2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十一課時(shí) 數(shù)列應(yīng)用題教案 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十一課時(shí) 數(shù)列應(yīng)用題教案 蘇教版必修5.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第十一課時(shí) 數(shù)列應(yīng)用題教案 蘇教版必修5
教學(xué)目標(biāo):
將等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)求和公式應(yīng)用到應(yīng)用題的有關(guān)計(jì)算中去;增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力.
教學(xué)重點(diǎn):
等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.
教學(xué)難點(diǎn):
利用等比數(shù)列有關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題.
教學(xué)過(guò)程:
[例1]某人年初向銀行貸款10萬(wàn)元用于購(gòu)房.
(Ⅰ)如果他向建設(shè)銀行貸款,年利率為5%,且這筆款分10次等額歸還(不計(jì)復(fù)利),每年一次,并從借后次年年初開(kāi)始?xì)w還,問(wèn)每年應(yīng)付多少元?
(Ⅱ)如果他向工商銀行貸款,年利率為4%,要按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息),仍分10次等額歸還,每年一次,每年應(yīng)還多少元?
解:(Ⅰ)若向建設(shè)銀行貸款,設(shè)每年還款x元,
則105(1+105%)=x(1+95%)+x(1+85%)+x(1+75%)+…+x
即:1051.5=10x+450.05元,解得x=≈12245(元)
(Ⅱ)若向工商銀行貸款,每年需還y元,則:
105(1+4%)10=y(tǒng)(1+4%)9+y(1+4%)8+…+y(1+4%)+y
即1051.0410=y(tǒng)
其中:1.0410=1+100.04+450.042+1200.043+2100.044+…≈1.4802.
∴y≈≈12330(元)
答:向建設(shè)銀行貸款,每年應(yīng)付12245元;若向工商銀行貸款,每年應(yīng)付12330元.
[例2]用分期付款的方式購(gòu)買家電一件,價(jià)為1150元,購(gòu)買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%,若交付150元后的每一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月,問(wèn)分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家用電器實(shí)際花費(fèi)多少錢?
解:購(gòu)買時(shí)付出150元后,余欠款1000元,按題意應(yīng)分20次付清,由于每次都必須交50元,外加上所欠余款的利息,這樣每次交付欠款的數(shù)額順月次構(gòu)成一數(shù)列
設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1,a2,…,a20
則:a1=50+10001%=60元,a2=50+(1000-50)1%=59.5元
……
a10=50+(1000-950)1%=55.5元
即第10個(gè)月應(yīng)付款55.5元.
由于{an}是以60為首項(xiàng),以-0.5為公差的等差數(shù)列,所以有:
S20=20=1105(元)
即全部付清后實(shí)際付款(1105+150)=1255(元).
[例3]某職工年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房,銀行為了推動(dòng)住房制度改革,貸款的優(yōu)惠年利率為10%,按復(fù)利計(jì)算(即將本年的本金與利潤(rùn)的總和計(jì)為次年的本金),若這筆貸款要求10次等額還清,每年一次,10年還清,并且從貸款后次年年初開(kāi)始?xì)w還,問(wèn)每年應(yīng)還多少元?
分析:逐年分析,尋找規(guī)律,建立恰當(dāng)數(shù)學(xué)模型.
解:設(shè)貸款額為a0元,貸款年利率為α,次年等額歸還x元,第n年還清,則
一年后的欠款數(shù)為:a1=(1+α)a0-x
二年后的欠款數(shù)為:a2=(1+α)a1-x=(1+α)2a0-x[(1+α)+1]
三年后的欠款數(shù)為:a3=(1+α)a2-x=(1+α)3a0-x[(1+α)2+(1+α)+1]
……
n年后的欠款數(shù)為:an=(1+α)an-1-x=(1+α)na0-x[(1+α)n-1+(1+α)n-2+…+(1+α)+1]
由于an=0,貸款還清,
∴(1+α)na0=x, ∴x=
將α=0.1,a0=xx0,n=10代入,得
x=≈≈3255元.
[例4]某人于1997年7月1日在銀行按一年定期儲(chǔ)蓄的方式存入a元,xx年7月1日,他將到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期儲(chǔ)蓄存入銀行,此后他每年7月1日按照同樣同樣的方法在銀行取款和存款,設(shè)銀行定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變,問(wèn)到xx年7月1日他的本息共有多少?
分析:逐年分析,尋找規(guī)律,建立數(shù)學(xué)模型.
解:由題意得:xx年本息總數(shù)為a(1+r),
xx年本息總數(shù)為a(1+r)2+a(1+r),
……
xx年本息總數(shù)為:a(1+r)5+a(1+r)4+a(1+r)3+a(1+r)2+a(1+r)
即= [(1+r)6-(1+r)]
評(píng)述:解決等比數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題抓特點(diǎn),仔細(xì)觀察找規(guī)律,一般地,等比數(shù)列的特點(diǎn)是增加或減少的百分?jǐn)?shù)相同,為了分析數(shù)列的規(guī)律,一般需先寫(xiě)出數(shù)列的一些項(xiàng)加以考查.
[例5]某地區(qū)荒山2200畝,從1995年開(kāi)始每年春季在荒山植樹(shù)造林,第一年植樹(shù)100畝,以后每一年比上一年多植樹(shù)50畝.
(1)若所植樹(shù)全部都成活,則到哪一年可將荒山全部綠化?
(2)若每畝所植樹(shù)苗、木材量為2立方米,每年樹(shù)木木材量的自然增長(zhǎng)率為20%,那么全部綠化后的那一年年底,該山木材總量為S,求S的表達(dá)式.
(3)若1.28≈4.3,計(jì)算S (精確到1立方米).
分析:由題意可知,各年植樹(shù)畝數(shù)為:100,150,200,……成等差數(shù)列
解:(1)設(shè)植樹(shù)n年可將荒山全部綠化,則:100n+50=2200
解之得n=8或n=-11(舍去)
(2)1995年所植樹(shù),春季木材量為200 m3,到xx年底木材量則增為2001.28 m3.
1996年所植樹(shù)到xx年底木材量為3001.27 m3.
……
xx年所植樹(shù)到年底木材量為9001.2 m3,則:到xx年底木材總量為:
S=2001.28+3001.27+4001.26+…+9001.2 (m3)
(3)S=9001.2+8001.22+7001.23+…+2001.28
1.2S=9001.22+8001.23+…+3001.28+2001.29,兩式相減得:
0.2S=2001.29+100(1.22+1.23+…+1.28)-9001.2
=2001.29+100-9001.2=1812
∴S=9060( m3)
數(shù)列應(yīng)用題
[例1]某人年初向銀行貸款10萬(wàn)元用于購(gòu)房.
(Ⅰ)如果他向建設(shè)銀行貸款,年利率為5%,且這筆款分10次等額歸還(不計(jì)復(fù)利),每年一次,并從借后次年年初開(kāi)始?xì)w還,問(wèn)每年應(yīng)付多少元?
(Ⅱ)如果他向工商銀行貸款,年利率為4%,要按復(fù)利計(jì)算(即本年的利息計(jì)入次年的本金生息),仍分10次等額歸還,每年一次,每年應(yīng)還多少元?
[例2]用分期付款的方式購(gòu)買家電一件,價(jià)為1150元,購(gòu)買當(dāng)天先付150元,以后每月這一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率為1%,若交付150元后的每一個(gè)月開(kāi)始算分期付款的第一個(gè)月,問(wèn)分期付款的第10個(gè)月該交付多少錢?全部貸款付清后,買這件家用電器實(shí)際花費(fèi)多少錢?
[例3]某職工年初向銀行貸款2萬(wàn)元用于購(gòu)房,銀行為了推動(dòng)住房制度改革,貸款的優(yōu)惠年利率為10%,按復(fù)利計(jì)算(即將本年的本金與利潤(rùn)的總和計(jì)為次年的本金),若這筆貸款要求10次等額還清,每年一次,10年還清,并且從貸款后次年年初開(kāi)始?xì)w還,問(wèn)每年應(yīng)還多少元?
[例4]某人于1997年7月1日在銀行按一年定期儲(chǔ)蓄的方式存入a元,xx年7月1日,他將到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期儲(chǔ)蓄存入銀行,此后他每年7月1日按照同樣同樣的方法在銀行取款和存款,設(shè)銀行定期儲(chǔ)蓄的年利率r不變,問(wèn)到xx年7月1日他的本息共有多少?
[例5]某地區(qū)荒山2200畝,從1995年開(kāi)始每年春季在荒山植樹(shù)造林,第一年植樹(shù)100畝,以后每一年比上一年多植樹(shù)50畝.
(1)若所植樹(shù)全部都成活,則到哪一年可將荒山全部綠化?
(2)若每畝所植樹(shù)苗、木材量為2立方米,每年樹(shù)木木材量的自然增長(zhǎng)率為20%,那么全部綠化后的那一年年底,該山木材總量為S,求S的表達(dá)式.
(3)若1.28≈4.3,計(jì)算S (精確到1立方米).