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1、方程的根與函數(shù)的零點 一、教材地位和作用 本節(jié)課是普通高中實驗教科書人教A版必修1第三章第一單元第一節(jié)，是后繼學習二分法的理論準備。學生通過了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系，從而把求方程根的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題。 作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時，就是要讓學生認識到函數(shù)與其他數(shù)學知識的聯(lián)系，讓學生用函數(shù)的圖象這個“形”來研究方程的根這個“數(shù)”，深刻體會“以形助數(shù)”的思想方法 二、學情分析 （1）知識基礎(chǔ)：學生已經(jīng)熟練掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函數(shù)圖象的畫法，并能從圖象中獲取一定信息，這是學習本節(jié)課的知識基礎(chǔ)。 （2）心理準備：公式法求解高次、超越方程的思維受挫是學生學習

2、本節(jié)課的內(nèi)在動機。 三、教學目標 1、知識與技能：結(jié)合具體的二次函數(shù)圖象，判斷二次方程根的存在性，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，形成函數(shù)零點的概念及零點存在的判定方法。 2、過程與方法：在應(yīng)用函數(shù)研究方程的過程中，體會函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想以及化歸思想；把從特殊函數(shù)零點存在的判定方法上升到一般函數(shù)，體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法。 3、情感態(tài)度價值觀：在求解方程根的“山窮水盡”，到研究函數(shù)零點的“柳暗花明”，學生了解數(shù)學的發(fā)展史，感受探究的樂趣。 四、教學重點、難點與關(guān)鍵 （1）重點：零點存在定理的發(fā)現(xiàn)。 （2）難點：零點存在定理的發(fā)現(xiàn)與準確理解。 （3）關(guān)鍵：引導學生

3、運用函數(shù)的觀點研究方程的根。 五、教法與學法 （一）教法設(shè)計： 本節(jié)課借鑒發(fā)現(xiàn)教學法，強調(diào)教師學生雙主體，采用“創(chuàng)設(shè)問題情景——師生共同探究——形成概念結(jié)論——應(yīng)用鞏固提高”的探究模式，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力 （二）學法指導： 讓學生在自主探究中，學會發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學態(tài)度。 六、教學過程 教學 過程 教 學 內(nèi) 容 師生互動 理論依據(jù)及設(shè)計意圖 創(chuàng) 設(shè) 情 境 揭 示 課 題 1、 問題一： （1）解方程 ； （2）解方程 （3）你能求方程的根嗎？ 學生思考方程（3）時，遇到障礙，思

4、路受阻 發(fā)現(xiàn)教學法強調(diào)教師創(chuàng)設(shè)問題情境，造成學生強烈的問題意識，激發(fā)學生學習的動機。 通過三個問題引起認知沖突，尋找到本節(jié)課的知識生長點。 2、史料分析，引導新法： 一次、二次方程，很容易求解，對于三次、四次方程，在16世紀，數(shù)學家也找到了求根式解的一般解法，但直到19世紀，阿貝爾、伽羅瓦等數(shù)學家才發(fā)現(xiàn)，其實高于四次以及含有指數(shù)對數(shù)形式的方程，沒有根式解法，因此對于方程（3）我們必須另辟蹊徑 教學中融入數(shù)學史，激發(fā)學生的學習興趣 數(shù)學史引導我們同化不行，則要順應(yīng) 3、問題二： 對方程，你能說出方程的根與對應(yīng)二次函數(shù)圖象的關(guān)系嗎？ 學生給出答案后，教師總結(jié)要點：

5、 以全新角度審視二次方程，有助于學生形成函數(shù)的意識，有利于培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性與靈活性，為后面利用函數(shù)圖象探究零點存在性作了鋪墊 4、問題三： _ y _ x _ - 1 _ - 2 _ 0 _ - 1 _ - 2 _ 3 _ 2 _ 1 _ 4 _ 4 _ 3 _ 2 _ 1 一般地，一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系呢？ ①學生易得： 從特殊到一般，學生體驗得到升華 ②師生結(jié)合二次函數(shù)圖象說出方程根的個數(shù)和圖象與x軸交點個數(shù)的關(guān)系 ③教師指出：函數(shù)值為0時的

6、自變量x值起到了聯(lián)結(jié)方程與函數(shù)的作用，這個數(shù)稱之為函數(shù)的零點 互 動 交 流 研 討 新 知 1、函數(shù)零點的定義： 對于函數(shù)，把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點。 教師敘述并板書定義 讓學生加深對函數(shù)零點定義的感知 2、深化概念： ①零點不是點，是函數(shù)值為0時自變量x的值，是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標 ②方程有實數(shù)根 圖象與x軸有交點 函數(shù)有零點； ③零點作用：可以通過函數(shù)零點間接研究方程的根 教師設(shè)置問題 學生主動思考，積極回答 加深對函數(shù)零點概念的理解 3、探 究： 已知函數(shù)y=f(x)的圖象： (1)函數(shù)有無零點，在什么區(qū)間？ (2)

7、你是如何確定零點所在區(qū)間的？ (3)能否找到判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點的一般方法？ （1）的解答： 學生一般會說區(qū)間，教師引導觀察區(qū)間，零點情況，為第（3）問做鋪墊 發(fā)現(xiàn)教學法強調(diào)直覺思維，充分利用直覺思維提出各種有益于問題解決的可能性 讓學生在思考、操作中體會用函數(shù)圖象分析函數(shù)零點存在的過程，直觀感知零點存在定理中的條件與結(jié)論，突出本節(jié)課的重點，突破了難點 （2）的解答： 學生發(fā)表觀點，教師引導，先以區(qū)間為例，教師板書結(jié)果。 教師進一步引導學生就區(qū)間，(),進行類似研究，一一板書結(jié)果為第（3）問進一步做鋪墊，。

8、 （3）的解答： 分析（2）的結(jié)果， 學生嘗試表達結(jié)論：若則在內(nèi)有零點。 教師提問：結(jié)論對本題函數(shù)成立，其它函數(shù)呢？給學生留有一定的時間，學生可能會舉出反例，如在(，1)上無零點，想不出也沒關(guān)系，教師對探究題的圖象進行截斷向上平移處理，從而得到反例。使學生發(fā)現(xiàn)我們的結(jié)論是有紕漏的，應(yīng)該增加條件：函數(shù)圖象連續(xù)。 4、零點存在判定定理： 如果函數(shù)在[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有，那么在區(qū)間內(nèi)一定有零點，即存在，也就是方程的根。 學生說，教師組織語言，表述定理 準確表達判定零點存在的條件與結(jié)論，進一步突破本節(jié)課的難點 5、問題探究，深化理解： 問題一：零點存在判定定理

9、中結(jié)論是“有零點”，那么有幾個？ 問題二：若函數(shù)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線， ，那么上存在零點，反之成立嗎？ 問題三：考慮函數(shù)的圖象，它們的單調(diào)性對函數(shù)零點個數(shù)有影響嗎？ 激發(fā)學生思考與提問，對于提出的問題，教師請學生發(fā)表看法，或畫圖說明。 對問題一，學生隨手畫圖，很可能出現(xiàn)有奇數(shù)個這個觀點，教師抓好這個點，反問并讓學生進一步舉例 ， 問題二給出利用定理探求零點存在的局限性：即用零點存在判定定理，并不能求出所有的零點 問題三說明函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性，對確定零點個數(shù)有重要作用 完善對定理的認識，培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造性，通過設(shè)問質(zhì)疑讓學生進一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容。

10、 應(yīng) 用 舉 例 發(fā) 展 思 維 例1 求函數(shù)的零點個數(shù)。 教師引導學生回到引例中的方程（3），教師用零點知識調(diào)整問法，出示例1。 讓學生體會利用函數(shù)零點存在性定理探尋零點的過程，發(fā)現(xiàn)零點所在區(qū)間結(jié)果表達不唯一，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ) 鞏 固 訓 練 深 化 提 高 1、課本88頁練習題1、（1）（3） 2、課本88頁練習題2、（4） 練習1的（3）：要啟發(fā)學生將“=”右邊的項移至左邊，也可將“=”左右兩邊的代數(shù)式分別設(shè)為函數(shù)，畫兩個函數(shù)圖象求交點 2、先讓學生大致描點，然后用計算機給出圖象。 歸

11、納 梳 理 整 體 升 華 請回顧本節(jié)課學了哪些內(nèi)容？主要數(shù)學思想又有哪些？你還有哪些收獲？ 學生思考回答 教師總結(jié) 通過小結(jié)，進一步完善學生的認知結(jié)構(gòu)，從知識與技能、過程與方法、情感三個方面回扣教學目標。 布 置 作 業(yè) 課 堂 延 伸 必做作業(yè)： （1）課本88頁練習2、（1）（4）， 課本92頁：2 （2）了解數(shù)學史：研讀課本選修3-1第七講千古謎題——伽羅瓦的解答 選做作業(yè)： 你會用哪些方法探究方程的實根或其所在的大致區(qū)間。 分必做和選做，體現(xiàn)了作業(yè)的選擇性，讓不同的學生學習不同的數(shù)學，進一步體現(xiàn)新教材、新課程的理念，給學有余力的學生進行課外提升 設(shè)計理念: 本節(jié)課借鑒發(fā)現(xiàn)教學法，強調(diào)教師學生雙主體，采用“創(chuàng)設(shè)問題情景——師生共同辨析研討——形成概念結(jié)論——應(yīng)用舉例鞏固提高”的探究模式，教師真正擔當學習情境的創(chuàng)設(shè)者，學生探究中的引導者，學生學習中的合作者；而學生則成為新知識的探索者、發(fā)現(xiàn)者、建構(gòu)者，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握學習數(shù)學的思維方法、提升進一步學習新知識的能力。 7