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2019-2020年高二3月月考 數學（理科） 含答案(VI) 一、選擇題 (本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1． ＝2,則實數a等于( ) A．－1 B． 1 C．－ D、 【答案】B 2．若函數滿足，則( ) A．-3 B．-6 C．-9 D．-12 【答案】D 3．已知物體的運動方程是（表示時間，表示位移），則瞬時速度為0的時刻是( ) A．0秒、2秒或4秒 B．0秒、2秒或16秒 C．2秒、8秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒 【答案】D 4．曲線y=2x2在點P(1，2)處的切線方程是( ) A． 4x-y-2=0 B． 4x+y-2=O C． 4x+y+2=O D． 4x-y+2=0 【答案】A 5．由曲線y＝x2和直線x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為( ) A． B． C． D． 【答案】A 6．函數的導數為( ) A． B． C． D． 【答案】C 7．已知曲線與在處切線的斜率的乘積為3，則的值為( ) A．-2 B．2 C． D．1 【答案】D 8．過點（0，1）且與曲線在點（3，2）處的切線垂直的直線的方程為( ) A． B． C． D． 【答案】A 9．若,則的值是( ) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 10．若曲線在點處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則( ) A． B． C． D． 【答案】A 11．( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 【答案】A 12．已知直線ax－by－2=0與曲線y=x3在點P(l，1）處的切線互相垂直，則的值為( ) A． B． C．－ D．－ 【答案】D 二、填空題 (本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．若函數f (x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是____________ 【答案】[2，＋∞) 14．已知函數若成立，則____________。 【答案】或 15．已知為一次函數,且,則=____________. 【答案】 16．由曲線所圍成的圖形面積是 . 【答案】 三、解答題 (本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．已知函數滿足當， 時的最大值為。 (Ⅰ）求函數的解析式； (Ⅱ）是否存在實數使得不等式對于時恒成立若存在，求出實數的取值集合;若不存在，說明理由． 【答案】（1）由已知得： ∴ ………3分 ∴，，∴， ∴當， 當， ∴，∴ ∴當時， (2）由（1）可得：時，不等式恒成立， 即為恒成立， ①當時，，令 則 令，則當時， ∴，∴， ∴，故此時只需即可； ②當時，，令 則 令，則當時， ∴，∴， ∴，故此時只需即可， 綜上所述：，因此滿足題中的取值集合為： 18．（Ⅰ）已知函數在上是增函數,求的取值范圍; (Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下,設，,求的最小值. 【答案】（1）,∵f（x） 在（0，1）上是增函數,∴2x+-a≥0在（0,1）上恒成立,即a≤2x+恒成立, ∴只需a≤（2x+）min即可. ∴2x+≥ (當且僅當x=時取等號） , ∴a≤ (2） 設 設 ，其對稱軸為 t=，由（1）得a≤， ∴t=≤＜ 則當1≤≤,即2≤a≤時,h（t）的最小值為h（）=-1-, 當＜1,即a＜2時，h（t）的最小值為h（1）=-a 當2≤a≤時g（x） 的最小值為-1- , 當a＜2時g（x） 的最小值為-a. 19．已知：函數，其中． (Ⅰ）若是的極值點，求的值； (Ⅱ）求的單調區(qū)間； (Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）． 依題意，令，解得 ． 經檢驗，時，符合題意． (Ⅱ）解：① 當時，． 故的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是． ② 當時，令，得，或． 當時，與的情況如下： 所以，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是和． 當時，的單調減區(qū)間是． 當時，，與的情況如下： 所以，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是和． ③ 當時，的單調增區(qū)間是；單調減區(qū)間是． 綜上，當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是； 當時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和； 當時，的減區(qū)間是； 當時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和． (Ⅲ）由（Ⅱ）知 時，在上單調遞增，由，知不合題意． 當時，在的最大值是， 由，知不合題意． 當時，在單調遞減， 可得在上的最大值是，符合題意． 所以，在上的最大值是時，的取值范圍是． 20．已知函數f(x)＝ex－ax，其中a＞0. (1）若對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合； (2）在函數f(x)的圖象上取定兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立. 【答案】（1）f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna. 當x＜lna時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x＞lna時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增.故當x＝ln a時，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna. 于是對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，當且僅當a－alna≥1.　　?、? 令g(t)＝t－tlnt，則g′(t)＝－lnt. 當0＜t＜1時，g′(t)＞0，g(t)單調遞增； 當t＞1時，g′(t)＜0，g(t)單調遞減. 故當t＝1時，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，當且僅當a＝1時，①式成立. 綜上所述，a的取值集合為{1}. (2）由題意知，k＝＝－a. 令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，則 φ(x1)＝－ [－(x2－x1)－1]， φ(x2)＝ [－(x1－x2)－1]. 令F(t)＝et－t－1，則F′(t)＝et－1. 當t＜0時，F′(t)＜0，F(t)單調遞減； 當t＞0時，F′(t)＞0，F(t)單調遞增. 故當t≠0時，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0. 從而－(x2－x1)－1＞0，－(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0， 所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0. 因為函數y＝φ(x)在區(qū)間[x1，x2]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立. 21．判斷函數單調性，并求其最大值與最小值。 【答案】∵ 根據，隨的變化情況列表如下： 由上表可知：的單調遞增區(qū)間為（-2,0）和，單調遞減區(qū)間為 計算并比較函數在區(qū)間上的極值和端點值：，， 可知：在區(qū)間上的最大值是5，最小值是-11 22．甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3元和5元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最?。? 【答案】解法一：根據題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點x km, 則 ∵BD=40,AC=50－,∴BC= 又設總的水管費用為y元，依題意有：=3(50－x)+5 y′=－3+,令y′=0,解得=30 在(0,50)上，y只有一個極值點，根據實際問題的意義， 函數在=30(km)處取得最小值，此時AC=50－=20(km) ∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省. 解法二：設∠BCD=,則BC=,CD=, 設總的水管費用為f(θ),依題意，有 (θ)=3(50－40cotθ)+5=150+40 ∴(θ)=40 令(θ)=0,得cosθ= 根據問題的實際意義，當cosθ=時，函數取得最小值，此時sinθ=,∴cotθ=, ∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.