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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 第十一課時 數(shù)列應用題教案 蘇教版必修5 教學目標： 將等比數(shù)列的通項公式和前n項求和公式應用到應用題的有關計算中去；增強學生的應用意識，提高學生的實際應用能力. 教學重點： 等比數(shù)列通項公式和前n項和公式的應用. 教學難點： 利用等比數(shù)列有關知識解決一些實際問題. 教學過程： ［例1］某人年初向銀行貸款10萬元用于購房. （Ⅰ）如果他向建設銀行貸款，年利率為5%，且這筆款分10次等額歸還（不計復利），每年一次，并從借后次年年初開始歸還，問每年應付多少元？ （Ⅱ）如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），仍分10次等額歸還，每年一次，每年應還多少元？ 解：（Ⅰ）若向建設銀行貸款，設每年還款x元， 則105(1＋105%)＝x(1＋95%)＋x(1＋85%)＋x(1＋75%)＋…＋x 即：1051.5＝10x＋450.05元，解得x＝≈12245(元) （Ⅱ）若向工商銀行貸款，每年需還y元，則： 105(1＋4%)10＝y(tǒng)(1＋4%)9＋y(1＋4%)8＋…＋y(1＋4%)＋y 即1051.0410＝y(tǒng) 其中：1.0410＝1＋100.04＋450.042＋1200.043＋2100.044＋…≈1.4802. ∴y≈≈12330(元) 答：向建設銀行貸款，每年應付12245元；若向工商銀行貸款，每年應付12330元. ［例2］用分期付款的方式購買家電一件，價為1150元，購買當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150元后的每一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家用電器實際花費多少錢？ 解：購買時付出150元后，余欠款1000元，按題意應分20次付清，由于每次都必須交50元，外加上所欠余款的利息，這樣每次交付欠款的數(shù)額順月次構(gòu)成一數(shù)列 設每次交款數(shù)額依次為a1，a2，…，a20 則：a1＝50＋10001%＝60元，a2＝50＋(1000－50)1%＝59.5元 …… a10＝50＋(1000－950)1%＝55.5元 即第10個月應付款55.5元. 由于{an}是以60為首項，以－0.5為公差的等差數(shù)列，所以有： S20＝20＝1105(元) 即全部付清后實際付款（1105＋150）＝1255（元）. ［例3］某職工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推動住房制度改革，貸款的優(yōu)惠年利率為10%，按復利計算（即將本年的本金與利潤的總和計為次年的本金），若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？ 分析：逐年分析，尋找規(guī)律，建立恰當數(shù)學模型. 解：設貸款額為a0元，貸款年利率為α，次年等額歸還x元，第n年還清，則 一年后的欠款數(shù)為：a1＝(1＋α)a0－x 二年后的欠款數(shù)為：a2＝(1＋α)a1－x＝(1＋α)2a0－x[（1＋α）＋1] 三年后的欠款數(shù)為：a3＝(1＋α)a2－x＝(1＋α)3a0－x[（1＋α）2＋(1＋α)＋1] …… n年后的欠款數(shù)為：an＝(1＋α)an－1－x＝(1＋α)na0－x[(1＋α)n－1＋(1＋α)n－2＋…＋(1＋α)＋1] 由于an＝0，貸款還清， ∴(1＋α)na0＝x， ∴x＝ 將α＝0.1，a0＝xx0，n＝10代入，得 x＝≈≈3255元. ［例4］某人于1997年7月1日在銀行按一年定期儲蓄的方式存入a元，xx年7月1日，他將到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期儲蓄存入銀行，此后他每年7月1日按照同樣同樣的方法在銀行取款和存款，設銀行定期儲蓄的年利率r不變，問到xx年7月1日他的本息共有多少？ 分析：逐年分析，尋找規(guī)律，建立數(shù)學模型. 解：由題意得：xx年本息總數(shù)為a(1＋r)， xx年本息總數(shù)為a(1＋r)2＋a(1＋r), …… xx年本息總數(shù)為：a(1＋r)5＋a(1＋r)4＋a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1＋r) 即＝ [(1＋r)6－(1＋r)] 評述：解決等比數(shù)列應用題的關鍵是認真審題抓特點，仔細觀察找規(guī)律，一般地，等比數(shù)列的特點是增加或減少的百分數(shù)相同，為了分析數(shù)列的規(guī)律，一般需先寫出數(shù)列的一些項加以考查. [例5]某地區(qū)荒山2200畝，從1995年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝. （1）若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化? （2）若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S，求S的表達式. （3）若1.28≈4.3，計算S (精確到1立方米). 分析：由題意可知，各年植樹畝數(shù)為：100，150，200，……成等差數(shù)列 解：(1)設植樹n年可將荒山全部綠化，則：100n＋50＝2200 解之得n＝8或n＝－11(舍去) (2)1995年所植樹，春季木材量為200 m3，到xx年底木材量則增為2001.28 m3. 1996年所植樹到xx年底木材量為3001.27 m3. …… xx年所植樹到年底木材量為9001.2 m3，則：到xx年底木材總量為： S＝2001.28＋3001.27＋4001.26＋…＋9001.2 (m3) (3)S＝9001.2＋8001.22＋7001.23＋…＋2001.28 1.2S＝9001.22＋8001.23＋…＋3001.28＋2001.29，兩式相減得： 0.2S＝2001.29＋100(1.22＋1.23＋…＋1.28)－9001.2 ＝2001.29＋100－9001.2＝1812 ∴S＝9060( m3) 數(shù)列應用題 ［例1］某人年初向銀行貸款10萬元用于購房. （Ⅰ）如果他向建設銀行貸款，年利率為5%，且這筆款分10次等額歸還（不計復利），每年一次，并從借后次年年初開始歸還，問每年應付多少元？ （Ⅱ）如果他向工商銀行貸款，年利率為4%，要按復利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），仍分10次等額歸還，每年一次，每年應還多少元？ ［例2］用分期付款的方式購買家電一件，價為1150元，購買當天先付150元，以后每月這一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率為1%，若交付150元后的每一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家用電器實際花費多少錢？ ［例3］某職工年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行為了推動住房制度改革，貸款的優(yōu)惠年利率為10%，按復利計算（即將本年的本金與利潤的總和計為次年的本金），若這筆貸款要求10次等額還清，每年一次，10年還清，并且從貸款后次年年初開始歸還，問每年應還多少元？ ［例4］某人于1997年7月1日在銀行按一年定期儲蓄的方式存入a元，xx年7月1日，他將到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期儲蓄存入銀行，此后他每年7月1日按照同樣同樣的方法在銀行取款和存款，設銀行定期儲蓄的年利率r不變，問到xx年7月1日他的本息共有多少？ [例5]某地區(qū)荒山2200畝，從1995年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝. （1）若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化? （2）若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S，求S的表達式. （3）若1.28≈4.3，計算S (精確到1立方米).