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2019-2020年高中數(shù)學《點到直線的距離》說課稿1新人教A版必修1 教材：人教版全日制普通高級中學教科書（必修）《數(shù)學》第二冊（上）第七章第3節(jié) 教學目標： (1) 至少掌握點到直線的距離公式的一種推導方法，能用公式來求點到直線距離。 (2) 培養(yǎng)學生探究能力和由特殊到一般的研究問題的能力。 (3) 認識事物（知識）之間相互聯(lián)系、互相轉化的辯證法思想，培養(yǎng)學生轉化的思想和綜合應用知識分析問題解決問題的能力。 (4) 培養(yǎng)學生團隊合作精神，培養(yǎng)學生個性品質，培養(yǎng)學生勇于探究的科學精神。 教學重點：點到直線的距離公式推導及公式的應用 教學難點：點到直線的距離公式的推導 教學方法：啟發(fā)引導法、討論法 學習方法：任務驅動下的研究性學習 教學時間：45分鐘 教學過程： 1 .教師提出問題，引發(fā)認知沖突（約5分鐘） 問題：假定在直角坐標系上，已知一個定點P（x0 ,y0）和一條定直線l： Ax+By+C=0，那么如何求點P到直線l的距離d？請學生思考并回答。 學生1：先過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則|PQ|就是點P到直線l的距離d；然后用點斜式寫出垂線方程，并與原直線方程聯(lián)立方程組，此方程組的解就是點Q的坐標；最后利用兩點間距離公式求出|PQ|。 接著，教師用投影出示下列5道題(嘗試性題組)，請5位學生上黑板練習（第（4）題請一位運算能力強的同學，其余學生在下面自己練習，每做完一題立即講評）： (1)求P（1 ,2）到直線l：x=3的距離d;（答案：d=2） (2)求P（x0 ,y0）到直線l：By+C=0（B≠0）的距離d；（答案：） (3) 求P（x0 ,y0）到直線l：Ax+C=0（A≠0）的距離d；（答案：） (4) 求P（6 ,7）到直線l：3x-4y+5=0的距離d；（答案：d=1） (5) 求P（x0 ,y0）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離d。 第（1）容易、（2）和（3）題雖然含有字母參數(shù)，但由于直線的位置比較特殊，學生不難得出正確結論；第（4）題雖然運算量較大，但按照剛才學生1回答的方法與步驟，也能順利解出正確答案；第（5）題雖然思路清晰，但由于字母參數(shù)過多、運算量太大行不通。學生們陷入了困境。 2．教師啟發(fā)引導，學生走出困境（約8分鐘） 教師：根據(jù)以上5位學生的運算結果，你能得到什么啟示？ 學生2：當直線的位置比較特殊（水平或豎直）時，點到直線的距離容易求得，而當直線是傾斜位置時則較難；含有多個字母時雖然想起來思路很自然，但具體操作起來因計算量很大而無法得出結果。 P(x0,y0) Q 圖1 教師：那么，練習（5）有沒有運算量小一點的推導方法呢？我們能不能根據(jù)剛才的第（2）、（3）的啟示，借助水平、豎直情形和平面幾何知識來解決傾斜即一般情況呢？請同學們思考。 學生3：能！如圖1，過點P作x、y 軸的垂線分別交直線l于S、R，則由三角形面積公式可得 |PQ|=（|PR||PS|）/|RS| 教師：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？ 學生3：設R（x1 ,y0），則由Ax1+By0+C=0， 得x1= —（By0+C）／A， ∴|PR|=| x0- x1|=|Ax0+By0+C|／|A|； 同理：|PS|=|Ax0+By0+C|／|B|。 教師：|RS|怎么求？ 學生3：|RS|==（/|AB|）|Ax0+By0+C|。 教師：|PQ|結果是什么？ 學生3：|PQ|=。 教師：公式的這種推導方法是否需要作補充說明？ 學生4：當A=0或B=0時，ΔPRS不存在，故應說明公式當A=0或B=0時是否適用？ 由（2）、（3）檢驗可知公式依然成立，即公式對任意直線都適用。 3 .教師提出問題，學生分組討論（約10分鐘） 教師：推導點到直線的距離公式的方法不少。前面我們學了函數(shù)、三角函數(shù)、向量、不等式等數(shù)學知識，你能用所學過的知識從不同角度、采用不同方法來推導這個公式嗎？請同學們先獨立思考，然后在小組上進行討論交流，由組長負責記錄。10分鐘后每組推選一名代表對本組找到的最好的一種推導方法通過實物投影進行“成果”交流。 學生們積極探討；教師來回巡視，回答各研究小組的詢問…… 4.學生交流“成果”，教師點評小結（約16分鐘） 經(jīng)過約十分鐘的研討，各小組都找到了新的推導方法。于是教師請4名代表依次上講臺（讓準備成熟的先講），借助實物投影介紹本組的“成果”。由于時間關系，每組只要求講一種方法，用時不超過4分鐘，且各組的方法不能重復。 學生5：我們用的是“設而不求，整體代換”的數(shù)學思想。請看投影屏幕： 設Q的坐標為（x1 ,y1），則直線PQ的斜率k1=，又直線l的斜率k= -，于是由PQ⊥ l得, k1k= -1即B(x1- x0)-A(y1- y0)=0 ① 又因為Ax1+By1+C=0， 即Ax1+By1=-C 兩邊同減Ax0+By0得 A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) ②　 于是①2+②2得, (A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]= (Ax0+By0+C)2, 即 (A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2 　　　　　所以 d=。 教師：“設而不求，整體代換”，真是奧妙無窮，這是解析幾何減少運算量的有效途徑，同時也體現(xiàn)了數(shù)學的內在美，妙不可言。 學生6：我們小組向大家介紹一種獨特的方法——向量法，請看投影屏幕： T(x1,y1) P(x0,y0) Q 圖2 如圖2，設T（x1 ,y1）為直線l上的任意一點，則Ax1+By1+C=0，=（x1-x0，y1-y0） ∵PQ⊥直線l ， ∴平行于直線l的法向量=（A，B） 另設與的夾角為θ，則=cosθ 即|A(x1-x0)+B(y1-y0)|= ||| cosθ| 即|Ax0+By0+C|=d ∴d=。 教師：向量是數(shù)量與圖形的有機結合，解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問題，兩者都體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，第三小組的推導方法證明了這一點，也再次說明了向量具有很強的實用性與工具性，用向量法解解析幾何題確實行之有效。 學生7：：我們小組向大家介紹向量的另一種方法，妙用向量數(shù)量積的性質．請看投影屏幕： 如圖3，設垂足是點H(m,n)， 直線l的法向量共線， 這是相當簡單的方法了。 教師：巧妙利用向量數(shù)量積的性質來求距離，簡直是“巧奪天工”，與其他方法相比，這種方法有絕對優(yōu)勢，我們必須重視對向量工具性的研究和應用。 學生8：剛才三個小組的證明方法確實精彩，我們也發(fā)現(xiàn)了一種巧妙的方法，把它稱為“柯西不等式法”，請看投影屏幕： 我們知道，P點到直線l的距離,實質上是點P與直線l上任意一點T的距離的最小值，于是我們設T（x1 ,y1）為直線l上的任一點（如圖2），則Ax1+By1+C=0， 而d=|PT|min，于是|PT|= =， 利用柯西不等式，便有|PT|≥=， 所以d=，此時，即PT垂直于直線l。 教師：這一證法果然十分巧妙，包含的數(shù)學思想十分豐富。由點到直線的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“轉化”中問題得到圓滿解決。同時也體現(xiàn)了不等式的工具作用。 5.公式應用（學生練習，約3分鐘） （1） 求P（6 ,7）到直線l：3x-4y+5=0的距離d. （直接代公式得答案：d=1，檢驗嘗試性題組第（4）的答案） （2）求P（-1,1）到直線l：的距離d. （先化直線方程為一般式再代公式得答案：） 6.教師小結并布置作業(yè)（約1分鐘） 這節(jié)課我們學習了點到直線的距離公式，在公式的推導中學到了許多重要的數(shù)學思想和方法，感受到了數(shù)學的奧妙，也感受到了成功的喜悅。其實這個公式的推導方法不下十種，由于課堂上時間緊，許多同學有創(chuàng)造性的推導方法不能進行展示、交流，請同學們撰寫一篇題為《點到直線距離公式的多種推導方法》的數(shù)學小論文，作為本節(jié)課的作業(yè)，允許三到四人合作完成。 設計說明： 數(shù)學公式的教學應包含兩個部分：公式的推導和公式的運用。由于受應試教育的影響，前者往往被“輕描淡寫”，而后者卻搞得“轟轟烈烈”，這顯然與“重結論，但更重過程”的現(xiàn)代教育理念相違背。其實數(shù)學公式的推導都蘊含著豐富的數(shù)學思想和數(shù)學方法，誰忽視了這個“產(chǎn)生過程”，誰就忽視了數(shù)學的“精髓”，誰就忽視了學生探究性思維品質的培養(yǎng)。 這節(jié)課把研究性學習引入公式的教學，讓學生真正成為課堂的主人。在推導公式的過程中，學生通過克服困難的經(jīng)歷，以及獲得成功的體驗，鍛煉了意志，增強了信心。其實所有公式的教學、定理的教學都應向這個方向努力。 數(shù)學教學，從根本上講就是提高學生的數(shù)學素質，提高學生的數(shù)學素質的有效途徑有二：其一，使學生善于總結，使零亂的知識系統(tǒng)化、綜合化；其二，使學生善于聯(lián)想，培養(yǎng)發(fā)散性思維。本節(jié)課使學會從不同的角度思考問題，加強知識間的聯(lián)系，正是鍛練、提高學生運用知識分析問題和解決問題的能力，從而提高數(shù)學素質。 通過公式求點到直線的距離并不困難，但這個公式的推導方法不下十種，且各種推導都蘊含著重要的數(shù)學思想、方法，由于課堂上時間緊，許多同學的有創(chuàng)造性的推導方法不能進行展示、交流，故課外請同學們撰寫一篇題為《點到直線距離公式的多種推導方法》的數(shù)學小論文作為本節(jié)課的作業(yè)。考慮到同學的個體差異，故允許三到四人合作完成。同時通過學生小論文的完成情況對這節(jié)課的教學效果作出評價。 本課設計有一定的彈性，實際教學中，學生想到的推導方法不一定是上述幾種，我將針對每一種方法的特點進行適當?shù)狞c評。進行交流的學生不一定是四人，若時間不夠，公式應用留到下節(jié)課，本節(jié)課只完成公式推導。