：AF＝x1＋＝3＋1＝4. 答案：4 [A級　基礎(chǔ)達標(biāo)] 已知拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝1，則a的值為________． 解析：∵拋物線y＝ax2，∴x2＝y(tǒng)的準(zhǔn)線方程是y＝－，依題意得－＝1，∴a＝－. 答案：－ 拋物線y2＝24ax(a>0)上有一點M，它的橫坐標(biāo)是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________． 解析：由題意知，3＋6a＝5，∴a＝，∴拋物線方程為y2＝8x. 答案：y2＝8x 若拋物線y2＝2x上的一點M到坐標(biāo)原點O的距離為，則M到該拋物線焦點的距離為________． 解析：依題意，設(shè)點M(x，y)，其中x>0，則有，由此解得x＝1，又該拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－，結(jié)合拋物線的定義，點M到該拋物線的焦點的距離等于1＋＝. 答案： 直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，則梯形APQB的面積為________． 解析：直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，聯(lián)立方程組得，消元得x2－10x＋9＝0，解得，和，∴AP＝10，BQ＝2，PQ＝8，∴梯形APQB的面積為48. 答案：48 如圖，圓形花壇水池中央有一噴泉，水管OP＝1 m，水從噴頭P噴出后呈拋物線狀，先向上至最高點后落下，若最高點距水面2 m，P距拋物線對稱軸1 m，則為使水不落到池外，水池直徑最小為________m. 解析： 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則P(－1，－1)，代入拋物線方程得p＝，拋物線x2＝－y，代點(x，－2)，得x＝，即水池半徑最小為r＝(1＋)m，水池直徑最小為2r＝(2＋2)m. 答案：2＋2 已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過點F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：由題意，拋物線方程為y2＝2px(p≠0)， 焦點F，直線l：x＝， ∴A、B兩點坐標(biāo)為，， ∴AB＝2|p|. ∵△OAB的面積為4， ∴2|p|＝4，∴p＝2. ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x. 過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點F作傾斜角為30的直線，與拋物線分別交于A、B兩點(點A在y軸左側(cè))，求的值． 解：直線方程為y－＝x， 則x＝，代入拋物線x2＝2py， 得3y2－5py＋＝0， 解得y1＝，y2＝， 根據(jù)拋物線的定義得＝＝. [B級　能力提升] 等腰直角三角形OAB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O是拋物線的頂點，OA⊥OB，則△OAB的面積為________． 解析：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則y＝2px1，y＝2px2，由OA＝OB，則x＋y＝x＋y， ∴x－x＋2px1－2px2＝0，即(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0， ∵x1>0，x2>0，2p>0， ∴x1＝x2，即A、B關(guān)于x軸對稱． 故直線OA的方程為：y＝xtan45，即y＝x.由，解得，或，故AB＝4p，等腰三角形OAB的面積為2p4p＝4p2. 答案：4p2 對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；④拋物線的通徑的長為5； ⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2，1)． 其中能得出拋物線方程為y2＝10x的條件是________(要求填寫合適條件的序號)． 解析：在①②兩個條件中，應(yīng)選擇②，則由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)；對于③，由焦半徑公式r＝1＋＝6，∴p＝10，此時y2＝20x，不符合條件； 對于④，2p＝5，此時y2＝5x，不符合題意； 對于⑤，設(shè)焦點為，則由題意，滿足＝－1.解得p＝5，此時y2＝10x，所以②⑤能使拋物線方程為y2＝10x. 答案：②⑤ 某河上有座拋物線形拱橋，當(dāng)水面距頂5 m時，水面寬為8 m，一木船寬4 m高2 m，載貨后木船露在水面上的部分高為 m，問水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？ 解： 如圖所示建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，過點(4，－5)， ∴16＝－2p(－5)，∴2p＝， ∴拋物線方程為x2＝－y，x＝2時，y＝－， ∴相距為＋＝2時不能通行． (創(chuàng)新題)已知拋物線y2＝2px的焦點為F，過F的直線交拋物線于A、B兩點．若A、B在拋物線準(zhǔn)線l上的投影分別為A′、B′，求∠A′FB′的大小． 解：由定義知AF＝AA′，BF＝BB′， ∴∠AA′F＝∠A′FA， ∠FB′B＝∠B′FB. 又∵∠BB′F＝∠B′FM，(如圖) ∠AA′F＝∠A′FM， ∴∠B′FM＝∠B′FB，∠A′FM＝∠A′FA， ∴∠A′FM＋∠B′FM＝∠B′FB＋∠A′FA， ∴∠A′FM＋∠B′FM＝90， ∴∠A′FB′＝90.