2010年考研數(shù)學沖刺試卷 數(shù)學一 (卷一) 一.選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi). (1) 若函數(shù)和都在處不可導(dǎo)，則和在處 （A）一定都不可導(dǎo)； （B） 一定都可導(dǎo)； （C） 至少有一個可導(dǎo)； （D） 至多有一個可導(dǎo). [ ] （2） 設(shè)，則當時， 是的 （A） 低階無窮小 （B） 高階無窮小 （C） 等價無窮小 （D） 同階但非等價的無窮小 [ ] （3）曲線的漸近線有 A)1條 B) 2條 C) 3條 D)4條 [ ] （4） 設(shè)，則 （A） （B） （C） （D） [ ] （5） 設(shè)均是3維向量，則下列命題中正確的是 ① 若不能由線性表示，則必線性相關(guān). ② 若不能由線性表示，則必線性無關(guān). ③ 若線性相關(guān)，則必可由線性表示. ④ 若線性無關(guān)，則必可由線性表示. （A） ①② （B） ①③ （C）①④ （D） ②④ [ ] （6）設(shè)是可逆的實對稱矩陣，則二次型與 （A） 必有相同的標準型但未必有相同的規(guī)范形 （B） 必有相同的標準型和規(guī)范形 （C） 必有相同的規(guī)范形但未必有相同的標準形 （D） 既無相同的標準形有無相同的規(guī)范形 [ ] （7）一批零件共10件，其中有4件不合格品，每次從其中任取一個零件，取后不放回，直到取得一個合格品就不再取下去，則在三次內(nèi)取到合格品的概率為（ ） (A) (B) (C) (D) [ ] （8）設(shè)隨機變量與相互獨立，且服從區(qū)間上的均勻分布，的概率分布為，記為的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點的個數(shù)為（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 [ ] 二、填空題；9~14小題，每小題4分，共24分，把答案填在題中的橫線上. （9）= . (10) 函數(shù)在點處沿曲面在點處的外法線方向的方向?qū)?shù) （11） 設(shè)，其中是橢圓，則= . （12） 若的收斂域為，則 . （13）設(shè)矩陣，則的伴隨矩陣 . （14）在區(qū)間中隨機的取兩個數(shù)，則事件兩數(shù)滿足的概率為 。 三、解答題:15~23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. （15）（本題滿分10分） 已知曲線是滿足方程的有界函數(shù).求曲線與軸在內(nèi)所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積. （16）（本題滿分9分） 將在處展開為冪級數(shù). （17）（本題滿分10分） 設(shè)積分與路徑無關(guān)， 且，試計算的值. （18）（本題滿分10分） 設(shè), 證明：1) 方程在內(nèi)有唯一實根； 2) 求極限. （19）（本題滿分11分） 設(shè) （1） 設(shè)，證明存在并求之； （2） 討論級數(shù)的斂散性。 （20）（本題滿分11分） 已知矩陣，若非齊次線性方程組的通解為（為任意常數(shù)），令矩陣，試求線性方程組的通解. （21）（本題滿分11分） 設(shè)有數(shù)列滿足下列遞歸公式： （Ⅰ） 若令，試求矩陣； （Ⅱ） 試利用矩陣對角化方法，求出該數(shù)列通項的顯式表達式； （Ⅲ） 求極限. （22）（本題滿分11分） 設(shè)隨機變量相互獨立，，，令，試求（I）的概率密度；（II）。 （23）（本題滿分11分） 設(shè)總體的概率密度為，是總體 的一個樣本，試求 （I）的最大似然估計量； （II）問是否是無偏估計量，為什么？ （III）問是否是相合估計量，為什么？