方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 一、教材地位和作用 本節(jié)課是普通高中實(shí)驗(yàn)教科書人教A版必修1第三章第一單元第一節(jié)，是后繼學(xué)習(xí)二分法的理論準(zhǔn)備。學(xué)生通過了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，從而把求方程根的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點(diǎn)的問題。 作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時(shí)，就是要讓學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，讓學(xué)生用函數(shù)的圖象這個(gè)“形”來研究方程的根這個(gè)“數(shù)”，深刻體會“以形助數(shù)”的思想方法 二、學(xué)情分析 （1）知識基礎(chǔ)：學(xué)生已經(jīng)熟練掌握一次、二次方程的求解方法，掌握了一些基本初等函數(shù)圖象的畫法，并能從圖象中獲取一定信息，這是學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識基礎(chǔ)。 （2）心理準(zhǔn)備：公式法求解高次、超越方程的思維受挫是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)在動機(jī)。 三、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能：結(jié)合具體的二次函數(shù)圖象，判斷二次方程根的存在性，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，形成函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)存在的判定方法。 2、過程與方法：在應(yīng)用函數(shù)研究方程的過程中，體會函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想以及化歸思想；把從特殊函數(shù)零點(diǎn)存在的判定方法上升到一般函數(shù)，體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法。 3、情感態(tài)度價(jià)值觀：在求解方程根的“山窮水盡”，到研究函數(shù)零點(diǎn)的“柳暗花明”，學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，感受探究的樂趣。 四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵 （1）重點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理的發(fā)現(xiàn)。 （2）難點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理的發(fā)現(xiàn)與準(zhǔn)確理解。 （3）關(guān)鍵：引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程的根。 五、教法與學(xué)法 （一）教法設(shè)計(jì)： 本節(jié)課借鑒發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，強(qiáng)調(diào)教師學(xué)生雙主體，采用“創(chuàng)設(shè)問題情景——師生共同探究——形成概念結(jié)論——應(yīng)用鞏固提高”的探究模式，使學(xué)生在獲得知識的同時(shí)，能夠掌握方法、提升能力 （二）學(xué)法指導(dǎo)： 讓學(xué)生在自主探究中，學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，逐步形成敢于發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度。 六、教學(xué)過程 教學(xué) 過程 教 學(xué) 內(nèi) 容 師生互動 理論依據(jù)及設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng) 設(shè) 情 境 揭 示 課 題 1、 問題一： （1）解方程 ； （2）解方程 （3）你能求方程的根嗎？ 學(xué)生思考方程（3）時(shí)，遇到障礙，思路受阻 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法強(qiáng)調(diào)教師創(chuàng)設(shè)問題情境，造成學(xué)生強(qiáng)烈的問題意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機(jī)。 通過三個(gè)問題引起認(rèn)知沖突，尋找到本節(jié)課的知識生長點(diǎn)。 2、史料分析，引導(dǎo)新法： 一次、二次方程，很容易求解，對于三次、四次方程，在16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家也找到了求根式解的一般解法，但直到19世紀(jì)，阿貝爾、伽羅瓦等數(shù)學(xué)家才發(fā)現(xiàn)，其實(shí)高于四次以及含有指數(shù)對數(shù)形式的方程，沒有根式解法，因此對于方程（3）我們必須另辟蹊徑 教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣 數(shù)學(xué)史引導(dǎo)我們同化不行，則要順應(yīng) 3、問題二： 對方程，你能說出方程的根與對應(yīng)二次函數(shù)圖象的關(guān)系嗎？ 學(xué)生給出答案后，教師總結(jié)要點(diǎn)： 以全新角度審視二次方程，有助于學(xué)生形成函數(shù)的意識，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與靈活性，為后面利用函數(shù)圖象探究零點(diǎn)存在性作了鋪墊 4、問題三： _ y _ x _ - 1 _ - 2 _ 0 _ - 1 _ - 2 _ 3 _ 2 _ 1 _ 4 _ 4 _ 3 _ 2 _ 1 一般地，一元二次方程的根與二次函數(shù)的圖象有什么關(guān)系呢？ ①學(xué)生易得： 從特殊到一般，學(xué)生體驗(yàn)得到升華 ②師生結(jié)合二次函數(shù)圖象說出方程根的個(gè)數(shù)和圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系 ③教師指出：函數(shù)值為0時(shí)的自變量x值起到了聯(lián)結(jié)方程與函數(shù)的作用，這個(gè)數(shù)稱之為函數(shù)的零點(diǎn) 互 動 交 流 研 討 新 知 1、函數(shù)零點(diǎn)的定義： 對于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 教師敘述并板書定義 讓學(xué)生加深對函數(shù)零點(diǎn)定義的感知 2、深化概念： ①零點(diǎn)不是點(diǎn)，是函數(shù)值為0時(shí)自變量x的值，是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ②方程有實(shí)數(shù)根 圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)有零點(diǎn)； ③零點(diǎn)作用：可以通過函數(shù)零點(diǎn)間接研究方程的根 教師設(shè)置問題 學(xué)生主動思考，積極回答 加深對函數(shù)零點(diǎn)概念的理解 3、探 究： 已知函數(shù)y=f(x)的圖象： (1)函數(shù)有無零點(diǎn)，在什么區(qū)間？ (2)你是如何確定零點(diǎn)所在區(qū)間的？ (3)能否找到判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)的一般方法？ （1）的解答： 學(xué)生一般會說區(qū)間，教師引導(dǎo)觀察區(qū)間，零點(diǎn)情況，為第（3）問做鋪墊 發(fā)現(xiàn)教學(xué)法強(qiáng)調(diào)直覺思維，充分利用直覺思維提出各種有益于問題解決的可能性 讓學(xué)生在思考、操作中體會用函數(shù)圖象分析函數(shù)零點(diǎn)存在的過程，直觀感知零點(diǎn)存在定理中的條件與結(jié)論，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，突破了難點(diǎn) （2）的解答： 學(xué)生發(fā)表觀點(diǎn)，教師引導(dǎo)，先以區(qū)間為例，教師板書結(jié)果。 教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生就區(qū)間，(),進(jìn)行類似研究，一一板書結(jié)果為第（3）問進(jìn)一步做鋪墊，。 （3）的解答： 分析（2）的結(jié)果， 學(xué)生嘗試表達(dá)結(jié)論：若則在內(nèi)有零點(diǎn)。 教師提問：結(jié)論對本題函數(shù)成立，其它函數(shù)呢？給學(xué)生留有一定的時(shí)間，學(xué)生可能會舉出反例，如在(，1)上無零點(diǎn)，想不出也沒關(guān)系，教師對探究題的圖象進(jìn)行截?cái)嘞蛏掀揭铺幚?，從而得到反例。使學(xué)生發(fā)現(xiàn)我們的結(jié)論是有紕漏的，應(yīng)該增加條件：函數(shù)圖象連續(xù)。 4、零點(diǎn)存在判定定理： 如果函數(shù)在[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有，那么在區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)，即存在，也就是方程的根。 學(xué)生說，教師組織語言，表述定理 準(zhǔn)確表達(dá)判定零點(diǎn)存在的條件與結(jié)論，進(jìn)一步突破本節(jié)課的難點(diǎn) 5、問題探究，深化理解： 問題一：零點(diǎn)存在判定定理中結(jié)論是“有零點(diǎn)”，那么有幾個(gè)？ 問題二：若函數(shù)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線， ，那么上存在零點(diǎn)，反之成立嗎？ 問題三：考慮函數(shù)的圖象，它們的單調(diào)性對函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)有影響嗎？ 激發(fā)學(xué)生思考與提問，對于提出的問題，教師請學(xué)生發(fā)表看法，或畫圖說明。 對問題一，學(xué)生隨手畫圖，很可能出現(xiàn)有奇數(shù)個(gè)這個(gè)觀點(diǎn)，教師抓好這個(gè)點(diǎn)，反問并讓學(xué)生進(jìn)一步舉例 ， 問題二給出利用定理探求零點(diǎn)存在的局限性：即用零點(diǎn)存在判定定理，并不能求出所有的零點(diǎn) 問題三說明函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性，對確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)有重要作用 完善對定理的認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動性和創(chuàng)造性，通過設(shè)問質(zhì)疑讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容。 應(yīng) 用 舉 例 發(fā) 展 思 維 例1 求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。 教師引導(dǎo)學(xué)生回到引例中的方程（3），教師用零點(diǎn)知識調(diào)整問法，出示例1。 讓學(xué)生體會利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理探尋零點(diǎn)的過程，發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)所在區(qū)間結(jié)果表達(dá)不唯一，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ) 鞏 固 訓(xùn) 練 深 化 提 高 1、課本88頁練習(xí)題1、（1）（3） 2、課本88頁練習(xí)題2、（4） 練習(xí)1的（3）：要啟發(fā)學(xué)生將“=”右邊的項(xiàng)移至左邊，也可將“=”左右兩邊的代數(shù)式分別設(shè)為函數(shù)，畫兩個(gè)函數(shù)圖象求交點(diǎn) 2、先讓學(xué)生大致描點(diǎn)，然后用計(jì)算機(jī)給出圖象。 歸 納 梳 理 整 體 升 華 請回顧本節(jié)課學(xué)了哪些內(nèi)容？主要數(shù)學(xué)思想又有哪些？你還有哪些收獲？ 學(xué)生思考回答 教師總結(jié) 通過小結(jié)，進(jìn)一步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從知識與技能、過程與方法、情感三個(gè)方面回扣教學(xué)目標(biāo)。 布 置 作 業(yè) 課 堂 延 伸 必做作業(yè)： （1）課本88頁練習(xí)2、（1）（4）， 課本92頁：2 （2）了解數(shù)學(xué)史：研讀課本選修3-1第七講千古謎題——伽羅瓦的解答 選做作業(yè)： 你會用哪些方法探究方程的實(shí)根或其所在的大致區(qū)間。 分必做和選做，體現(xiàn)了作業(yè)的選擇性，讓不同的學(xué)生學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)，進(jìn)一步體現(xiàn)新教材、新課程的理念，給學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行課外提升 設(shè)計(jì)理念: 本節(jié)課借鑒發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，強(qiáng)調(diào)教師學(xué)生雙主體，采用“創(chuàng)設(shè)問題情景——師生共同辨析研討——形成概念結(jié)論——應(yīng)用舉例鞏固提高”的探究模式，教師真正擔(dān)當(dāng)學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)者，學(xué)生探究中的引導(dǎo)者，學(xué)生學(xué)習(xí)中的合作者；而學(xué)生則成為新知識的探索者、發(fā)現(xiàn)者、建構(gòu)者，使學(xué)生在獲得知識的同時(shí)，能夠掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方法、提升進(jìn)一步學(xué)習(xí)新知識的能力。 7