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2019-2020年高三數(shù)學一輪總復習 專題十一 直線和圓的方程（含解析） 抓住4個高考重點 重點1 直線的方程 1．求直線的斜率及傾斜角的范圍 2．求直線的方程 [高考?？冀嵌萞 角度1 設(shè)為曲線上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 解析：，本題考查直線的傾斜角與斜率以及導數(shù)幾何意義的應用. 切線的斜率，設(shè)切點為，于是，故選A 角度2 若過點的直線與曲線：有公共點，則直線的斜率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 解析： 本題考查直線與曲線的位置關(guān)系，直線的斜率． 方法一：設(shè)過的直線的方程為，即（注：當不存在時，不滿足題意）． 直線與圓有公共點，則，故選． 方法二：如圖， 因此 故選 角度3 直線過點且與直線垂直，則的方程是（ ） A. B. C. D. 解析：本題主要考查直線的方程的求解和兩直線垂直時斜率的關(guān)系． 方法一：由直線與直線垂直，可知直線的斜率是，由點斜式可得直線的方程為，即，故選A 方法二：由直線與直線垂直，可設(shè)直線的方程為， 又直線過點，所以，故直線的方程為，選A 重點2 兩條直線的位置關(guān)系 1.兩直線平行與垂直問題的解決策略 2.兩條直線的交點 3.點到直線的距離、兩條平行線的距離 [高考?？冀嵌萞 角度1 已知，若平面內(nèi)三點共線，則_______ 解析：由已知，三點共線，所以 角度2 經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是__________________ 解析：由圓方程，圓心為 所求直線的斜率為，方程為，即 角度3已知圓過點，且圓心在軸的正半軸上，直線被圓所截得的弦長為，則過圓心且與直線垂直的直線的方程為 . 解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為，設(shè)圓心坐標為，則由題意知： ，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以， 故圓心坐標為，因為圓心在所求的直線上，所以有， 故所求的直線方程為 點評：本題考查了直線的方程、點到直線的距離、直線與圓的關(guān)系，考查了學生解決直線與圓問題的能力。 重點3 圓的方程 1.圓的標準方程、一般方程 2.利用幾何性質(zhì)求解圓的方程 [高考常考角度] 角度1以拋物線的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為( D ) A． B． C． D． 解析：因為已知拋物線的焦點坐標為，即所求圓的圓心，又圓過原點，所以圓的半徑為， 故所求圓的方程為，即，故選D。 點評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)以及圓的方程的求法，屬基礎(chǔ)題。 角度2過點的圓與直線相切于點，則圓的方程為_____________ 解析：設(shè)圓的方程為，則 解得，故所求圓的方程為. 點評：本題主要考查利用題意條件求解圓的方程，通常借助待定系數(shù)法求解. 重點4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 1.直線與圓的位置關(guān)系：（1）相交～，（2）相切～，（3）相離～， 2.圓與圓的位置關(guān)系：兩圓的圓心距為，半徑分別為（1）相離～，（2）外切～， （3）相交～，（4）內(nèi)切～，（5）內(nèi)含～，（6）同心～， [高考?？冀嵌萞 角度1 （xx.廣東）已知集合且且則的元素個數(shù)為（ ） A． B． C． D． 解析：集合表示圓心在原點的單位圓，集合表示過原點的直線，所以直線與圓有兩個交點，故選C 角度2在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則的最大值是 ． 點評：主要考查圓與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離 解析：∵圓C的方程可化為：，∴圓C的圓心為，半徑為1. ∵由題意，直線上至少存在一點，以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點； ∴存在，使得成立，即 ∵即為點到直線的距離，∴，解得. ∴的最大值是 角度3設(shè)圓與圓外切，與直線相切，則的圓心軌跡為（ A ） A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析：由已知，作圖分析可知，圓的圓心到點的距離與它到直線的距離相等， 則的圓心軌跡為拋物線，故選A 角度4 若曲線與曲線有三個不同的交點，則實數(shù)m的值是_________ 解析:本題綜合考查直線與圓的方程、圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，以及分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想． 由曲線，所以曲線是以點，為半徑的圓； 曲線則表示兩條直線，即軸與直線，顯然軸與圓有兩個交點，則直線與圓相切， 故圓心到直線的距離 突破4個高考難點 難點1 對稱問題的探究 1.中心對稱：（1）點與點關(guān)于點對稱 （2）直線與直線關(guān)于點對稱 2.軸對稱： （1）點與點關(guān)于直線對稱 （2）直線與直線關(guān)于直線對稱 典例 一條光線經(jīng)過點射向軸上一點又從反射到直線上的一點又從點反射回到點，則直線的方程為 解析：點關(guān)于軸的對稱點為，關(guān)于直線的對稱點為， 在直線上， 所以直線的方程為 難點2 過定點的直線系問題 典例1 已知直線的方程為，則該直線對于任意實數(shù)恒經(jīng)過的定點是___________ 解析：將方程整理為，這個方程對于任意實數(shù)恒成立， 必須滿足 解得且，故直線過定點 典例2 已知直線和直線與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使得這個四邊形面積最小的值為__________ 解析:直線的方程可化為，該直線系過定點， 與兩坐標軸的交點坐標是 直線的方程可化為，該直線系過定點， 與兩坐標軸的交點坐標是 如圖，所求四邊形是OBMC， 所以當時，四邊形面積最小． 難點3 與圓有關(guān)的最值問題 典例1 已知實數(shù)滿足方程 （1）求的最大值和最小值 （2）求的最大值和最小值 （3）求的最大值和最小值 解析：由為圓，其中圓心為 （1）可視為圓上一點與原點連線的斜率，設(shè)，其兩切線的斜率分別為最小值和最大值 由圖可知，切線斜率為 （2）可視為直線的縱截距，如圖，當直線與圓相切時，縱截距最大或者最小 此時，所以最小值為，最大值為 （3）表示圓上一點與原點的距離的平方，如圖可知， 在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處取得最小值和最大值. 可得圓心到原點的距離為， 因此 難點4 有關(guān)圓的弦長、中點弦問題的求解 典例1 已知點及圓. （1）若直線過點且被圓截得的線段長為，求直線的方程； （2）求過點的圓的弦的中點的軌跡方程. 解析：（1）方法一：如圖所示，是的中點， 圓方程可化為，圓心為，故，在中，可得 當直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為，即 點到直線的距離為： 此時直線的方程為． 當直線的斜率不存在時，方程為，則，解得， 滿足題意 故所求直線的方程為或． 方法二：當直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的斜率為，則直線的方程為， 由 ①， 設(shè)方程①的兩根為，則有 由弦長公式得 此時直線的方程為． 當直線的斜率不存在時，方程為，也滿足題意 故所求直線的方程為或． （2）設(shè)過點的圓的弦的中點為，則， 即 故所求軌跡方程為． 規(guī)避3個易失分點 易失分點1 忽視斜率不存在的情況 典例 已知求使的的值． 易失分提示：本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況． 解析：方法一 當直線斜率不存在，即時，有滿足 當直線斜率存在時， 故使使的的值的值為或． 方法二 由或，故使使的的值的值為或． 易失分點2 忽視零截距 典例 已知直線過點，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為_________________ 易失分提示:本題易出現(xiàn)的錯誤是忽視直線在兩坐標軸上的截距為零的情況，若直線在兩坐標軸上的截距為零， 則直線經(jīng)過坐標原點． 答案:或 解析：設(shè)直線在兩坐標軸上的截距為． 當時，直線過原點，因為直線過點，所以此時直線的方程為． 當時，設(shè)直線的方程為，則，則此時直線的方程為． 綜上知，所求直線的方程為或． 易失分點3 忽視圓存在的條件 典例 已知圓的方程為，過定點可作該圓的兩條切線，求的取值范圍． 易失分提示：解答此題時，易忽略作為圓的充要條件，從而致誤． 解析：圓的方程可變形為：，其中，即 ① 因為過定點可作該圓的兩條切線，所以點在圓外 ，即． ② 由①②可得：，故的取值范圍